?專題六　四邊形與多邊形
【專題分析】
四邊形與多邊形在中考中的常見考點有多邊形的內角和與外角和；平行四邊形的性質與判定，平行四邊形中有關角及線段的相關計算；矩形的性質與判定，菱形的性質與判定，正方形的性質與判定；四邊形的綜合考查等．中考中四邊形與多邊形的考查形式多樣，對平行四邊形、菱形等的判定的考查也常出現(xiàn)開放型題目；中考中四邊形與多邊形所占比重約為10%～15%.
【解題方法】
解決四邊形問題常用的數學思想就是轉化思想、方程思想；常用的數學方法有分類討論法，逆向思維法等.
【知識結構】

【典例精選】：
如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內角后，得到一個內角和為2 340°的新多邊形，則原多邊形的邊數為(　　)

A．13　　　　B．14　　　　C．15　　　　D．16
【思路點撥】設出新多邊形的邊數，根據多邊形內角和公式求出新的邊數，新邊數減1即原多邊形的邊數．
答案：B
規(guī)律方法：
解答此類問題，如果題目中沒有給出圖形及剪法要根據題意畫出圖形，按照截線位置的不同分情況討論.
如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別是BC，BA的中點，連結DE，F(xiàn)在DE的延長線上，且AF＝AE.


(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；
(2)若四邊形ACEF是菱形，求∠B的度數．
【思路點撥】(1)根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE＝AE＝BE，從而得到AF＝CE，再根據等腰三角形三線合一的性質和等邊對等角可得∠F＝∠CED，再根據同位角相等，兩直線平行求出CE∥AF，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；(2)根據菱形的四條邊都相等可得AC＝CE，然后求出AC＝CE＝AE，從而得到△AEC是等邊三角形，即得∠CAE＝60°，然后根據直角三角形兩銳角互余可得∠B的度數．
【自主解答】
(1)證明：如圖，∵∠ACB＝90°，E是BA的中點，∴CE＝AE＝BE.∵AF＝AE，∴AF＝CE.在△BEC中，∵BE＝CE且D是BC的中點，∴ED是等腰△BEC底邊上的中線和頂角平分線，∴∠1＝∠2.

∵AF＝AE，∴∠F＝∠3.∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠F，∴CE∥AF.又∵CE＝AF，∴四邊形ACEF是平行四邊形．
(2)解：∵四邊形ACEF是菱形，∴AC＝CE.由(1)知，AE＝CE，∴AC＝CE＝AE，∴△AEC是等邊三角形，∴∠CAE＝60°，在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠CAE＝90°－60°＝30°.
如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點O為AB的中點，連結DO并延長到點E，使OE＝OD，連結AE，BE.

(1)求證：四邊形AEBD是矩形；
(2)當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由．
【思路點撥】(1)先證四邊形AEBD是平行四邊形，再由等腰三角形的性質得∠ADB＝90°，即可得出結論； (2)由等腰直角三角形的性質得AD＝BD＝CD，再結合(1)中結論可得出結論．
【自主解答】
(1)證明：∵點O為AB的中點，∴AO＝BO.又∵OE＝OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四邊形AEBD是矩形．
(2)解：當∠BAC＝90°時，矩形AEBD是正方形．
理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，
∴AD＝BD＝BC.
由(1)知四邊形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
規(guī)律方法：
牢記平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系是解決此類問題的關鍵，一般證明步驟為先證四邊形為平行四邊形，再證四邊形為矩形或菱形，最后證四邊形為正方形.
如圖①，菱形ABCD中，點P是CD的中點，∠BCD＝60°，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點．

