第8節(jié)  橢圓、雙曲線的兩個(gè)斜率積結(jié)論知識與方法1．橢圓的第三定義：如圖1所示，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A和B，點(diǎn)P為橢圓C上不與A、B重合的動(dòng)點(diǎn)，則直線、的斜率之積.推廣：如圖2所示，A、B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)且直線、的斜率均存在，則直線、的斜率之積2．橢圓中點(diǎn)弦結(jié)論：如圖3所示，設(shè)是橢圓的任意一條不垂直于坐標(biāo)軸且不過原點(diǎn)的弦，M為的中點(diǎn)，則直線與直線的斜率之積.3．雙曲線的第三定義：如圖4所示，設(shè)A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線上不同于A、B的任意一點(diǎn)，則直線、的斜率之積推廣：如圖5所示，設(shè)A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)O對稱的任意兩點(diǎn)，P為雙曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且、的斜率都存在，則直線、的斜率之積4．雙曲線中點(diǎn)弦結(jié)論：如圖6所示，設(shè)是雙曲線的不垂直于坐標(biāo)軸且不過原點(diǎn)的弦，M為中點(diǎn)，則直線與直線的斜率之積.提醒：若是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓或雙曲線，則上述四個(gè)斜率積的結(jié)果都要取倒數(shù).典型例題【例1】設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A和B，P為橢圓C上不與A、B重合的任意一點(diǎn)，則直線、的斜率之積為______.【解析】由題意，，，設(shè)，，則，所以，所以.【答案】變式1  設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A和B，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)且直線、的斜率之積為，則橢圓C的離心率為______.【解析】由題意，，所以橢圓C的離心率.【答案】變式2  設(shè)A為橢圓上第一象限的一點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)P在橢圓C上且直線、的斜率之積為，則橢圓C的離心率為______.【解析】由題意，可設(shè)，則，且，所以，設(shè)，則，所以，從而，由題意，，所以，從而，故橢圓C的離心率.【答案】【反思】上面的求解過程其實(shí)就是橢圓第三定義推廣結(jié)論的推導(dǎo)過程，熟悉了這一結(jié)論，小題中可直接根據(jù)求得離心率.變式3  橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A和B，點(diǎn)P在C上，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，則的取值范圍是______.【解析】由橢圓第三定義，，所以，，故的取值范圍是.【答案】【反思】看到橢圓左、右頂點(diǎn)與橢圓上另外一點(diǎn)的連線，想到橢圓第三定義的斜率積結(jié)論.變式4  已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，若橢圓C上存在不與A、B重合的點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍是______.【解析】如圖，不妨設(shè)P在x軸上方，，記，，則，所以，從而①，由橢圓第三定義，，所以，代入①可得，顯然，均為銳角，所以，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故，結(jié)合可解得：.【答案】【例2】不與坐標(biāo)軸垂直且不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，則直線與直線l的斜率之積為______.【解析】設(shè)，，則，兩式作差得：，整理得：，所以直線與直線的斜率之積為.【答案】【反思】上面的求解過程是用點(diǎn)差法推導(dǎo)中點(diǎn)弦結(jié)論，熟悉結(jié)論之后，小題中可直接根據(jù)求得結(jié)果.變式1  直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，若直線與直線l的斜率之積為，則橢圓C的離心率為______.【解析】由中點(diǎn)弦結(jié)論，.【答案】變式2  已知直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則直線l的方程為______.【解析】由中點(diǎn)弦結(jié)論，，又的中點(diǎn)為，所以，故，顯然M在直線上，所以直線的方程為，化簡得：【答案】 變式3  （2013·新課標(biāo)Ⅰ卷）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（    ）A. B. C. D.【解析】如圖，設(shè)中點(diǎn)為M，由中點(diǎn)弦結(jié)論，，由題意，，由圖可知，，所以，整理得：又橢圓E的右焦點(diǎn)為，所以，故，，從而橢圓E的方程為【答案】D【反思】看到橢圓的弦中點(diǎn)，聯(lián)想到中點(diǎn)弦斜率積結(jié)論【例3】設(shè)P是左、右頂點(diǎn)分別為A、B的雙曲線上的一點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為（    ）A. B. C. D.【解析】由題意，，，設(shè)，則，所以，從而，直線的傾斜角為，所以，故直線的傾斜角為.【答案】C變式1  已知A、B、P是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且A、B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線、的斜率乘積為1，則該雙曲線的離心率為______.【解析】由題意，可設(shè)，，，則，所以，同理，，從而，故，由題意，，所以，故，不妨設(shè)，則，所以雙曲線的離心率為【答案】變式2  （2015·新課標(biāo)Ⅱ卷）已知A、B是雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（    ）A. B.2 C. D.【解析】解法1：設(shè)雙曲線，如圖，不妨設(shè)P在第一象限，過M作軸于N，由題意，，，所以，從而，，故M點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得：，化簡得：，所以，故離心率.解法2：設(shè)雙曲線，由題意，，，所以直線和直線的斜率分別為和，由雙曲線第三定義，，所以離心率.【答案】D【例4】過點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若M點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為______.【解析】設(shè)，，則，兩式作差得：，整理得：，即，所以，從而，故.【答案】變式1  已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若M恰好為的中點(diǎn)，則直線l的方程為______.【解析】設(shè)直線l的斜率為k，由中點(diǎn)弦結(jié)論，，又點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以，故，顯然直線l過點(diǎn)M，所以直線l的方程為，化簡得：【答案】變式2  已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)為，則雙曲線C的方程為______.