2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練《兩圓的相交弦》 一 、單選題（本大題共13小題，共65分）1.（5分）若圓的面積是，則該圓的圓心坐標(biāo)為A.  B.
C.  D. 2.（5分）下列命題中，是真命題的A. 命題“若，，，則”的逆否命題是假命題
B. 已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的充分不必要條件
C. 命題“， ”的否定是“， ”
D. “”是“”的充分不必要條件3.（5分）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為A.  B.
C.  D. 或4.（5分）命題“，”的否定為A、，B、，C、，D、，A. ， B. ，
C. ， D. ，5.（5分）若點(diǎn)為圓：的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是A、B、C、D、A.  B.  C.  D. 6.（5分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，則A.  B.  C.  D. 7.（5分）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)中點(diǎn)與圓心的直線的斜率的取值范圍為A、B、C、D、A.  B.
C.  D. 8.（5分）若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)恰好關(guān)于軸對(duì)稱，則等于 A.               B.             
C.               D. 9.（5分）“命題為真”是“命題為真”的A. 充分必要條件 B. 既不充分也不必要條件
C. 充分不必要條件 D. 必要不充分條件10.（5分）命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是A. 所有實(shí)數(shù)的平方都不是正數(shù) B. 有的實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)
C. 至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是正數(shù) D. 至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)11.（5分）方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是A.  B.
C.  D. 12.（5分）設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)使得，，則該橢圓的離心率為A、B、C、D、A.  B.  C.  D. 13.（5分）若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，隨橢圓的離心率A.  B.  C.  D. 二 、填空題（本大題共5小題，共25分）14.（5分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)是圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為 ______ .15.（5分）陳述句“或”的否定形式是 ______.16.（5分）存在如下結(jié)論：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓現(xiàn)已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡為一條直線，則__________若，則點(diǎn)的軌跡方程為__________.17.（5分）已知橢圓：，存在過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，滿足，則橢圓離心率的最小值是______．18.（5分）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，兩點(diǎn)，則直線的方程為______．三 、解答題（本大題共5小題，共60分）19.（12分）已知命題：指數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù)，命題：不等式有解．若命題是真命題，命題是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：，圓：，圓：．?
當(dāng)時(shí)，試判斷圓與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；?
若圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，求的值；?
在的條件下，若為平面上的點(diǎn)，是否存在過(guò)點(diǎn)的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓與圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21.（12分）已知圓的圓心在軸的正半軸上，且軸和直線均與圓相切．?
求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；?
設(shè)點(diǎn)，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22.（12分）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為記的軌跡為曲線?
求的方程，并說(shuō)明是什么曲線；?
過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為?
①證明：是直角三角形；?
②求直線與直線的斜率的積的最小值，并寫出此時(shí)直線的方程．
 23.（12分）已知橢圓?
求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)；?
若直線與橢圓相切，求實(shí)數(shù)的值．
答案和解析1.【答案】B;【解析】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，?
所以圓心的坐標(biāo)為，?
由圓的面積等于，可得圓的半徑，?
所以，整理可得：，解得，?
所以，即圓心坐標(biāo)為，?
故選：?
由圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)，由圓的面積可得圓的半徑的值，進(jìn)而求出的值，再求圓心的坐標(biāo)．?
此題主要考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的轉(zhuǎn)化及圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】D;【解析】解：對(duì)于：命題“若，，，則”是真命題，故逆否命題是真命題，故A錯(cuò)；?
對(duì)于：已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的充分必要條件，故B錯(cuò)；?
對(duì)于：命題“， ”的否定是“， ”故錯(cuò)；?
對(duì)于：若“”“；若“”不能得到，故正確：?
故選：．?
，利用原命題與逆否命題同真、假命題判定；?
，利用充分必要條件的定義判定；?
，利用全稱命題的否定判定；?
，利用充要條件的定義判定；?
本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了全稱命題的否定；充要條件，難度中檔．
 3.【答案】C;【解析】解：點(diǎn)在圓：上，?
圓心與點(diǎn)的連線與過(guò)點(diǎn)的圓的切線垂直，?
又，切線方程為，即?
故選：?
由已知可得，點(diǎn)在圓：上，求出所在直線的斜率，然后利用兩直線垂直與斜率的關(guān)系求得切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．?
此題主要考查圓的切線方程的其求法，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
 4.【答案】null;【解析】解：命題為全稱命題，則命題的否定是：，?
故選：?
根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．?
此題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．
 5.【答案】null;【解析】解：因?yàn)閳A：的圓心，?
所以，?
故直線的斜率為，直線方程為，即?
故選：?
由已知結(jié)合直線與圓相交的性質(zhì)先求出直線的斜率，即可求解．?
