知識梳理
1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)
2．圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)
[常用結(jié)論]
1．圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．圓系方程
(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是參數(shù)；
(2)過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時，注意檢驗圓C2是否滿足題意，以防漏解)．
題型歸納
題型1 直線與圓的位置關(guān)系的判斷
【例1-1】（2020?廣州一模）直線kx﹣y+1＝0與圓x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【分析】判斷直線恒過的定點與圓的位置關(guān)系，即可得到結(jié)論．
【解答】解：圓方程可整理為（x+1）2+（y﹣2）2＝4，則圓心（﹣1，2），半徑r＝2，直線恒過點（0，1），
因為（0，1）在圓內(nèi)，故直線與圓相交，
故選：A．
【例1-2】（2020?廣安模擬）若無論實數(shù)a取何值時，直線ax+y+a+1＝0與圓x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0都相交，則實數(shù)b的取值范圍．（ ）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣6）D．（﹣6，+∞）
【分析】求出直線的定點，令該定點在圓內(nèi)部即可得出b的范圍．
【解答】解：∵x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0表示圓，
∴＞0，即b＜2．
∵直線ax+y+a+1＝0過定點（﹣1，﹣1）．
∴點（﹣1，﹣1）在圓x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0內(nèi)部，
∴6+b＜0，
解得b＜﹣6．
∴b的范圍是（﹣∞，﹣6）．
故選：C．
【例1-3】（2020?湖北模擬）已知圓O：x2+y2＝1上恰有兩個點到直線l：y＝kx+1的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A．[0，）∪（，）B．[0，）∪（，π）
C．（，）∪（，）D．（，）∪（，π）
【分析】求出圓心到直線l的距離d，把問題轉(zhuǎn)化為＜d＜求解k的范圍，即可求得直線傾斜角的范圍．
【解答】解：直線l：y＝kx+1過定點P（0，1），
如圖，
原點O到直線l的距離d＝．
要使圓O：x2+y2＝1上恰有兩個點到直線l：y＝kx+1的距離為，
＜＜，解得＜k＜．
∴直線l的傾斜角的取值范圍為[0，）∪（，π）．
故選：B．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019秋?內(nèi)江期末）方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0（a∈R）所表示的直線與圓（x+1）2+y2＝25的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不能確定
【分析】求出直線所過定點，再由定點在圓內(nèi)得答案．
【解答】解：由（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0，得a（x+2）﹣x﹣y+1＝0，
聯(lián)立，解得．
∴直線（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0過定點（﹣2，3），
∵（﹣2+1）2+32＝10＜25，
∴點（﹣2，3）在圓（x+1）2+y2＝25的內(nèi)部，
則直線（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0與圓（x+1）2+y2＝25的位置關(guān)系是相交．
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春?鼓樓區(qū)校級期末）若直線l：y+1＝k（x+）與圓C：x2+y2＝1有公共點，則實數(shù)k的最大值為（ ）
A．B．1C．D．
【分析】由題意畫出圖形，利用圓心到直線的距離等于半徑列式求k，則答案可求．
【解答】解：直線l：y+1＝k（x+）過定點A（，﹣1），
圓C：x2+y2＝1，
如圖：
化直線l的方程為kx﹣y+．
原點O到直線的距離d＝，解得k＝0或k＝．
由圖可知，要使直線l：y+1＝k（x+）與圓C：x2+y2＝1有公共點，
則實數(shù)k的最大值為．
故選：D．
【跟蹤訓(xùn)練1-3】（2020?武昌區(qū)模擬）若直線y＝kx+1與圓（x﹣2）2+y2＝4相交，且兩個交點位于坐標平面的同一象限，則k的取值范圍是（ ）
A．（0，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）
【分析】由題意畫出圖形，求出直線過P與A兩點時的斜率，再求出直線與圓相切時的斜率，數(shù)形結(jié)合得答案．
【解答】解：直線y＝kx+1過定點P（0，1），作出直線與圓如圖：
當直線過P（0，1）與A（4，0）時，k＝﹣；
由圓心（2，0）到直線kx﹣y+1＝0的距離等于2，得，解得k＝．
∴若直線y＝kx+1與圓（x﹣2）2+y2＝4相交，且兩個交點位于坐標平面的同一象限，
則k的取值范圍是（﹣，）．
故選：D．