【解析】由中點(diǎn)弦結(jié)論，，所以，又雙曲線C的右焦點(diǎn)為，所以，從而，，故雙曲線C的方程為【答案】 強(qiáng)化訓(xùn)練1.（★★★）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若M是線段的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為______.【解析】用中點(diǎn)弦結(jié)論，，所以橢圓C的離心率.【答案】2.（★★★）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A和B，P為橢圓C上不與A、B重合的一點(diǎn)，若直線的斜率的取值范圍是，則直線的斜率的取值范圍是______.【解析】設(shè)、的斜率分別為、，由橢圓第三定義，，所以，由題意，，所以，故，即直線的斜率的取值范圍是【答案】3.（★★★）已知雙曲線的離心率為2，A、B為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，P為C上不與A、B重合的一點(diǎn)，若直線的斜率的取值范圍是，則直線的斜率的取值范圍是______.【解析】設(shè)、的斜率分別為、，由雙曲線第三定義，，所以，由題意，，所以，故直線的斜率的取值范圍是【答案】4.（★★★）設(shè)P是左、右頂點(diǎn)分別為A、B的雙曲線上的一點(diǎn)，若直線的斜率為，則直線的斜率為______.【解析】由題意，，由雙曲線第三定義，，所以.【答案】5.（★★★）設(shè)橢圓上的A和B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)且直線、的斜率之積為，則橢圓C的離心率為______.【解析】由橢圓第三定義的推廣結(jié)論，，所以橢圓C的離心率.【答案】6.（★★★）直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，若直線與直線l的斜率之積為，則橢圓C的離心率為______.【解析】由中點(diǎn)弦結(jié)論，.【答案】7.（★★★）已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若M恰好為的中點(diǎn)，則直線l的方程為______.【解析】設(shè)直線l的斜率為k，由中點(diǎn)弦結(jié)論，，又點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以，故，顯然直線l過點(diǎn)M，所以直線l的方程為，化簡得：【答案】8.（★★★★）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，若的最小值為，則橢圓C的離心率為______.【解析】由橢圓第三定義，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，結(jié)合知此時(shí)，P為橢圓短軸端點(diǎn)，所以的最小值為，由題意，，解得：.【答案】9.（★★★★）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A和B，直線l過點(diǎn)B且與x軸垂直，P為橢圓C上不與A、B重合的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線l交于點(diǎn)M，且，則橢圓C的離心率為______.【解析】如圖，不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)直線、的斜率分別為、，由橢圓第三定義，，由圖可知，因?yàn)?/span>，所以，從而，即，解得：.【答案】10.（★★★）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，若中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則橢圓E的方程為______.【解析】易求得，，由中點(diǎn)弦結(jié)論，，所以，故，又橢圓E的右焦點(diǎn)為，所以，從而，，故橢圓E的方程為.【答案】11.（★★★★）如下圖所示，、為橢圓的左右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，S、Q、T為橢圓上不同于、的三點(diǎn)，且、、、圍成一個(gè)平行四邊形，則（    ）A.5 B. C.9 D.14【解析】解法1：，設(shè)直線的斜率為k，則的斜率為，聯(lián)立可求得，，所以，將k替換成整理可得：，從而.解法2（極限位置分析法）：讓點(diǎn)Q無限接近，此時(shí)S無限接近，T無限接近橢圓的上頂點(diǎn)，所以無限接近，故選D.【答案】D12.（★★★★）如下圖所示，直線l交雙曲線的右支于M、N兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)P，M在第一象限，N在第四象限，O為原點(diǎn)，直線交雙曲線C的左支于點(diǎn)Q，連接，若，，則雙曲線C的離心率為______.【解析】如圖，過點(diǎn)Q作x軸的平行線交于點(diǎn)T，由題意，又，所以，又，所以，從而直線和直線的斜率分別為和，顯然M、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，由雙曲線第三定義的推廣，，所以，故雙曲線C的離心率.【答案】13.（★★★★）如下圖所示，、分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不與、重合的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，，則與的面積之比_______.【解析】解法1：設(shè)直線的斜率為，由橢圓第三定義的推廣結(jié)論，，所以，因?yàn)?/span>，，所以，，顯然，，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線和的方程可解得：，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，直線的方程為，代入消去y整理得：，解得：或，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，由圖可知.解法2（特值法）：不妨取P為橢圓右頂點(diǎn)，此時(shí)P、Q的位置如圖所示，易求得，，所以，從而，結(jié)合可得，故，所以【答案】314.（★★★★）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，圓與雙曲線C在第一象限的交點(diǎn)為P，記直線、的斜率分別為、，若，則雙曲線C的離心率為______.【解析】如圖，記，，則，，由題意，，，，所以是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，容易驗(yàn)證A、B兩點(diǎn)都在圓D上，所以，從而，另一方面，，所以①由雙曲線第三定義，，所以，從而，又，所以，故，代入式①可得，解得：.【答案】15．（★★★★）已知斜率為的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，M為y軸上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是______.【解析】如圖，設(shè)中點(diǎn)為，由中點(diǎn)弦結(jié)論，，所以①，因?yàn)?/span>N為中點(diǎn)，所以點(diǎn)N在橢圓內(nèi)部，從而將式①代入可解得：，因?yàn)?/span>M在y軸上，且，所以點(diǎn)M是的中垂線與y軸的交點(diǎn)，易求得的中垂線的方程為即，從而點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，將式①代入可得，因?yàn)?/span>，所以.【答案】
 

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