2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練《兩條直線的交點坐標(biāo)》 一 、單選題（本大題共13小題，共65分）1.（5分）函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間上可找到，且個不同的數(shù)，，，，使得，則的取值范圍是?
?
 A.  B.  C.  D. 2.（5分）若直線：與直線的交點位于第二象限，則直線的傾斜角的取值范圍是A.  B.
C.  D. 3.（5分）直線：與：交點的坐標(biāo)為A.  B.  C.  D. 4.（5分）過直線x+y=9和2x-y=18的交點且與直線3x-2y+8=0平行的直線的方程為（  ）A. 3x-2y=0
B. 3x-2y+9=0
C. 3x-2y+18=0
D. 3x-2y-27=05.（5分）經(jīng)過直線與的交點，且垂直于直線的直線方程是 A.  B.
C.  D. 6.（5分）直線l1：2x-y-10=0與直線l2：3x+4y-4=0的交點坐標(biāo)是（  ）A. （-4，2） B. （4，-2） C. （-2，4） D. （2，-4）7.（5分）  已知點 ，直線 方程為 ，且與線段 相交，求直線 的斜率 的取值范圍為A.                  
B.              
C.                       
D.  8.（5分）經(jīng)過兩條直線和的交點，并且與直線平行的直線方程為A.  B.
C.  D. 9.（5分）已知，，，則垂心的坐標(biāo)為A.  B.  C.  D. 10.（5分）經(jīng)過兩直線和的交點，且和原點相距為的直線的條數(shù)為A.  B.  C.  D. 11.（5分）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線已知的頂點，，其歐拉線方程為，則頂點的坐標(biāo)可以是A.  B.
C.  D. 12.（5分）三條直線，，共有兩個交點，則的值是A.  B.  C. 或 D. 或13.（5分）直線和直線的交點的坐標(biāo)是A.  B.
C.  D. 二 、填空題（本大題共5小題，共25分）14.（5分）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，若，則點的坐標(biāo)為______．15.（5分）過直線與直線的交點，且與直線垂直的直線方程是______．16.（5分）已知三條直線：，：，：相交于同一點，則實數(shù)的值是________.17.（5分）已知三條直線，，不可能構(gòu)成三角形，則的取值集合為______．18.（5分）已知圓和過原點的直線的交點為則的值為__________.?
 三 、解答題（本大題共5小題，共60分）19.（12分）求經(jīng)過直線與直線的交點，且平行于直線的直線方程．20.（12分）求過直線和的交點，斜率為 的直線方程； ?
過點的直線的傾斜角是直線：的傾斜角的倍，求直線的方程．21.（12分）已知的兩條高線所在直線的方程為和，頂點，求：邊所在直線的方程；求三角形的面積．22.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)有定點和射線，已知，的傾斜角分別為，，，，，軸上的動點與，共線．?
 求點坐標(biāo)用表示；求面積關(guān)于的表達式；求面積的最小時直線的方程．23.（12分）已知直線與相交于點，求滿足下列條件的直線方程：?
過點且過原點的直線方程；?
過點且平行于直線的直線方程．
答案和解析1.【答案】B;【解析】?
此題主要考查圖象的應(yīng)用和兩條直線的交點坐標(biāo)，是中檔題解：設(shè)，則的圖象與直線的交點的坐標(biāo)滿足題中等式由題圖易知交?
點可以有個，個，個，個或個，又且，故的取值可以是，，?

 2.【答案】B;【解析】解：聯(lián)立兩直線方程得：，?
解得：，，?
所以兩直線的交點坐標(biāo)為，?
因為兩直線的交點在第二象限，所以得到，?
解得：，?
設(shè)直線的傾斜角為，則，所以?
故選：?
求出直線的交點坐標(biāo)，利用交點位于第二象限，求解的范圍，然后求解直線的傾斜角的取值范圍．?
此題主要考查學(xué)生會根據(jù)兩直線的方程求出交點的坐標(biāo)，掌握象限點坐標(biāo)的特點，掌握直線傾斜角與直線斜率的關(guān)系，是一道綜合題．
 3.【答案】A;【解析】解：直線：與：，?
聯(lián)立方程組，解得，?
故直線：與：交點的坐標(biāo)為．?
故選：．?
聯(lián)立兩條直線的方程，求解方程組，即可得到交點坐標(biāo)．?
此題主要考查了兩條直線位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及了兩條直線交點的求解，解答該題的關(guān)鍵是掌握直線的交點坐標(biāo)對應(yīng)方程組的解，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】D;【解析】解：解方程組x+y=92x-y=18，?
得x=9y=0，?
∴直線x+y=9和2x-y=18的交點為（9，0），?
設(shè)與直線3x-2y+8=0平行的直線的方程為3x-2y+a=0，?
把點（9，0）代入3x-2y+a=0，?
得a=-27，?
∴所求直線方程為：3x-2y-27=0．?
故選D．
 5.【答案】A;【解析】?
?
此題主要考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，考查直線系方程的應(yīng)用，屬于中檔題．?
設(shè)過直線與的交點的直線方程為，依題意可求其斜率，從而可求得?
【解析】?
解：設(shè)過直線與的交點的直線方程為，?
即，?
該直線與直線垂直，?
，?
?
所求的直線方程為：，?
即?
故選?
?
?