【名師指導(dǎo)】
判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法
題型2 圓的弦長問題
【例2-1】（2020春?河池期末）直線y＝x+1被圓x2+y2＝4截得的弦長為（ ）
A．B．2C．D．
【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，求出圓心到直線的距離，由直線與圓的位置關(guān)系分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝4的圓心為（0，0），半徑r＝2，
則圓心到直線y＝x+1即x﹣y+1＝0的距離d＝＝，
則直線y＝x+1被圓x2+y2＝4截得的弦長為2×＝，
故選：D．
【例2-2】（2020春?龍崗區(qū)期末）設(shè)直線y＝x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為（ ）
A．4πB．6πC．8πD．π
【分析】求出圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圓心坐標，半徑，利用圓的弦長公式，求出a值，進而求出圓半徑，可得圓的面積．
【解答】解：圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圓心坐標為（0，a），半徑為：，
∵直線y＝x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B兩點，且|AB|＝2，
∴圓心（0，a）到直線y＝x+2a的距離d＝，
即+3＝a2+2，
解得：a2＝2，
故圓的半徑r＝2．
故圓的面積S＝4π，
故選：A．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020春?云南期末）已知圓x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直線x+y﹣2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．﹣5D．﹣4
【分析】根據(jù)題意，將圓的方程變形為標準方程，分析其圓心與半徑，求出圓心到直線的距離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得r2＝d2+（）2，計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2﹣2x+2y+a＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣a，其圓心為（1，﹣1），半徑r＝，
圓心到直線x+y﹣2＝0的距離d＝＝，
又由圓截直線x+y﹣2＝0所得弦的長度為4，則有r2＝d2+（）2＝2+2＝2﹣a，解可得a＝﹣4；
故選：D．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春?廣州期末）已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由圓的方程求出圓心坐標與半徑，由直線方程可得直線過定點P（3，1），求得|PC|，再由垂徑定理求得直線l被圓C截得的弦長的最小值．
【解答】解：圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圓心坐標為C（1，2），半徑為5．
由直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，得m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，
聯(lián)立，解得．
∴直線l過定點P（3，1），
點P（3，1）在圓內(nèi)部，則當直線l與線段PC垂直時，直線l被圓C截得的弦長最?。?br>此時|PC|＝．
∴直線l被圓C截得的弦長的最小值為2．
故選：B．
【名師指導(dǎo)】
有關(guān)弦長問題的2種求法
題型3 圓的切線問題
【例3-1】（2019秋?長安區(qū)校級月考）已知點P（1，﹣2），點M（3，1），圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．
①求過點P的圓C的切線方程；
②求過點M的圓C的切線方程．
【分析】①先判斷點P在圓C外，再設(shè)過點P的切線斜率為k，寫出切線方程，利用圓心到切線的距離d＝r求出k的值，即可寫出切線方程；
②判斷點M在圓C外，討論過點M的直線斜率不存在和斜率存在時，利用圓心到切線的距離d＝r求出對應(yīng)切線的方程．
【解答】解：圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，∴圓心C（1，2），半徑r＝2；
①∵|PC|═＝4，∴點P在圓C外；
設(shè)過點P的切線斜率為k，則切線方程為y+2＝k（x﹣1），
化為一般式是kx﹣y﹣k﹣2＝0；
則圓心C到切線的距離為d＝r，
即＝2，
解得k＝±，
∴過點P的圓C的切線方程是y+2＝±（x﹣1），
即x﹣y﹣﹣2＝0或x+y﹣+2＝0；
②∵|MC|═＝＞2，
∴點M在圓C外；
當過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3，即x﹣3＝0；
又點C（1，2）到直線x﹣3＝0的距離d＝3﹣1＝2＝r，滿足題意，
∴直線x﹣3＝0是圓的切線；
當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y﹣1＝k（x﹣3），
即kx﹣y+1﹣3k＝0，
則圓心C到切線的距離d＝r
＝2，
解得k＝．
∴切線方程為y﹣1＝（x﹣3），