此題主要考查了直線與圓相交性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】B;【解析】?
該題考查橢圓的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．?
利用橢圓的左焦點(diǎn)為，可得，即可求出．?
?
解：橢圓的左焦點(diǎn)為，?
，?
，?
．?
故選B．
 7.【答案】null;【解析】解：由題意易知設(shè)過(guò)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)時(shí)，直線的斜率存在，?
設(shè)過(guò)的直線方程為，又直線與圓有個(gè)各個(gè)點(diǎn)，?
圓心到直線：的距離，?
解得，?
經(jīng)過(guò)中點(diǎn)與圓心的直線的斜率，?
故選：?
先設(shè)出過(guò)的直線方程為，再根據(jù)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，建立的不等式，解不等式可得的范圍，再根題意可得所求直線的斜率為，從而再通過(guò)函數(shù)思想即可求解．?
此題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，兩直線垂直的斜率關(guān)系，函數(shù)思想，屬基礎(chǔ)題．
 8.【答案】A;【解析】解：直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)恰好關(guān)于軸對(duì)稱，?
可知，?
當(dāng)時(shí)，直線與圓，的兩個(gè)交點(diǎn)和．?
故選A．?
判斷直線與坐標(biāo)軸的關(guān)系，然后判斷直線與圓的位置關(guān)系即可．?
該題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
 9.【答案】D;【解析】解：若為真命題，則，少有一個(gè)為真命題， ?
若為真命題，則，都為真命題， ?
則“為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件， ?
故選：．?
根據(jù)復(fù)合命題真假關(guān)系以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．?
這道題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
 10.【答案】D;【解析】解：“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，?
命題“所有實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是：?
“至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)”．?
故選?
原命題給出的是全稱命題，全稱命題的否定一定是特稱命題．?
此題主要考查全稱命題的否定，屬于簡(jiǎn)單題.
 11.【答案】D;【解析】?
該題考查橢圓的定義問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．?
根據(jù)方程得出它表示的幾何意義是橢圓，從而求出方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．?
?
解：方程，?
表示平面內(nèi)到定點(diǎn)，的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，?
它的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸，焦距的橢圓；?
，，，?
橢圓的方程是，即為化簡(jiǎn)的結(jié)果．?
故選D．
 12.【答案】null;【解析】解：設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)使得，，?
因?yàn)?/span>，，解得，，?
所以，則，則，?
所以離心率為：?
故選：?
由于橢圓的定義，結(jié)合已知條件中，解得和的值，再利用，得到，的關(guān)系，代入離心率公式即可求得所要答案．?
此題主要考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．
 13.【答案】D;【解析】?
根據(jù)題意，將的坐標(biāo)帶入橢圓方程，分析可得的值，進(jìn)而由橢圓的離心率公式計(jì)算可得答案．?
此題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握橢圓的離心率公式．?
?
解：根據(jù)題意，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，?
則有，即，?
所以橢圓的離心率．?
故選：．
 14.【答案】;【解析】解：由題意，，?
，?
，?
點(diǎn)的軌跡為橢圓，且，?
，?
點(diǎn)的軌跡方程為?
故答案為：?
由，可得，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓，且，，求出，即可求出點(diǎn)的軌跡方程．?
此題主要考查了點(diǎn)的軌跡方程，以及橢圓的定義，同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
 15.【答案】x≤1且y≠0;【解析】解：“或”的否定形式為且?
故答案為：且?
根據(jù)命題的否定形式即求解．?
此題主要考查了命題的否定形式，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】;;【解析】?
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出、，代入等式?
， 化簡(jiǎn)整理得答案?
此題主要考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).解析   設(shè)，由，  可得兩邊平方，整理得點(diǎn)的軌跡方程為?
若點(diǎn)的軌跡為一條直線，則解得或舍去若，則點(diǎn)的軌跡方程為，即
 17.【答案】;【解析】解：橢圓：，存在過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，滿足，?
可得，即，所以．?
所以橢圓離心率的最小值是：．?
故答案為：．?
利用橢圓的性質(zhì)，以及已知條件列出不等式，轉(zhuǎn)化求解即可．?
此題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．
 18.【答案】;【解析】?
該題考查直線和圓的位置關(guān)系以及圓和圓的位置關(guān)系、圓的切線性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．?
求出以、為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程．?
?
解：如圖，?
?
由幾何性質(zhì)可知，，即共圓，且直徑為，?
的圓心為，半徑為，?
以、為直徑的圓的方程為，將兩圓的方程相減可得公共弦的方程，?
故答案是：．
 19.【答案】解：命題p為真命題時(shí)，1-a＞1即a＜0，?
