?2022年山東省煙臺市中考數學試卷
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的．
1．﹣8的絕對值是（　?。?br /> A． B．8 C．﹣8 D．±8
2．下列新能源汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列計算正確的是（　?。?br /> A．2a+a＝3a2 B．a3?a2＝a6 C．a5﹣a3＝a2 D．a3÷a2＝a
4．如圖，是一個正方體截去一個角后得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（　　）

A． B． C． D．
5．一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數比為3：1，則這個正多邊形是（　　）
A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形
6．如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是（　　）

A． B． C． D．1
7．如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（　?。?br />
A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°
8．如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個正方形的邊長為（　　）

A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
9．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣，且與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0）．下列結論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有兩個相等的實數根．其中正確結論的序號是（　　）

A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
10．周末，父子二人在一段筆直的跑道上練習競走，兩人分別從跑道兩端開始往返練習．在同一直角坐標系中，父子二人離同一端的距離s（米）與時間t（秒）的關系圖象如圖所示．若不計轉向時間，按照這一速度練習20分鐘，迎面相遇的次數為（　　）


A．12 B．16 C．20 D．24
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）
11．把x2﹣4因式分解為 　 　．
12．觀察如圖所示的象棋棋盤，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帥”所在的位置可表示為 　 　．

13．如圖，是一個“數值轉換機”的示意圖．若x＝﹣5，y＝3，則輸出結果為 　 　．

14．小明和同學們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據牌面上的數字進行混合運算（每張牌上的數字只能用一次），使得運算結果等于24．小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結果等于24的算式 　 　．

15．如圖，A，B是雙曲線y＝（x＞0）上的兩點，連接OA，OB．過點A作AC⊥x軸于點C，交OB于點D．若D為AC的中點，△AOD的面積為3，點B的坐標為（m，2），則m的值為 　 　．

16．如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個動點（不與點B，C重合），DE∥AB，交AC于點E，EF∥BC，交AB于點F．設BD的長為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點P的坐標為（2，3），則AB的長為 　 　．


三、解答題（本大題共8個小題，滿分72分）
17．（6分）求不等式組的解集，并把它的解集表示在數軸上．
18．（6分）如圖，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于點F，BE∥DF，交AD的延長線于點E．若∠A＝40°，求∠ABE的度數．

19．（8分）2021年4月，教育部辦公廳在《關于進一步加強中小學生體質健康管理工作的通知》中明確要求保障學生每天校內、校外各1小時體育活動時間．某校為了解本校學生校外體育活動情況，隨機對本校100名學生某天的校外體育活動時間進行了調查，并按照體育活動時間分A，B，C，D四組整理如下：
組別
體育活動時間/分鐘
人數
A
0≤x＜30
10
B
30≤x＜60
20
C
60≤x＜90
60
D
x≥90
10
根據以上信息解答下列問題：
（1）制作一個適當的統(tǒng)計圖，表示各組人數占所調查人數的百分比；
（2）小明記錄了自己一周內每天的校外體育活動時間，制作了如下折線統(tǒng)計圖．請計算小明本周內平均每天的校外體育活動時間；
（3）若該校共有1400名學生，請估計該校每天校外體育活動時間不少于1小時的學生人數．

20．（8分）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道．已知樓梯共有五級均勻分布的臺階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設通道的坡角不得小于多少度？（結果精確到1）

（參考數據表）
計算器按鍵順序
計算結果（已精確到0.001）

11.310

0.003

14.744

0.005
21．（8分）掃地機器人具備敏捷的轉彎、制動能力和強大的自主感知、規(guī)劃能力，深受人們喜愛．某商場根據市場需求，采購了A，B兩種型號掃地機器人．已知B型每個進價比A型的2倍少400元．采購相同數量的A，B兩種型號掃地機器人，分別用了96000元和168000元．請問A，B兩種型號掃地機器人每個進價分別為多少元？

22．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．
（1）請用尺規(guī)作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長．

23．（12分）【問題呈現】
如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
【類比探究】
如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
【拓展提升】
如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
（1）求的值；
（2）延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．


24．（14分）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．
（1）求拋物線的表達式；
（2）D是第二象限內拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；
（3）若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．


