例1 (1)(2020·新高考全國Ⅰ)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案 D
解析 因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，
則f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，
畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，
則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示．
(1) (2)
當(dāng)x≤0時，要滿足xf(x－1)≥0，
則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
當(dāng)x>0時，要滿足xf(x－1)≥0，
則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3]．
(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對于任意兩個正數(shù)x1，x2(x1x1·f(x2)．記a＝25f(0.22)，b＝f(1)，c＝－lg53 SKIPIF 1 < 0 ，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
答案 A
解析 構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq \f(f?x?,x)，
函數(shù)g(x)的定義域為{x|x≠0}，
∵函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)，
g(－x)＝eq \f(f?－x?,－x)＝eq \f(f?x?,x)＝g(x)，
則函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，
對于任意兩個正數(shù)x1，x2(x1x1·f(x2)，
則eq \f(f?x1?,x1)>eq \f(f?x2?,x2)，
即g(x1)>g(x2)，
則函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
∵a＝25f(0.22)＝eq \f(1,\f(1,25))f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,25)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,25)))，
b＝f(1)＝g(1)，
c＝－lg53 SKIPIF 1 < 0 ＝－eq \f(1,lg35)f(－lg35)
＝g(lg35)，
∵lg35>lg33＝1>eq \f(1,25)，
則g(lg35)c.
思維升華 (1)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))，利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“f”脫掉，得到具體的不等式(組)．
(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進而利用其單調(diào)性比較大?。?br>跟蹤訓(xùn)練1 (2022·南京質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝－x－x3，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，則f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于零
B．一定小于零
C．等于零
D．正負(fù)都有可能
答案 B
解析 函數(shù)f(x)的定義域為R，
又f(－x)＝－(－x)－(－x)3＝x＋x3
＝－f(x)，
所以函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，
由單調(diào)性的運算性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，
因為x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，
即x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1，
所以f(x1)0，
所以f(x)在[0,1)上單調(diào)遞增，
因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增，
所以f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，
因為f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)＋2×4))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2)－2×3))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))>f(0)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,2)))>f(4)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,2))).
題型三 函數(shù)的奇偶性與對稱性
例3 (1)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則以下函數(shù)中圖象一定關(guān)于點(－1，0)成中心對稱的是( )
A．y＝(x－1)f(x－1)
B．y＝(x＋1)f(x＋1)
C．y＝xf(x)＋1
D．y＝xf(x)－1
答案 B
解析 構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)，該函數(shù)的定義域為R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，
故函數(shù)g(x)的圖象的對稱中心為原點．
函數(shù)y＝(x＋1)f(x＋1)的圖象可在函數(shù)g(x)的圖象上向左平移1個單位長度，
故函數(shù)y＝(x＋1)f(x＋1)圖象的對稱中心為(－1,0)．
(2)(2022·揚州模擬)寫出一個滿足f(x)＝f(2－x)的偶函數(shù)f(x)＝________.
答案 cs πx(常數(shù)函數(shù)也可，答案不唯一)
解析 取f(x)＝cs πx，證明過程如下：
f(x)＝cs πx的定義域為R，
由f(－x)＝cs(－πx)＝cs πx＝f(x)，
故f(x)為偶函數(shù)，
又f(2－x)＝cs[π(2－x)]＝cs(2π－πx)＝cs πx＝f(x)．
思維升華 由函數(shù)的奇偶性與對稱性可求函數(shù)的周期，常用于化簡求值、比較大小等．
跟蹤訓(xùn)練3 定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其圖象關(guān)于點(－2,0)對稱，且f(x)在[0,2)上單調(diào)遞增，則( )
A．f(11)

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