化為一般形式是3x﹣4y﹣5＝0；
綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x﹣3＝0或3x﹣4y﹣5＝0．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春?新華區(qū)校級期末）過點P（2，﹣1）的直線與圓C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，則切線長為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，求出P到圓心C的距離|PC|，由切線長公式計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5，其圓心為（﹣1，1），半徑r＝，
點P（2，﹣1）的直線與圓C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，
又由|PC|＝，
所以切線長為；
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020?紅崗區(qū)校級模擬）過原點O作圓C：x2+y2+4x+4y+5＝0的兩條切線，設(shè)切點分別為A，B，則直線AB的方程為（ ）
A．2x+2y﹣5＝0B．4x+4y﹣5＝0C．2x+2y+5＝0D．4x+4y+5＝0
【分析】根據(jù)題意，分析圓C的圓心與半徑，由切線長公式可得|PA|＝|PB|＝＝，進而可得點A、B在圓x2+y2＝5上，結(jié)合圓與圓為位置關(guān)系分析可得直線AB的方程為圓C：x2+y2+4x+4y+5＝0與圓x2+y2＝5的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩圓的方程分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓C：x2+y2+4x+4y+5＝0即（x+2）2+（y+2）2＝3，其圓心為（﹣2，﹣2），半徑r＝，
過原點O作圓C：x2+y2+4x+4y+5＝0的兩條切線，設(shè)切點分別為A，B，則|PA|＝|PB|＝＝，
則點A、B在圓x2+y2＝5上，
則直線AB的方程為圓C：x2+y2+4x+4y+5＝0與圓x2+y2＝5的公共弦所在的直線，
又由，則有2x+2y+5＝0，
即直線AB的方程為2x+2y+5＝0，
故選：C．
【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2019秋?四川期中）已知圓C經(jīng)過M（3，0），N（2，1）兩點，且圓心在直線l：2x+y﹣4＝0上．
（1）求圓C的方程；
（2）從y軸上一個動點P向圓C作切線，求切線長的最小值及對應(yīng)切線方程．
【分析】（1）解法一：設(shè)出圓的一般方程，由題意列出方程組求出解即可寫出圓的方程．
解法二：由題意求出圓心和半徑，即可寫出圓的方程．
（2）解法一：設(shè)切線長為d，要使得切線長最短，必須且只需|PC|最小即可，由此求得|PC|的最小值，計算出切線長的最小值，討論切線的斜率存在與否，從而求得切線方程和對應(yīng)切線長．
解法二：同解法一得切線長最小值時對應(yīng)點為原點，利用直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，寫出切線方程，計算對應(yīng)切線長．
【解答】解：（1）解法一：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由題意得：9+3D+F＝0，……①
5+2D+E+F＝0，……②
又圓心在直線2x+y﹣4＝0上，
所以；……③
由①②③解得：D＝﹣4，E＝0，F(xiàn)＝3；
所以圓的方程為：x2+y2﹣4x+3＝0（或?qū)懗桑海▁﹣2）2+y2＝1）．
解法二：由題意，圓心在MN的中垂線y＝x﹣2上，
又在已知直線l：2x+y﹣4＝0上，
解得圓心坐標為C（2，0），
于是半徑r＝|MC|＝1，
故所求圓的方程為：（x﹣2）2+y2＝1．
（2）解法一：對于動點P，設(shè)切線長為d，則|PC|2＝d2+r2＝d2+1；
所以，要使得切線長最短，必須且只需|PC|最小即可，
且最小值為圓心（2，0）到y(tǒng)軸的距離，等于2，
所以切線長的最小值為；
當切線長取最小值時，對應(yīng)P點為原點，
過原點的直線中，當斜率不存在時，不與圓C相切；
當斜率存在時，設(shè)直線方程為y＝kx；
代入C：x2+y2﹣4x+3＝0，得x2+（kx）2﹣4x+3＝0，
即（1+k2）x2﹣4x+3＝0；
令△＝（﹣4）2﹣4×3（1+k2）＝0，
解得；
所以切線方程為，
對應(yīng)切線長為．
解法二：同解法一得切線長最小值為且對應(yīng)P點為原點，
過原點的直線中，當斜率不存在時，不與圓C相切；
當斜率存在時，設(shè)直線方程為y＝kx，
因為直線與圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，
即，解得；
所以切線方程為，
對應(yīng)切線長為．
【名師指導(dǎo)】
1．求過圓上的一點(x0，y0)的切線方程的方法
先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq \f(1,k)，由點斜式可寫出切線方程．
2．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的2種方法
題型4 圓與圓的位置關(guān)系
【例4-1】（2020?道里區(qū)校級模擬）若圓C1：x2+y2＝4與圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，則實數(shù)m＝（ ）
