知識梳理
1．圓的定義與方程
2．點與圓的位置關(guān)系
圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r，設(shè)M的坐標為(x0，y0)．
題型歸納
題型1 求圓的方程
【例1-1】（2020?和平區(qū)校級二模）已知圓C的圓心在直線x﹣2y﹣3＝0上，且過點A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），則圓C的標準方程為 ．
【例1-2】（2020?東城區(qū)模擬）已知圓C與直線y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圓心在直線y＝x上，則圓C的方程為（ ）
A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2
C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4
【例1-3】（2019?武侯區(qū)校級模擬）已知圓C與y軸相切，圓心在x軸的正半軸上，并且截直線x﹣y+1＝0所得的弦長為2，則圓C的標準方程是 ．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020?遼寧三模）在直線l：y＝x﹣1上有兩個點A、B，且A、B的中點坐標為（4，3），線段AB的長度|AB|＝8，則過A、B兩點且與y軸相切的圓的方程為（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣11）2+（y+4）2＝121
B．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣12）2+（y+5）2＝144
C．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣12）2+（y+5）2＝144
D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣11）2+（y+4）2＝121
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020?懷柔區(qū)一模）已知圓C與圓（x﹣1）2+y2＝1關(guān)于原點對稱，則圓C的方程為（ ）
A．x2+y2＝1B．x2+（y+1）2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1D．（x+1）2+y2＝1
【跟蹤訓(xùn)練1-3】（2020春?金湖縣校級期中）已知圓心為點C（1，﹣1），并且在直線4x﹣3y﹣2＝0上截得的弦長為2的圓的方程為（ ）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4
C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y+1）2＝4
【名師指導(dǎo)】
1．求圓的方程常見的三種類型
(1)已知不共線的三點．
(2)已知兩點及圓心所在的直線．
(3)已知直線與圓的位置關(guān)系．
2．求圓的方程的兩種方法
3．確定圓心位置的方法
(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上．
(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．
(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．
題型2 與圓有關(guān)的最值問題
【例2-1】已知實數(shù)x，y滿足方程x2+y2﹣4x+1＝0，求：
（1）的最大值和最小值；
（2）y﹣x的最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值；
（4）2x2+y2﹣4x﹣6的最大值．
【例2-2】（2019?湖北校級一模）已知P（x，y）是圓x2+（y﹣3）2＝1上的動點，定點A（2，0），B（﹣2，0），則的最大值為（ ）
A．12B．0C．﹣12D．4
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2019春?城關(guān)區(qū)校級期中）已知圓C：（x+2）2+y2＝1，P（x，y）為圓C上任一點，
（1）求的最大、最小值；
（2）求x﹣2y的最大、最小值．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019秋?安徽月考）已知P（x，y）是圓x2+（y﹣3）2＝a2（a＞0）上的動點，定點A（2，0），B（﹣2，0），△PAB的面積最大值為8，則a的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【名師指導(dǎo)】
借助幾何性質(zhì)求與圓有關(guān)的最值問題，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．
1．形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．
2．形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
題型3 與圓有關(guān)的軌跡問題
【例3-1】（2020春?洛陽期末）已知動點M到兩定點A （1，1），B （2，2）的距離之比為．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）過曲線C上任意一點P作與直線l：2x+y﹣6＝0夾角為30°的直線，交l于點Q，求|PQ|的最大值和最小值．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春?昆明期末）在平面直角坐標系xOy中，已知點B（2，0），C（﹣2，0），設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝﹣，記點A的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）若直線l：y＝x+1與E交于P，Q兩點，求|PQ|．
【名師指導(dǎo)】
求與圓有關(guān)軌跡問題的3種方法
(1)直接法：當題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時，可設(shè)出該點的坐標，用坐標表示等式，直接求解軌跡方程．
(2)定義法：當題目條件符合圓的定義時，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程．
(3)代入法：當題目條件中已知某動點的軌跡方程，而要求的點與該動點有關(guān)時，常找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求軌跡方程．
幾何法
根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程
待定系數(shù)法
①根據(jù)題意，選擇標準方程與一般方程；
②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；
③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標準方程或一般方程

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