 6.【答案】B;【解析】解：聯(lián)立方程2x-y-10=0    ①3x+4y-4=0     ②，?
①×4+②可得11x-44=0，解得x=4，?
代入①可得8-y-10=0，解得y=-2，?
故方程組的解為x=4y=-2，?
所以兩直線的交點為：（4，-2）?
故選B
 7.【答案】A;【解析】?
    該題考查直線的相交的應(yīng)用，由直線方程可知過定點畫出圖形，由題意得得到所求直線的斜率滿足 或，  用直線的斜率公式求出 和的值，即可求出直線的斜率的取值范圍．     解：：，即直線過定點． 如圖所示： ?
?
由題意得，所求直線的斜率滿足 或 ， ?
即 或 ．?
故選A．?

 8.【答案】A;【解析】?
此題主要考查求兩條直線的交點的方法，以及兩條直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．?
由題意可求得兩直線的交點，結(jié)合直線平行的性質(zhì)可得所求直線的斜率，根據(jù)點斜式方程求出直線的方程即可．解：聯(lián)立得?
所以兩直線交點坐標(biāo)為，?
所求直線方程為，整理得?
故選?

 9.【答案】D;【解析】?
此題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，考查兩條直線的交點，屬于基礎(chǔ)題.?
根據(jù)直線的斜率求出直線的方程，再根據(jù)直線的斜率得出直線的方程，聯(lián)立方程組即可解得的垂心坐標(biāo).?
?
解：由于，?
所以邊上的高所在直線的方程為?
又，?
所以邊上的高所在直線的斜率為，方程為，?
聯(lián)立，得，?
即垂心的坐標(biāo)為?
故選
 10.【答案】C;【解析】解：由方程組，?
解得兩條直線的交點為，?
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的方程為：，?
即?
由點到直線的距離公式，得，?
解得，直線方程為：?
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為也符合題意，?
故所求直線的方程為：或?
滿足條件的直線有條．?
故選：?
由方程組，解得兩條直線的交點為，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的方程為：，由點到直線的距離公式，求出直線方程為：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為也符合題意，故滿足條件的直線有條．?
此題主要考查滿足條件的直線條數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．
 11.【答案】C;【解析】?
此題主要考查了三角形的重心坐標(biāo)應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是難題．?
設(shè)出點的坐標(biāo)，求出的重心并代入歐拉線方程，驗證并排除部分選項，余下選項再由外心、垂心驗證判斷即可．?
?
解：設(shè)點的坐標(biāo)為，的重心坐標(biāo)為，?
依題意知，，整理得；?
對于，當(dāng)，時，，不滿足題意，排除選項；?
對于，當(dāng)，時，，不滿足題意，排除選項；?
對于，當(dāng)，時，；?
對于，當(dāng)，時，；?
直線的斜率為，線段的中點為，所以線段的中垂線方程為，即；?
由，解得，所以的外心為，?
若點，則直線的斜率為，新的的中點，該點與點確定直線斜率為，?
顯然，即點不在線段的中垂線上，不滿足題意，排除選項；?
若點，則直線的斜率為，線段的中點，線段中垂線方程為，即，?
由，解得，即點為的外心，并且在直線上，?
邊上的高所在直線方程為：，即，?
邊上的高所在直線方程為：，即，?
由，解得，所以的垂心，?
此時，即的垂心在直線上，選項滿足題意．?
故本題選
 12.【答案】D;【解析】因為直線與相交，則直線與直線和的其中一條平行，則或，故選
 13.【答案】B;【解析】?
此題主要考查兩條直線的交點坐標(biāo)的求法，屬于簡單題.解：聯(lián)立得解得所以直線和直線的交點的坐標(biāo)是
 14.【答案】;【解析】解：設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，?
則，，且兩定直線垂直，即，?
設(shè)，?
，?
，且，?
，?
由，解得，，?
點的坐標(biāo)為?
故答案為：．?
推導(dǎo)出，，且兩定直線垂直，即，設(shè)，由，列出方程組能求出點的坐標(biāo)．?
該題考查點的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意直線過定點的性質(zhì)、兩直線垂直的性質(zhì)的合理運用．
 15.【答案】y=-2x-8;【解析】解：聯(lián)立，解得，．?
可得與直線垂直的直線方程是：，?
化為：．?
故答案為：．?
聯(lián)立，解得交點坐標(biāo)，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得要求直線的斜率．?
該題考查了直線的交點、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】;【解析】?
此題主要考查了直線的交點、方程組的解法，屬于基礎(chǔ)題聯(lián)立，，解得，由于三條直線：，：，：相交于一點，把點代入，即可解得?
?
解：先求與的交點，?
解得，即交點為，?
代入第一個直線 ，，解得?
故答案為
 17.【答案】{4，-，-1，};【解析】解：當(dāng)直線：平行于：時，解得，?
當(dāng)直線：平行于：時，解得，?
當(dāng)：平行于：時，，無解．?
當(dāng)三條直線經(jīng)過同一個點時，把直線與的交點?
代入：得?
解得：或．?
綜上，滿足條件的的集合為為?
故答案為：?
三直線不能構(gòu)成三角形時共有種情況，即三直線中其中有兩直線平行或者是三條直線經(jīng)過同一個點，在這四種情況中，分別求出實數(shù)的值即可．?
該題考查三條直線不能構(gòu)成三角形的條件，三條直線中有兩條直線平行或者三直線經(jīng)過同一個點，是中檔題．
 18.【答案】5;【解析】解得圓和軸的交點坐標(biāo)為，所以
 19.【答案】解：由，解得，?
點的坐標(biāo)是，?
所求直線與平行，?
可設(shè)直線的方程為?
把點的坐標(biāo)代入得，?
即?
所求直線的方程為?
?
;【解析】此題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，考查直線方程，考查直線系，正確設(shè)出方程是解答該題的關(guān)鍵．聯(lián)立方程，求出點的坐標(biāo)，利用所求直線與平行，可設(shè)直線的方程為，代入的坐標(biāo)，可求直線的方程.?
?