A．﹣24B．﹣16C．24D．16
【分析】根據(jù)題意，分析兩圓的圓心與半徑，由兩圓外切可得|C1C2|＝＝5＝2+，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓C1：x2+y2＝4，圓心為（0，0），半徑為R＝2，
圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，圓心為（3，4），半徑r＝
若圓C1：x2+y2＝4與圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，則有|C1C2|＝＝5＝2+，
解可得m＝16，
故選：D．
【例4-2】（2020?東湖區(qū)校級三模）已知圓的圓心到直線x﹣y﹣2＝0的距離為，則圓C1與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．內(nèi)切C．外切D．相離
【分析】求得圓C1的圓心和半徑，由直線和圓的距離公式，可得a，求得圓C2的圓心和半徑，計算|C1C2|，與兩圓的半徑之差比較可得結(jié)論．
【解答】解：圓的圓心為C1（0，a2），半徑r1＝a2，a≠0，
由圓的圓心到直線x﹣y﹣2＝0的距離為，
可得＝2，解得a＝±，
可得圓C1的圓心為（0，2），半徑為2，
而圓的圓心為（1，2），半徑為r2＝1，
由|C1C2|＝1＝r1﹣r2＝2﹣1，
可得兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切．
故選：B．
【跟蹤訓(xùn)練4-1】（2020春?保山期末）已知圓C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0和圓C2：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系為（ ）
A．外切B．內(nèi)切C．相交D．相離
【分析】根據(jù)題意，分析兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，由圓與圓的位置關(guān)系分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，即（x+1）2+（y+4）2＝25，其圓心C1（﹣1，﹣4），半徑R＝5，
圓C2：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，其圓心C2（5，4），半徑r＝5，
兩圓的圓心距|C1C2|＝＝10＝R+r，兩圓外切；
故選：A．
【跟蹤訓(xùn)練4-2】（2020春?湖北期末）已知圓C1：x2+y2+2ax﹣9+a2＝0和圓C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0外切（其中a，b∈R），則a+b的最大值為（ ）
A．4B．4C．8D．4
【分析】利用兩圓外切，圓心距等于半徑之和，再利用基本不等式，即可求得a+b的最大值．
【解答】解：圓C1：x2+y2+2ax+a2﹣9＝0的標準方程為（x+a）2+y2＝9；圓C2：x2+y2﹣2bx﹣1+b2＝0的標準方程為x2+（y﹣b）2＝1，
∵兩圓外切，∴＝4；
∵a2+b2≥2ab，
∴2（a2+b2）≥（a+b）2，
∴a+b≤4；
∴a+b的最大值為4；
故選：B．
【名師指導(dǎo)】
圓與圓位置關(guān)系問題的解題策略
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．
(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．
相離
相切
相交
圖形
量化
方程觀點
Δeq \a\vs4\al(＜)0
Δeq \a\vs4\al(＝)0
Δeq \a\vs4\al(＞)0
幾何觀點
deq \a\vs4\al(＞)r
deq \a\vs4\al(＝)r
deq \a\vs4\al(＜)r
相離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
圖形
量的關(guān)系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
幾何法
圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系．這種方法的特點是計算量較小
代數(shù)法
將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，該方程解的情況即對應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
幾何法
直線被圓截得的半弦長eq \f(l,2)，弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，即r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＋d2
代數(shù)法
聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)
幾何法
當斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進而寫出切線方程
代數(shù)法
當斜率存在時，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出

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