第5節(jié)  圓的切線、切點(diǎn)弦結(jié)論知識(shí)與方法1求過圓上一點(diǎn)的圓C的切線的步驟如下：（1）先驗(yàn)證經(jīng)過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線是否和圓C相切，若是，如圖1所示，所求切線為，問題求解完畢；若否，則進(jìn)行下一步；（2）設(shè)切線斜率為k，如圖2所示，由切線，求出k，用點(diǎn)斜式寫出切線的方程，問題求解完畢.上述問題的結(jié)論：圓C上點(diǎn)P處的切線的方程為.2求過圓外一點(diǎn)的圓C的切線的步驟如下：（1）先驗(yàn)證過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線是否和圓相切，若是，如圖3所示，其中一條切線為（2）設(shè)切線的斜率為k，用點(diǎn)斜式寫出切線的方程，由圓心到切線的距離，解出k，求得切線方程.3.過圓外一點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，如圖4所示，則切點(diǎn)弦所在直線的方程為典型例題【例l】圓在點(diǎn)處的切線方程為______.【解析】顯然點(diǎn)P在圓C上，故所求切線的方程為，化簡得：.【答案】變式1  圓在點(diǎn)處的切線方程為______.【解析】易驗(yàn)證點(diǎn)P在圓C上，故所求切線的方程為，化簡得：【反思】過圓C上的點(diǎn)作圓C的切線，則切線的方程可以在圓C的一般式方程中將換成，將換成，將x換成，將y換成得到.【答案】變式2  已知圓，則：（1）圓C的過點(diǎn)的切線方程為_______；（2）圓C的過點(diǎn)的切線方程為_______【解析】（1）顯然過點(diǎn)P且斜率不存在的直線與圓C不相切，故可設(shè)切線的方程為，即，所以，解得：，故圓C的過點(diǎn)P的切線方程為；（2）易得過點(diǎn)Q且斜率不存在的直線與圓C相切，設(shè)另一條切線的方程為，即，所以，解得：，所以該切線的方程為，化簡得：，綜上所述，圓C的過點(diǎn)Q的切線方程為或.【答案】（1）；（2）或【例2】已知圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，則直線的方程為_______【解析】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為，即【答案】變式1  已知圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，則直線的方程為______.【解析】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為化簡得：【反思】過圓C外的點(diǎn)作圓C的兩條切線，則切點(diǎn)弦所在直線的方程，可在圓C的一般式方程中將換成，將換成，將x換成，將y換成得到.【答案】變式2  已知圓，P為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，若四邊形 的面積為12，則直線的方程為______.【解析】如圖，，所以四邊形的面積，由題意，，解得:，由題意，點(diǎn)P在直線上，故可設(shè)，則，所以，解得：或2，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線的方程為，化簡得：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線AB的方程為，化簡得：，所以直線的方程為或【答案】或變式3  已知圓，P為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，則直線的方程為______.【解析】如圖，，所以四邊形的面積，所以當(dāng)最小時(shí)，S也最小，此時(shí)，易求得的方程為，聯(lián)立解得：，，所以，故直線的方程為，化簡得：.【答案】 變式4  已知直線與x軸交于點(diǎn)T，過直線l上的動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，設(shè)中點(diǎn)為M，則的最小值為（    ）A. B. C. D.3【解析】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，所以可設(shè)，則切點(diǎn)弦所在直線的方程為即，所以直線過定點(diǎn)，又M為中點(diǎn)，所以，故點(diǎn)M在以為直徑的圓上，從而點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)在該圓外，所以.【反思】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在與圓C相離的某一定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，則切點(diǎn)弦所在的直線是過定點(diǎn)的直線，熟悉這一模型，本題的求解就不困難了.【答案】A 強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★）圓在點(diǎn)處的切線方程為（    ）A.  B.C.  D.【解析】顯然點(diǎn)P在圓C上，故所求切線的方程為，化簡得：.【答案】D2.（★★）已知圓，則：（1）圓C的過點(diǎn)的切線方程為______；（2）圓C的過點(diǎn)的切線方程為______.【解析】（1）顯然過點(diǎn)P且斜率不存在的直線與圓C不相切，故可設(shè)切線的方程為，即，所以，解得：，故圓C的過點(diǎn)P的切線方程為；（2）易得過點(diǎn)Q且斜率不存在的直線與圓C相切，設(shè)另一條切線的方程為，即，所以，解得：，所以該切線的方程為，化簡得：，綜上所述，圓C的過點(diǎn)Q的切線方程為或【答案】（1）；（2）或3.（★★）已知圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，則直線的方程為______.【解析】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為，化簡得：.【答案】 4.（★★）已知圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，則直線的方程為______.【解析】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為，化簡得：.【答案】5.（★★）已知圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，則直線的方程為______.【解析】由題意，切點(diǎn)弦所在直線的方程為，化簡得：.【答案】 6.（★★★）已知圓，P為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，若四邊形的面積為12，則直線的方程為______.【解析】如圖，，所以四邊形的面積，由題意，，解得：，由題意，點(diǎn)P在直線上，故可設(shè)，則，所以，解得：或1，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線AB的方程為，化簡得：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線AB的方程為，化簡得：，所以直線的方程為或.【答案】或7.（★★★）已知圓，P為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，則直線的方程為______.【解析】圓心，半徑.如圖，，所以四邊形的面積，所以當(dāng)最小時(shí)，S也最小，此時(shí)，，故的方程為，即，聯(lián)立解得：，，即，所以直線的方程為，化簡得：.【答案】8.（★★★★）已知P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為______.【解析】如圖，，所以四邊形的面積，所以當(dāng)最小時(shí)，S也最小，由題意，，可設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以直線的方程為，化簡得：.【答案】或9.（★★★★）已知圓，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，的中點(diǎn)為Q，若點(diǎn)T的坐標(biāo)為，則的最小值為______.【解析】圓心，半徑，設(shè)，則切點(diǎn)弦所在直線的方程為，化簡得：，所以直線過定點(diǎn)，如圖，顯然，所以點(diǎn)Q的軌跡是以為直徑的圓，其圓心為，，因?yàn)?/span>，所以.【答案】
 

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