知識梳理
1．向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．
(2)范圍：設θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.
(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．
2．平面向量的數(shù)量積
3.向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量數(shù)量積的有關結論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
題型歸納
題型1 平面向量數(shù)量積的運算
【例1-1】（2020春?南崗區(qū)校級期末）已知向量，滿足，，則
A．0B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則即可得解．
【解答】解：．
故選：．
【例1-2】（2020春?臨渭區(qū)期末）在中，為線段的中點，，，則
A．B．C．3D．4
【分析】以，為基底，分別表示，，即可求解．
【解答】解：為線段的中點，，，
又，，則，．
．
故選：．
【跟蹤訓練1-1】（2020春?泉州期末）平行四邊形中，，，，是線段的中點，則
A．0B．2C．4D．
【分析】根據(jù)條件即可得出，，從而得出，然后進行數(shù)量積的運算即可．
【解答】解：如圖，根據(jù)題意：，，且，，，
．
故選：．
【跟蹤訓練1-2】（2020春?道里區(qū)校級期末）已知，滿足，，的夾角為，則 ．
【分析】直接利用向量的數(shù)量積公式化簡求解即可．
【解答】解：，滿足，，的夾角為，
．
故答案為：．
【名師指導】
求非零向量a，b的數(shù)量積的3種方法
題型2 平面向量數(shù)量積的應用
【例2-1】（2020春?北海期末）已知向量，的夾角為，，，則
A．1B．C．3D．2
【分析】利用向量的數(shù)量積公式求將求出的值代入代數(shù)式即得．
【解答】解：向量，的夾角為，，
．
則，
故選：．
【例2-2】（2020春?廣東期末）已知平面向量，，，則與的夾角為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)條件可求出，，然后即可求出的值，從而得出與的夾角．
【解答】解：，，
，且，
．
故選：．
【例2-3】（2020?太原二模）已知是兩個非零向量，其夾角為，若，且，則
A．B．C．D．
【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的夾角公式，求得的值．
【解答】解：是兩個非零向量，其夾角為，若，
則，
．
，
，
．
則，
故選：．
【跟蹤訓練2-1】（2020春?黔南州期末）已知向量，滿足，，，，則
A．2B．3C．4D．6
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則即可得解．
【解答】解：因為，，所以．
故選：．
【跟蹤訓練2-2】（2020春?赤峰期末）已知，是單位向量，若，則與的夾角為
A．B．C．D．
【分析】由題意利用兩個向量數(shù)量積公式，求出與的夾角的余弦值，可得它的與的夾角．
【解答】解：已知，是單位向量，若，設與的夾角為，
，
即，求得，，
故選：．
【跟蹤訓練2-3】（2020春?新余期末）已知向量、滿足，，向量，的夾角為，則的值為
A．4B．3C．2D．
【分析】根據(jù)條件可求出，從而根據(jù)即可求出答案．
【解答】解：，且，
．
故選：．
【跟蹤訓練2-4】（2020春?廣州期末）已知，，若，則 ．
【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量數(shù)量積公式求出的值，可得的值．
【解答】解：已知，，若，
則，，
則，
故答案為：．
【跟蹤訓練2-5】（2020春?金安區(qū)校級期末）已知向量，，且，則
A．B．C．6D．8
【分析】利用平面向量坐標運算法則求出，再由，利用向量垂直的性質(zhì)能求出的值．
【解答】解：向量，，
，
，
，
解得．
故選：．
【跟蹤訓練2-6】（2020?臨汾模擬）已知向量，，向量在向量方向上的投影為．若，則實數(shù)的值為
A．B．C．D．
【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的定義，求得實數(shù)的值．
【解答】解：向量，，向量在向量方向上的投影為，
，
若，則，
，
故選：．
【跟蹤訓練2-7】（2020春?咸陽期末）已知向量，，若，則實數(shù)的值為
A．B．1C．D．2
【分析】利用平面向量坐標運算法則，求出，再由，能求出實數(shù)的值．
【解答】解：向量，，
，
，
，
解得實數(shù)．
故選：．
【跟蹤訓練2-8】（2020春?密云區(qū)期末）已知向量與的夾角為，，，當時，實數(shù)為
A．1B．2C．D．
【分析】根據(jù)兩向量垂直時數(shù)量積為0，列方程求出的值．
【解答】解：向量與的夾角為，，，
由知，，
，
，
解得．
故選：．
【跟蹤訓練2-9】（2020春?墊江縣校級期末）已知，，且，則 ．
【分析】推導出，，由此能求出結果．
【解答】解：，，且，
，
，
．
故答案為：．
【跟蹤訓練2-10】（2020?徐州模擬）已知，，若，則實數(shù)的值為 ．
【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求得的值．
【解答】解：已知，，．
若，，，，
則實數(shù)，
故答案為：5．
【跟蹤訓練2-11】（2020?江蘇模擬）在中，，若角的最大值為，則實數(shù)的值是 ．
【分析】由得出，設三角所對的邊分別為、、，求出，再利用角的最大值得出方程求出的值．
【解答】解：中，，
所以，
即，
所以，
設三角所對的邊分別為、、，
則，
所以，
若角的最大值為，
則，
令，解得．
故答案為：3．
【名師指導】
1.求平面向量模的2種方法
2.求平面向量夾角的2種方法
3．利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題
若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．
