知識(shí)梳理
1．空間向量及其有關(guān)概念
2．?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算
(1)兩個(gè)空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cs〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)；③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝eq \r(x2＋y2＋z2).
(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：
3．直線的方向向量與平面的法向量
(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．
(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．
4．空間位置關(guān)系的向量表示
題型歸納
題型1 空間向量的線性運(yùn)算
【例1-1】（2019秋?龍巖期末）如圖所示，在平行六面體中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，用表示向量的結(jié)果是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，即可得出，然后進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算即可．
【解答】解：是的中點(diǎn)，
．
故選：．
【例1-2】（2019秋?湘西州期末）如圖已知正方體中，是的中點(diǎn)，，，，，則
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，根據(jù)條件得解得，，．
【解答】解：正方體，棱長(zhǎng)為1，
以為原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，0，，0，，，1，，，，，0，，0，，
，
因?yàn)椋?br>所以，1，，0，，，，0，
解得，，，
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019秋?咸陽期末）已知空間四邊形中，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算法則，用，，表示出即可．
【解答】解：如圖空間四邊形中，
點(diǎn)在上，且，
，又為的中點(diǎn)，
，
，
．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2019秋?濮陽期末）如圖，是三棱錐的底面的重心，若、、，則的值為
A．B．C．D．1
【分析】可想著再用，，表示，根據(jù)重心的性質(zhì)及向量加法的平行四邊形法則，，從而便可得到，由此可求出．
【解答】解：如圖，連結(jié)，
是三棱錐的底面的重心，
，
，
、、，
，，
．
故選：．
【名師指導(dǎo)】
進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，有以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)結(jié)合圖形，明確圖形中各線段的幾何關(guān)系．
(2)正確運(yùn)用向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．
(3)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍然成立．
題型2 共線、共面向量定理的應(yīng)用
【例2-1】（2020春?和平區(qū)期中）已知空間向量，1，，，，，且，則實(shí)數(shù)
A．B．C．D．6
【分析】由，可設(shè)，可得，解出即可得出．
【解答】解：，可設(shè)，，
解得．
故選：．
【例2-2】（2019秋?吉安期末）在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則
A．B．C．D．
【分析】利用向量共面基本定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：由共面知，，解得．
故選：．
【例2-3】（2019秋?駐馬店期末）已知空間三點(diǎn)，1，，，3，，，5，在一條直線上，則實(shí)數(shù)的值是
A．2B．4C．D．
【分析】空間三點(diǎn)，1，，，3，，，5，在一條直線上，可得存在實(shí)數(shù)，使得，即可得出．
【解答】解：，2，，，4，，
空間三點(diǎn)，1，，，3，，，5，在一條直線上，
則存在實(shí)數(shù)，使得，
，解得，．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2019秋?資陽期末）已知，，若，則
A．B．C．D．
【分析】由，可得存在實(shí)數(shù)使得，即可得出．
【解答】解：，存在實(shí)數(shù)使得，
，解得，，．
則．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019秋?內(nèi)蒙古期末）已知點(diǎn)，2，，，4，，，，三點(diǎn)共線，則 ．
【分析】利用向量共線定理即可的．
【解答】1解：因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以可設(shè)．
因?yàn)椋?br>，
解得，，．
所以解得所以．
故答案為：1．
【跟蹤訓(xùn)練2-3】（2020春?和平區(qū)期中）在下列條件中，使與，，一定共面的是
A．B．
C．D．
【分析】利用空間向量基本定理進(jìn)行驗(yàn)證，可得時(shí)，、、是共面向量，從而可得、、、四點(diǎn)共面．
【解答】解：在中，由，得，則、、為共面向量，即、、、四點(diǎn)共面；
對(duì)于，由，得，不能得出、、、四點(diǎn)共面；
對(duì)于，由，得，所以、、、四點(diǎn)不共面；
對(duì)于，由，得，其系數(shù)和不為1，所以、、、四點(diǎn)不共面．
故選：．
【名師指導(dǎo)】
共線、共面向量定理的類比
題型3 空間向量數(shù)量積的應(yīng)用
【例3-1】（2019秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，在棱上，且，是的中點(diǎn)．
（1）證明：．
（2）求．
（3）求的長(zhǎng)．
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)；
（1）利用，證明；
（2）利用空間向量的數(shù)量積求出，；
（3）利用空間向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算的值．
【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；
則，0，，，1，，，2，，，2，，，2，；
（1），1，，，0，，
，
，
；
（2）由知，，2，，，，，，，，
，
，，
，；
（3）為的中點(diǎn)，，，，，1，，
，，，
，
即的長(zhǎng)為．
【例3-2】（2019秋?天津期末）已知空間向量，，若，則實(shí)數(shù)
A．B．C．1D．2
【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量公式，求得的值．
【解答】解：空間向量，，若，
，求得實(shí)數(shù)，
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2019秋?梅河口市校級(jí)期末）已知，1，，，，，，1，，則
