第10節(jié)  拋物線的常用結(jié)論知識與方法1.如圖1所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，焦點為F，l與x軸交于點K，過F的直線交C于A、B兩點，于點M，于點N，設(shè)中點為P，于點Q，設(shè)，，則：（1），；（2）；（3），即以焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切；（4）以焦半徑或為直徑的圓與y軸相切；（5）A、O、N三點共線，B、O、M三點共線；（6）直線與直線的斜率之和為0，即.2．如圖2所示，是拋物線的通徑，K是拋物線C的準(zhǔn)線l與x軸的交點，則是等腰直角三角形，且、均與拋物線C相切.3．拋物線的平均性質(zhì)：如圖3所示，過點D的直線與拋物線交于A、B兩點，則.4．設(shè)A、B是拋物線上的兩個動點，O為原點，若，則直線過定點.提醒：焦點弦有關(guān)的結(jié)論在本章前面部分已有涉及，此處不再重復(fù).另外，拋物線與切線有關(guān)的一些性質(zhì)會在后續(xù)小節(jié)“拋物線中的阿基米德三角形性質(zhì)”中歸納，本節(jié)暫不涉及.典型例題【例1】如下圖所示，拋物線的準(zhǔn)線為l，焦點為F，l與x軸交于點K，過F的直線交C于A、B兩點，于點M，于點N，設(shè)中點為P，于點Q，設(shè)，，證明下列結(jié)論：（1）,；（2）；（3）以焦點弦為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切；（4）以焦半徑或為直徑的圓與y軸相切；（5）A、O、N三點共線，B、O、M三點共線；（6）.【解析】（1）由題意，，，，因為F、A、B三點共線，所以，故，從而，所以，故，所以顯然，所以，.（2）由題意，，，所以，故（3）由題意，是梯形的中位線，所以，從而，故以為直徑的圓與直線l相切.（4）由題意，中點為，，所以點T到y軸的距離，故以為直徑的圓與y軸相切，同理可得以為直徑的圓也與y軸相切.（5），，因為，所以，從而，所以A、O、N三點共線，同理可證B、O、M三點也共線.（6）由題意，，所以，從而直線和關(guān)于x軸對稱，故.【例2】設(shè)拋物線的焦點為F，O為原點，過F的直線l與拋物線C交于A、B兩點，則和的面積之和的最小值為_______.【解析】如圖，設(shè)，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以和的面積之和的最小值為.【答案】變式1  過點的直線l與拋物線相交于A、B兩點，O為原點，則和的面積之和的最小值為_______.【解析】如圖，設(shè)，，由拋物線的平均性質(zhì)，，所以，顯然，故，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以和的面積之和的最小值為8.【答案】8變式2  拋物線的焦點為F，O為原點，A、B是拋物線C上的兩個動點，若，則和的面積之和的最小值為_______.【解析】設(shè)，，直線過定點，由拋物線的平均性質(zhì)，，所以，顯然，所以，故，如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以和的面積之和的最小值為為.【答案】【反思】看到拋物線上的點A、B滿足，要想到直線過定點.【例3】設(shè)拋物線的焦點為F，O為原點，過F的直線l與拋物線C交于A、B兩點，若，則直線的斜率為_______.【解析】解法1：，代入拋物線方程得：，所以，從而，如圖，作拋物線C的準(zhǔn)線于M，則M、O、B三點共線，易得，所以直線的斜率為，故直線的斜率為解法2：由題意，，設(shè)，，由拋物線的平均性質(zhì)，，所以，顯然，所以，從而直線、的斜率之積代入拋物線方程得：，所以，從而，故，因為，所以.【答案】【例4】（2013·新課標(biāo)Ⅱ卷）設(shè)拋物線的焦點為F，點M在C上，，若以為直徑的圓過點，則C的方程為（    ）A.或  B. 或C.或  D. 或【解析】解法1：如圖1，由題意，，記，設(shè)，則①，因為以為直徑的圓過點，所以②，聯(lián)立①②解得：或8，故拋物線C的方程為或.解法2（用結(jié)論）：以拋物線的焦半徑為直徑的圓與y軸相切.如圖2，，所以，，解得：或8.【答案】C 強(qiáng)化訓(xùn)練1.（2014·湖南·★★★）平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點的距離和到直線的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點且斜率為k的直線，則k的取值范圍是_______.【解析】解法1：由拋物線定義可得機(jī)器人行進(jìn)的軌跡是以為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，由題意，該拋物線與直線沒有交點，聯(lián)立消去x整理得：，當(dāng)時，顯然直線與拋物線有交點，不合題意，當(dāng)時，判別式或，故k的取值范圍是.解法2：由拋物線定義可得機(jī)器人行進(jìn)的軌跡是以為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，如圖，根據(jù)二級結(jié)論“過與拋物線相切的直線的斜率必為”容易發(fā)現(xiàn)本題中要使機(jī)器人接觸不到過點且斜率為k的直線，應(yīng)有.【答案】2.（★★★）已知拋物線的焦點為F，P為拋物線C上一點，且，點M在y軸上，且，則_______.【解析】解法1：，，由知點M在以為直徑的圓上.又點M在y軸上，且以焦半徑為直徑的圓與y軸相切，所以M就是切點，設(shè)中點為Q，則軸，， 所以，從而.解法2：，，由對稱性，不妨設(shè)P在x軸上方，則，設(shè)，，所以.【答案】 3.（★★★★）已知A、B是拋物線上的兩個動點，O為原點，F為拋物線C的焦點，若，則和的面積之和的最小值為_______.【解析】設(shè)，，直線過定點，由拋物線的平均性質(zhì)，，所以，顯然，所以，故如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以和的面積之和的最小值為.【答案】4.（★★★）設(shè)拋物線的焦點為F，O為原點，過F的直線l與拋物線C交于A、B兩點，其中A在x軸上方，若的面積為3，則直線的斜率為_______.【解析】由題意，，設(shè)，，，，則,所以，故，又，所以，解得：，從而直線的斜率為或【答案】或 5.（★★★★）已知拋物線的焦點為F，以F為圓心，為半徑的圓與拋物線E交于P、Q兩點，以線段為直徑的圓M經(jīng)過點，則點F到直線的距離為_______.【解析】因為點P在拋物線E上，所以以焦半徑為直徑的圓M與y軸相切，由題意，切點即為，所以軸，如圖，又，所以，故，因為M是的中點，所以點P的坐標(biāo)為，代入可得：故點F到直線的距離為.【答案】2
 

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