4．已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數(shù)的值
根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數(shù)．
題型3 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題
【例3-1】（2020春?遼陽期末）已知向量，，向量，，函數(shù)．
（1）求的最大值；
（2）若，是關于的方程的兩根，且，求及的值．
【分析】（1）通過向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，結合三角函數(shù)的最值求解即可．
（2）利用方程的根，推出三角函數(shù)關系式，然后轉(zhuǎn)化求解表達式的值即可．
【解答】解：（1）向量，，向量，，
函數(shù)，
所以函數(shù)的最大值為2．
（2），是關于的方程的兩根，即與，，
是關于的方程的兩根，所以，，
因為，所以，解得．
所以．
【例3-2】（2020春?北海期末）已知向量，，函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，，時，求函數(shù)的最值．
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解即可．
（2）通過的范圍求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解即可．
【解答】解：（1）．
由，，
可得，，
單調(diào)遞增區(qū)間為：，．
（2）若．
當，時，，
即，則，
所以函數(shù)的最大值、最小值分別為：，．
【跟蹤訓練3-1】（2020春?湛江期末）已知向量，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，則函數(shù)的值域．
【分析】（1）根據(jù)平面向量平行的坐標運算以及二倍角公式進行求解即可；
（2）先結合平面向量數(shù)量積的坐標運算和輔助角公式將函數(shù)化簡為，再結合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1），，，即，
，，．
（2），
，，．
函數(shù)的值域為．
【跟蹤訓練3-2】（2020春?沈陽期末）已知，．
（1）若，求向量在向量方向的投影的數(shù)量．
（2）若，且，求向量的坐標．
【分析】（1）先將等式的左邊展開化簡運算可得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求解即可；
（2）把代入的坐標中可得向量，設，根據(jù)平面向量的模長和數(shù)量積的運算法則可列出關于和的方程組，解之即可．
【解答】解：（1），
，
向量在向量方向的投影的數(shù)量為．
（2），，，，
設，則①，
，②，
由①②解得，或．
故向量的坐標為或．
【名師指導】
向量與三角函數(shù)綜合問題的特點與解題策略
(1)以向量為載體考查三角函數(shù)的綜合應用題目，通過向量的坐標運算構建出三角函數(shù)，然后再考查有關三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、周期性等三角函數(shù)性質(zhì)問題，有時還加入?yún)?shù)，考查分類討論的思想方法．
(2)向量與三角函數(shù)結合時，通常以向量為表現(xiàn)形式，實現(xiàn)三角函數(shù)問題，所以要靈活運用三角函數(shù)中的相關方法與技巧求解．
(3)注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系，避免出現(xiàn)將內(nèi)角等同于向量夾角的錯誤．
定義
設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cs_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b
投影
|a|cs_θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs_θ叫做向量b在a方向上的投影
幾何意義
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cs_θ的乘積
結論
幾何表示
坐標表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))
夾角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
a⊥b的充
要條件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
方法
適用范圍
定義法
已知或可求兩個向量的模和夾角
基底法
直接利用定義法求數(shù)量積不可行時，可選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別表示出來，進而根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義求解
坐標法
①已知或可求兩個向量的坐標；
②已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標系，使用坐標法求數(shù)量積
公式法
利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算
幾何法
利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解
定義法
當a，b是非坐標形式，求a與b的夾角θ時，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系，由cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求得
坐標法
若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cs 〈a，b〉＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]

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