 20.【答案】解：（1）聯(lián)立方程組解得x=1，y=2   …（2分） ?
所以直線方程為y-2=1×（x-1），即為：x-y+1=0．      …（5分） ?
（2）=tanα=2，…（8分） ?
，即：4x+3y-2=0…（10分）;【解析】?
聯(lián)立方程組得交點，利用點斜式，可得直線方程； ?
利用二倍角公式求出直線的斜率，即可求直線的方程． ?
該題考查直線方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：（Ⅰ）∵A（1，2）點不在兩條高線2x-3y+1=0和x+y=0上，?
∴AB、AC邊所在直線的斜率分別為-和1，?
代入點斜式得：y-2=-（x-1），y-2=x-1?
∴AB、AC邊所在直線方程為3x+2y-7=0，x-y+1=0．?
由解得x=-2，y=-1，∴C（-2，-1）、?
同理可求 B（7，-7）．?
∴邊BC所在直線的斜率k==-，方程是y+1=-（x+2）?
化簡得2x+3y+7=0，∴邊BC所在直線的方程為 2x+3y+7=0．?
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，|BC|==，?
點A到邊BC的高為h==，?
∴△ABC的面積S=×|BC|×h=×3×=．;【解析】此題主要考查了求直線方程和聯(lián)立直線方程求交點坐標(biāo)，以及兩點之間的距離公式和點到直線的距離公式，也考查了學(xué)生的計算能力．?
判斷點不在兩條高線，由高線求出、邊所在直線的斜率再把點的坐標(biāo)代入點斜式方程，化簡求出、邊所在直線的方程，聯(lián)立高線方程求出、的坐標(biāo)，最后求出所求的直線方程．?
由的結(jié)果求的長和邊上的高，代入三角形的面積公式求解．
 22.【答案】解：且點在第一象限，?
，，?
，，?
故?
直線的方程為：，直線的方程為，?
聯(lián)立得，?
，?
?
?
?
，?
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，最小，?
此時直線的方程為，即;【解析】此題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角形面積公式，直線的點斜式方程，直線的一般式方程，兩條直線的交點坐標(biāo)，利用基本不等式求最值.?
根據(jù)可求得和，從而可得的坐標(biāo)；?
通過直線和的方程聯(lián)立，解得的坐標(biāo)，由面積公式可得的表達式；?
變形后用基本不等式可求得最小值，以及取得最小值的條件，從而可得直線的方程．
 23.【答案】解：由解得即．?
過點與原點的直線斜率為，故所求直線方程為：．?
過點且平行于直線的直線方程為，?
即 ．;【解析】這道題主要考查求直線的交點坐標(biāo)，用點斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．?
先求出點的坐標(biāo)，再求出它的斜率，用點斜式求得過點且過原點的直線方程；?
用點斜式求得過點且平行于直線：的直線方程．?

 

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