(1)求證：△ADP≌△ECP；
(2)若BP＝n·PK，試求出n的值；
(3)作BM⊥AE于點M，作KN⊥AE于點N，連結MO，NO，如圖②所示．請證明△MON是等腰三角形，并直接寫出∠MON的度數．
【思路點撥】(1)由四邊形ABCD是菱形及點P是CD的中點，可證△ADP≌△ECP；(2)過點P作PH∥CE交DE于點H，可得＝＝，由(1)可得CE＝AD＝BC，所以＝＝，可得BP＝3PK，從而得出n＝3；(3)過點O作OG⊥AE于點G，又由BM⊥AE，KN⊥AE可得BM∥OG∥KN，進而可得＝＝1，
又點O是線段BK的中點，所以MG＝NG，進而可證△MON是等腰三角形；假設BC＝2，由已知條件可求得BP＝，AP＝，利用面積法可求BM＝，在Rt△BMP中，利用勾股定理可求PM＝，再由(2)可得PB＝3PO，則OG＝BM＝，MG＝MP＝，在Rt△MOG中，求出tan∠MOG的值，即得∠MOG的度數，∠MON的度數即可求．
【自主解答】
(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAP＝∠CEP，∠ADP＝∠ECP.又∵點P是CD的中點，∴DP＝CP，∴△ADP≌△ECP(AAS)．
(2)解：如圖，過點P作PH∥CE交DE于點H，∵點P是CD的中點，∴＝＝.又由(1)知△ADP≌△ECP，∴AD＝CE. ∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝CE， ∴BE＝2CE.＝＝，即BK＝4PK，∴BP＝3PK，即 n＝3.


(3)解：如圖，過點O作OG⊥AE于點G，

又∵BM⊥AE，KN⊥AE，∴BM∥OG∥KN.∵點O是線段BK的中點，∴＝＝1，∴MG＝NG，即OG是線段MN的中垂線．∴OM＝ON，即△MON是等腰三角形．
由題意得，△BPC，△AMB，△ABP為直角三角形，設BC＝2，則CP＝1，由勾股定理，得BP＝，則AP＝，根據三角形面積公式，得BM＝，由(2)得PB＝3PO，∴OG＝BM＝，MG＝MP＝，tan∠MOG＝＝，∴∠MOG＝60°.∴∠MON＝120°.
規(guī)律方法：
菱形的四條邊都相等，對角線互相垂直平分，且平分一組對角，利用菱形的性質可以解決有關線段的計算求值、推理證明等問題.



【能力評估檢測】
一、選擇題
1．一個多邊形的內角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形是( C )
A．四邊形 B．五邊形　　
C．六邊形　　 D．七邊形
2．已知四邊形ABCD，下列說法正確的是( B )
A．當AD＝BC，AB∥DC時，四邊形ABCD是平行四邊形
B．當AD＝BC，AB＝DC時，四邊形ABCD是平行四邊形
C．當AC＝BD，AC平分BD時，四邊形ABCD是 矩形
D．當AC＝BD，AC⊥BD時，四邊形ABCD是正 方形
3．如圖，在平行四邊形ABCD中，過對角線BD上一點P，作EF∥BC，HG∥AB，若四邊形AEPH和四邊形CFPG的面積分別為S1和S2，則S1與S2的大小關系為( A )

A．S1＝S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．不能確定
4．如圖，點O是矩形ABCD的中心，E
是AB上的點，折疊后，點B恰好與點O重合，若BC＝3，則折痕CE的長為( A )

A．2 B. C. D．6
5．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于O點，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點，連結EF，若EF＝，BD＝4，則菱形ABCD的周長為( C )

A．4　　　 B．4　　　 C．4　　　　 D．28
6．如圖，在正方形ABCD的外側，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點F，則∠BFC為( C )

A．45° B．55° C．60° D．75°
7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步驟作圖：
第一步，分別以點A，D為圓心，以大于AD的長為半徑在AD兩側作弧，交于兩點M，N；
第二步，連結MN，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)；
第三步，連結DE，DF.
若BD＝6，AF＝4，CD＝3，則BE的長是( D )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】由作圖可知MN是AD的垂直平分線，∴AE＝ED，AF＝FD.又∵AD平分∠BAC，MN⊥AD，設AD與MN的交點為O，∴△AOE≌△AOF，∴AE＝AF，AE＝AF＝FD＝ED，∴四邊形AFDE為菱形，∴ED∥AF，∴△BED∽△BAC，∴＝.∵BD＝6，CD＝3，AE＝AF＝4，∴＝，得BE＝8.故選D.
8．如圖，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連結EF，則△AEF的面積是( )

A．4 B．3 C．2 D.
【解析】如圖，連結AC，BD，則△ABC與△ADC都是等邊三角形．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴BE＝CE，CF＝DF.
∴S△ABE＝S△ACE＝S△ACF＝S△ADF＝S菱形ABCD.