A．18B．C．D．
【分析】可以求出，然后進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可．
【解答】解：，，
．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2019秋?秦皇島期末）在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）中，，，則的長(zhǎng)為
A．3B．C．6D．
【分析】由，可得，即可得出．
【解答】解：，
則
．
．
故選：．
【名師指導(dǎo)】
空間向量數(shù)量積的3個(gè)應(yīng)用
題型4 利用空間向量證明平行或垂直
【例4-1】（2019秋?漢中期末）在邊長(zhǎng)是2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．
（1）求的長(zhǎng)
（2）證明：平面；
（3）證明：平面．
【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)表示，代入長(zhǎng)度公式求解；
（2）求出的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵坐標(biāo)關(guān)系判斷，再利用線面平行的判定定理證明；
（3）利用，，可證直線垂直于、，再利用線面垂直的判定定理證明．
【解答】解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，
，分別為，的中點(diǎn)，，1，，，1，，，0，，
．
（2），0，，，
又平面，平面，
平面．
（3），，，，0，，
，，，，又，
平面．
【跟蹤訓(xùn)練4-1】如圖，設(shè)為長(zhǎng)方形所在平面外一點(diǎn)，在上，在上，若，用向量法證明：直線平面．
【分析】建立空間坐標(biāo)系，設(shè)，，三點(diǎn)坐標(biāo)，用此三點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，，，然后觀察能否用表示出即可判斷線面是否平行．
【解答】解：建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)，0，，，，，，，，則，，，
，，，，，，，，，，，，，，，
，，設(shè)，則，，，，，．
，，，．
平面，平面，平面，平面．
【跟蹤訓(xùn)練4-2】已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是，的中點(diǎn)，求證：
（1）平面；
（2）平面平面．
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，，，，，，的坐標(biāo)，求出，，．
（1）利用向量的數(shù)量積為0求出平面的法向量，通過向量的數(shù)量積推出，利用直線與平面平行的判定定理證明平面．
（2）求出平面的一個(gè)法向量．與平面的法向量，通過向量共線證明，平面平面．
【解答】解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
則有，0，，，0，，，2，，，2，，
，2，，，0，，，2，，
所以，2，，，0，，，2，．
（1）設(shè)，，是平面的法向量，則，，
即，令，
所以，，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槠矫妫?br>即平面．
（2）因?yàn)椋?，，設(shè)，，是平面的一個(gè)法向量．
由，，得．
令，所以，，，
所以，所以平面平面．
【名師指導(dǎo)】
利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系．
(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素．
(3)通過空間向量的運(yùn)算求出直線的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直關(guān)系．
(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題．
概念
語言描述
共線向量(平行向量)
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合
共面向量
平行于同一個(gè)平面的向量
共線向量定理
對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb
共面向量定理
若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb
空間向量基本定理及推論
定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OA, \s\up7(―→))＋yeq \(OB, \s\up7(―→))＋zeq \(OC, \s\up7(―→))且x＋y＋z＝1
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)量積
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
夾角公式
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
l⊥α
n∥m?n＝km(k∈R)
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝km(k∈R)
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
三點(diǎn)P，A，B共線
空間四點(diǎn)M，P，A，B共面
eq \(PA, \s\up7(―→))＝λeq \(PB, \s\up7(―→))
eq \(MP, \s\up7(―→))＝xeq \(MA, \s\up7(―→))＋yeq \(MB, \s\up7(―→))
對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝eq \(OA, \s\up7(―→))＋teq \(AB, \s\up7(―→))
對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝eq \(OM, \s\up7(―→))＋xeq \(MA, \s\up7(―→))＋yeq \(MB, \s\up7(―→))
對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OA, \s\up7(―→))＋(1－x)eq \(OB, \s\up7(―→))
對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq \(OP, \s\up7(―→))＝xeq \(OM, \s\up7(―→))＋yeq \(OA, \s\up7(―→))＋(1－x－y)eq \(OB, \s\up7(―→))
求夾角
設(shè)向量a，b夾角為θ，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角
求長(zhǎng)度(距離)
利用公式|a|2＝a·a，可將線段長(zhǎng)度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題
解決垂直問題
利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題

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