一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）每小題都給出標號為A，B，C，D四個備選答案，其中有且只有一個是正確的．
1．﹣8的絕對值是（　?。?br /> A． B．8 C．﹣8 D．±8
【分析】正數的絕對值是它本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數．
【解答】解：∵﹣8是負數，﹣8的相反數是8
∴﹣8的絕對值是8．
故選B．
【點評】本題考查絕對值的定義．
2．下列新能源汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【解答】解：A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．
3．下列計算正確的是（　　）
A．2a+a＝3a2 B．a3?a2＝a6 C．a5﹣a3＝a2 D．a3÷a2＝a
【分析】根據同底數冪的除法，合并同類項，同底數冪的乘法法則，進行計算逐一即可解答．
【解答】解：A、2a+a＝3a，故A不符合題意；
B、a3?a2＝a5，故B不符合題意；
C、a5與a3不能合并，故C不符合題意；
D、a3÷a2＝a，故D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了同底數冪的除法，合并同類項，同底數冪的乘法，熟練掌握它們的運算法則是解題的關鍵．
4．如圖，是一個正方體截去一個角后得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根據左視圖是從左面看到的圖形判定則可．
【解答】解：從左邊看，可得如下圖形：

故選：A．

【點評】本題考查三視圖、熟練掌握三視圖的定義是解決問題的關鍵．
5．一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數比為3：1，則這個正多邊形是（　　）
A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形
【分析】設這個外角是x°，則內角是3x°，根據內角與它相鄰的外角互補列出方程求出外角的度數，根據多邊形的外角和是360°即可求解．
【解答】解：∵一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數比為3：1，
∴設這個外角是x°，則內角是3x°，
根據題意得：x+3x＝180°，
解得：x＝45°，
360°÷45°＝8（邊），
故選：C．
【點評】本題考查了多邊形的內角和外角，根據內角與它相鄰的外角互補列出方程是解題的關鍵．
6．如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是（　?。?br />
A． B． C． D．1
【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中同時閉合兩個開關能形成閉合電路的結果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把S1、S2、S3分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如下：

共有6種等可能的結果，其中同時閉合兩個開關能形成閉合電路的結果有4種，即AB、AC、BA、CA，
∴同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率為＝，
故選：B．
【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．
7．如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（　?。?br />
A．北偏東70° B．北偏東75° C．南偏西70° D．南偏西20°
【分析】根據題意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根據等腰三角形的性質可得∠ABC＝∠C＝75°，從而求出∠BAC的度數，然后利用平行線的性質可得∠DAB＝∠ABE＝40°，從而求出∠DAC的度數，即可解答．
【解答】解：如圖：

由題意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小島C相對于小島A的方向是北偏東70°，
故選：A．

【點評】本題考查了方向角，等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
8．如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個正方形的邊長為（　?。?br />
A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6
【分析】根據勾股定理得出正方形的對角線是邊長的．第1個正方形的邊長為1，其對角線長為；第2個正方形的邊長為，其對角線長為（）2；第3個正方形的邊長為（）2，其對角線長為（）3；???；第n個正方形的邊長為（）n﹣1.所以，第6個正方形的邊長（）5．
【解答】解：由題知，第1個正方形的邊長AB＝1，
根據勾股定理得，第2個正方形的邊長AC＝，
根據勾股定理得，第3個正方形的邊長CF＝（）2，
根據勾股定理得，第4個正方形的邊長GF＝（）3，
根據勾股定理得，第5個正方形的邊長GN＝（）4，
根據勾股定理得，第6個正方形的邊長＝（）5．
故選C．
【點評】本題利用勾股定理找到正方形邊長之間的倍關系，由此依次推出第2個、第3個、???、第6個正方形的邊長．
9．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，其對稱軸為直線x＝﹣，且與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0）．下列結論：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有兩個相等的實數根．其中正確結論的序號是（　?。?br />
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【分析】根據對稱軸、開口方向、與y軸的交點位置即可判斷a、b、c與0的大小關系，然后將由對稱可知a＝b，從而可判斷答案．
【解答】解：①由圖可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合題意．
②由題意可知：＝﹣，
∴b＝a，故②符合題意．
③將（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合題意．
④由圖象可知：二次函數y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有兩個不相同的解，故④不符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查二次函數的圖像與系數的關系，解題的關鍵是正確地由圖象得出a、b、c的數量關系，本題屬于基礎題型．
10．周末，父子二人在一段筆直的跑道上練習競走，兩人分別從跑道兩端開始往返練習．在同一直角坐標系中，父子二人離同一端的距離s（米）與時間t（秒）的關系圖象如圖所示．若不計轉向時間，按照這一速度練習20分鐘，迎面相遇的次數為（　?。?br />