∵EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴＝2＝，
即S△CEF＝S菱形ABCD，則S△AEF＝S菱形ABCD.
∵sin 60°＝＝，AB＝4，∴AE＝2.
則S菱形ABCD＝BC·AE＝4×2＝8，
∴S△AEF＝S菱形ABCD＝3.故選B.
答案: B
9．如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝8，將紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，則下列結論錯誤的是( )


A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF
C．EF＝2 D．AF＝EF
【解析】如圖，由折疊得∠1＝∠2.
∵AD∥BC，∴∠3＝∠1，
∴∠2＝∠3，∴AE＝AF，故選項A正確；

由折疊得CD＝AG，∠C＝∠G＝90°.∵AB＝CD， ∴AB＝AG.∵AE＝AF，∴Rt△ABE ≌Rt△AGF(HL)，故選項B正確；設DF＝x，則GF＝x，AF＝8－x，AG＝4.在Rt△AGF中，根據勾股定理，得(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝8－x＝5，則AE＝AF＝5，∴BE＝＝＝3.過點F作FM⊥BC于點M，則EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根據勾股定理，得EF＝＝＝＝2，故選項C正確．∵AF＝5，EF＝2，∴AF≠EF，故選項D錯誤．
答案: D
10．如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連結BH并延長交CD于點F，連結DE交BF于點O，下列結論：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.
其中正確的有( )
A．2個 B．3個
C．4個 D．5個
【解析】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB.
∵AD＝AB，∴AE＝AD.
在△ABE和△AHD中，
∴△ABE≌△AHD(AAS)，∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝(180°－45°)＝67.5°，
∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正確；
∵AB＝AH，∴∠AHB＝(180°－45°)＝67.5°，∠OHE＝∠AHB，∴∠OHE＝67.5°＝∠AED.∴OE＝OH.
∵∠DHO＝90°－67.5°＝22.5°，
∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正確；
∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD.
在△BEH和△HDF中，
∴△BEH≌△HDF(ASA)，∴BH＝HF，故③正確；
∵HE＝AE－AH＝BC－CD，
∴BC－CF＝BC－(CD－DF)＝BC－(CD－HE)＝ (BC－CD)＋HE＝HE＋HE＝2HE.故④正確；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等邊三角形，
∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤錯誤；
綜上所述，結論正確的是①②③④共4個．故選C.
答案: C
二、填空題
11．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，請?zhí)砑右粋€條件答案不唯一，如AF＝CE(或BE＝DF，AE∥CF，∠AEB＝∠FCB，∠CFD＝∠EAD等)，使四邊形AECF是平行四邊形(只填一個即可)．


12．如圖，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連結DE和BF，分別取DE，BF的中點M，N，連結AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，則圖中陰影部分的面積為 .

【解析】由矩形的性質，易得△AEM≌△CFN，平行四邊形BEMN與平行四邊形DMNF全等，
∴S陰影＝S矩形ABCD＝×2×2＝2.
答案: 2
13．如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連結EF，CF.則下列結論中一定成立的是 (把所有正確結論的序號都填在橫線上)．


①∠DCF＝∠BCD；　 ②EF＝CF；
③S△BEC＝2S△CEF；　　　 ④∠DFE＝3∠AEF.
【解析】∵F是AD的中點，∴AF＝FD.∵在?ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF. ∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故①正確；如圖，延長EF交CD的延長線于點M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，


∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF.∵F為AD的中點，∴AF＝FD.在△AEF和△DMF中，∠A＝∠FDM，AF＝DF，∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF，∴FE＝MF.∵CE⊥ AB，∴∠AEC＝90°，∴∠ECD＝∠AEC＝90°.∵FM＝EF，∴CF＝EF，故②正確；
∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM＝S△ECM.∵MC＞BE，S△BEC

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