A．12 B．16 C．20 D．24
【分析】先求出二人速度，即可得20分鐘二人所跑路程之和，再總結出第n次迎面相遇時，兩人所跑路程之和（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案．
【解答】解：由圖可知，父子速度分別為：200×2÷120＝（米/秒）和200÷100＝2（米/秒），
∴20分鐘父子所走路程和為20×60×（+2）＝6400（米），
父子二人第一次迎面相遇時，兩人所跑路程之和為200米，
父子二人第二次迎面相遇時，兩人所跑路程之和為200×2+200＝600（米），
父子二人第三次迎面相遇時，兩人所跑路程之和為400×2+200＝1000（米），
父子二人第四次迎面相遇時，兩人所跑路程之和為600×2+200＝1400（米），
…
父子二人第n次迎面相遇時，兩人所跑路程之和為200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，
令400n﹣200＝6400，
解得n＝16.5，
∴父子二人迎面相遇的次數為16，
故選：B．
【點評】本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是求出父子二人第n次迎面相遇時，兩人所跑路程之和（400n﹣200）米．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）
11．把x2﹣4因式分解為 　（x+2）（x﹣2）?。?br /> 【分析】利用平方差公式，進行分解即可解答．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
故答案為：（x+2）（x﹣2）．
【點評】本題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．
12．觀察如圖所示的象棋棋盤，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帥”所在的位置可表示為 　（4，1）?。?br />
【分析】直接利用已知點坐標得出原點位置進而得出答案．
【解答】解：如圖所示：

“帥”所在的位置：（4，1），
故答案為：（4，1）．
【點評】本題主要考查了坐標確定位置，正確得出原點位置是解題的關鍵．
13．如圖，是一個“數值轉換機”的示意圖．若x＝﹣5，y＝3，則輸出結果為 　13?。?br />
【分析】根據題意可得，把x＝﹣5，y＝3代入（x2+y0）進行計算即可解答．
【解答】解：當x＝﹣5，y＝3時，
（x2+y0）
＝×[（﹣5）2+30]
＝×（25+1）
＝×26
＝13，
故答案為：13．
【點評】本題考查了有理數的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
14．小明和同學們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據牌面上的數字進行混合運算（每張牌上的數字只能用一次），使得運算結果等于24．小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結果等于24的算式 ?。?+3﹣2）×6（答案不唯一）．　．

【分析】根據有理數的加、減、乘、除、乘方運算法則，進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：
（3+3﹣2）×6＝24，
故答案為：（3+3﹣2）×6（答案不唯一）．
【點評】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握有理數的加、減、乘、除、乘方運算法則是解題的關鍵．
15．如圖，A，B是雙曲線y＝（x＞0）上的兩點，連接OA，OB．過點A作AC⊥x軸于點C，交OB于點D．若D為AC的中點，△AOD的面積為3，點B的坐標為（m，2），則m的值為 　6?。?br />
【分析】應用k的幾何意義及中線的性質求解．
【解答】解：因為D為AC的中點，△AOD的面積為3，
所以△AOC的面積為6，
所以k＝12＝2m．
解得：m＝6．
故答案為：6．
【點評】本題考查了反比例函數中k的幾何意義，關鍵是利用△AOB的面積轉化為三角形AOC的面積．
16．如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個動點（不與點B，C重合），DE∥AB，交AC于點E，EF∥BC，交AB于點F．設BD的長為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點P的坐標為（2，3），則AB的長為 　2?。?br />

【分析】根據拋物線的對稱性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，當BD＝2時，?BDEF的面積為3，則此時BF＝，AB＝2BF，即可解決問題．
【解答】解：∵拋物線的頂點為（2，3），過點（0，0），
∴x＝4時，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，當BD＝2時，?BDEF的面積為3，

∵3＝2FH，
∴FH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝＝，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝2，
故答案為：2．
【點評】本題主要考查了動點的函數圖象問題，拋物線的對稱性，平行四邊形的性質，特殊角的三角函數值等知識，求出BC＝4是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分72分）
17．（6分）求不等式組的解集，并把它的解集表示在數軸上．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
∴不等式組的解集為：1≤x＜4，
將不等式組的解集表示在數軸上如下：

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，掌握“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解題的關鍵．
18．（6分）如圖，在?ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于點F，BE∥DF，交AD的延長線于點E．若∠A＝40°，求∠ABE的度數．

【分析】根據平行四邊形的性質和平行線的性質即可得到結論．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF＝ADC＝70°，
∴∠AFD＝∠CDF＝70°，
∵DF∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝70°．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．
19．（8分）2021年4月，教育部辦公廳在《關于進一步加強中小學生體質健康管理工作的通知》中明確要求保障學生每天校內、校外各1小時體育活動時間．某校為了解本校學生校外體育活動情況，隨機對本校100名學生某天的校外體育活動時間進行了調查，并按照體育活動時間分A，B，C，D四組整理如下：
組別
體育活動時間/分鐘
人數
A
0≤x＜30
10
B
30≤x＜60
20
C
60≤x＜90
60
D
x≥90
10
根據以上信息解答下列問題：
（1）制作一個適當的統(tǒng)計圖，表示各組人數占所調查人數的百分比；
（2）小明記錄了自己一周內每天的校外體育活動時間，制作了如下折線統(tǒng)計圖．請計算小明本周內平均每天的校外體育活動時間；
（3）若該校共有1400名學生，請估計該校每天校外體育活動時間不少于1小時的學生人數．

【分析】（1）用扇形統(tǒng)計圖表示各組人數占所調查人數的百分比；
（2）根據平均數的計算方法進行計算即可；
（3）樣本估計總體，求出樣本中每天校外體育活動時間不少于1小時的學生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）由于各組人數占所調查人數的百分比，因此可以采用扇形統(tǒng)計圖；

（2）＝64（分），
答：小明本周內平均每天的校外體育活動時間為64分鐘；
（3）1400×＝980（名），
答：該校1400名學生中，每天校外體育活動時間不少于1小時的大約有980名．
【點評】本題考查統(tǒng)計圖的選擇，頻數分布表以及平均數，掌握各種統(tǒng)計圖的特點以及加權平均數的計算方法是正確解答的前提．
20．（8分）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道．已知樓梯共有五級均勻分布的臺階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設通道的坡角不得小于多少度？（結果精確到1）

（參考數據表）
計算器按鍵順序
計算結果（已精確到0.001）

11.310

0.003

14.744

0.005
【分析】根據題意可得DF＝AB＝0.15米，然后根據斜坡AC的坡比為1：2，可求出BC，CD的長，從而求出EB的長，最后在Rt△AEB中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．
【解答】解：如圖：

由題意得：
DF＝AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比為1：2，
∴＝，＝，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝＝＝，
查表可得，∠AEB≈11.310°≈11°，
∴為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設通道的坡角不得小于11度．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟練掌握坡比是解題的關鍵．
21．（8分）掃地機器人具備敏捷的轉彎、制動能力和強大的自主感知、規(guī)劃能力，深受人們喜愛．某商場根據市場需求，采購了A，B兩種型號掃地機器人．已知B型每個進價比A型的2倍少400元．采購相同數量的A，B兩種型號掃地機器人，分別用了96000元和168000元．請問A，B兩種型號掃地機器人每個進價分別為多少元？

【分析】設每個A型掃地機器人的進價為x元，則每個B型掃地機器人的進價為（2x﹣400）元，利用數量＝總價÷單價，結合用96000元購進A型掃地機器人的數量等于用168000元購進B型掃地機器人的數量，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可求出每個A型掃地機器人的進價，再將其代入（2x﹣400）中即可求出每個B型掃地機器人的進價．
【解答】解：設每個A型掃地機器人的進價為x元，則每個B型掃地機器人的進價為（2x﹣400）元，
依題意得：＝，
解得：x＝1600，
經檢驗，x＝1600是原方程的解，且符合題意，
∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．
答：每個A型掃地機器人的進價為1600元，每個B型掃地機器人的進價為2800元．
【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
22．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．
（1）請用尺規(guī)作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長．

【分析】（1）過點A作AD⊥AO即可；
（2）連接OB，OC．證明∠ACB＝75°，利用三角形內角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得結論．
【解答】解：（1）如圖，切線AD即為所求；


（2）連接OB，OC．
∵AD是切線，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，
∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC?cos30°＝，
∴BC＝2．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，三角形的外接圓，切線的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
23．（12分）【問題呈現】
如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
【類比探究】
如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
【拓展提升】
如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
（1）求的值；
（2）延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．


【分析】【問題呈現】證明△BAD≌△CAE，從而得出結論；
【類比探究】證明△BAD∽△CAE，進而得出結果；
【拓展提升】（1）先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結果；
（2）在（1）的基礎上得出∠ACE＝∠ABD，進而∠BFC＝∠BAC，進一步得出結果．
【解答】【問題呈現】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
【類比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝；
【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝；
（2）由（1）得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC＝＝．
【點評】本題考查了等腰三角形性質，全等三角形判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形．
24．（14分）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．
（1）求拋物線的表達式；
（2）D是第二象限內拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；
（3）若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）先求得A，C，B三點的坐標，將拋物線設為交點式，進一步求得結果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根據點D和點E坐標可表示出DE的長，進而表示出三角形ADC的面積，進而表示出S的函數關系式，進一步求得結果；
（3）根據菱形性質可得PA＝PC，進而求得點P的坐標，根據菱形性質，進一步求得點Q坐標．
【解答】解：（1）當x＝0時，y＝4，
∴C （0，4），
當y＝0時，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵對稱軸為直線x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴設拋物線的表達式：y＝a（x﹣1）?（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣1）?（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如圖1，

作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝?（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝6，
∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2（m+）2+，
∴當m＝﹣時，S最大＝，
當m＝﹣時，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）設P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝y(tǒng)A+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【點評】本題考查了二次函數及其圖象性質，勾股定理，菱形性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握相關二次函數和菱形性質．

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