命題q：不等式a+2x-1＞0有解，?
當(dāng)a＞0時(shí)，顯然有解；當(dāng)a=0時(shí)，2x-1＞0有解；?
當(dāng)a＜0時(shí)，∵a+2x-1＞0有解，∴△=4+4a＞0∴-1＜a＜0．?
從而命題q：不等式a+2x-1＞0有解時(shí)a＞-1．?
又命題q是假命題，∴a≤-1．?
∴p是真命題，q是假命題時(shí)，a的取值范圍（-∞，-1]．;【解析】?
先求出命題，為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍．結(jié)合命題是真命題，命題是假命題，可得答案．?
該題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式與不等關(guān)系，復(fù)合命題，難度中檔．
 20.【答案】解：（1）t=-1時(shí)，圓C1的圓心C1（-4，1），半徑=2；圓C2的圓心C2（4，4），半徑=6?
∴圓心距|C1C2|=＞+=8?
∴兩圓相離?
（2）圓C2的圓心C2（-4t，4），半徑=?
∵圓C1與圓C2關(guān)于直線l對(duì)稱，又直線l的斜率?
由得t=0；，?
（3）假設(shè)存在P（a，b）滿足條件：不妨設(shè)的方程為y-b=k（x-a）（k≠0）?
則的方程為y-b=-?
因?yàn)閳AC1與圓C2的半徑相等，又直線被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，?
所以圓C1的圓心到直線距離，和圓C2的圓心到直線的距離相等，?
即=?
整理得|（a+4）k-b+1|=|（b-4）k+a|?
即（a+4）k-b+1=（b-4）k+a或（a+4）k-b+1=（4-b）k-a?
即（a-b+8）k-a-b+1=0或（a+b）k+a-b+1=0?
因?yàn)?/span>k取值無(wú)窮多個(gè)?
所以或?
解得或?
∴這樣的點(diǎn)P可能是P1（-），P2（-）?
∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-）和（-）．;【解析】?
求得兩圓的圓心距，與半徑半徑，即可求得結(jié)論； ?
確定圓的圓心與半徑，兩圓圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，直線的斜率，可求的值； ?
利用圓與圓的半徑相等，又直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，可得圓的圓心到直線距離，和圓的圓心到直線的距離相等，由此可得結(jié)論．?
該題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查圓的對(duì)稱性，考查存在性問(wèn)題的探求，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：（1）設(shè)圓C：（x-a）2+（y-b）2=r，（r＞0），?
故由題意得，解得a=2，b=0，r=2，?
則圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-2）2+=4．（6分）?
（2）將y=x+m代入圓C的方程，消去y并整理得2+2（m-2）x+=0．?
令△=4（m-2）2-8＞0，得-2-2＜m＜-2+2，（8分）?
設(shè)M（，），N（，），?
則+=2-m，=．?
則=（，-1），=（，-1）?
若∠MPN為銳角，得?＞0，?
即+（+m-1）（+m-1）＞0，?
即2+（m-1）（+）+（m-1）2＞0，?
即+（m-1）（2-m）+（m-1）2＞0，?
即+m-1＞0，?
解得m＞或m＜．?
∵-2-2＜m＜-2+2，?
∴（，-2+2）∪（-2-2，）．?
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（，-2+2）∪（-2-2，）（12分）;【解析】?
根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出圓心坐標(biāo)和半徑即可． ?
聯(lián)立直線和圓的方程，利用消元法轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．?
這道題主要考查圓的方程的求解以及直線和圓位置關(guān)系的應(yīng)用，利用轉(zhuǎn)化法結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．
 22.【答案】解：（Ⅰ）由題意得，?
整理得曲線C的方程：）y≠0），?
∴曲線C是焦點(diǎn)在x軸上不含長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓；?
（Ⅱ）?
①直線PQ的斜率為k，其方程為y=kx，（k＞0）．?
?，?
記，則P（u，uk），Q（-u，-uK），E（u，0）．?
  于是直線QG的斜率為，方程為y=，?
?（2+）-2ux+-8=0…②．?
則，-u+=?，．?
從而直線PG的斜率為=-．?
∴×=-1，?
∴PQ⊥PG，?
故△PQG為直角三角形；?
②直線P′G的斜率為，?
∴直線PQ與直線P′G的斜率的積為．（k=1時(shí)取等號(hào)）．?
直線PQ與直線P′G的斜率的積的最小值為2．?
此時(shí)直線PG的方程y=-x+．;
 【解析】?
利用直接法不難得到方程；?
①直線的斜率為，其方程為，聯(lián)立方程可得，，?
  于是直線的斜率為，方程為，，?
從而直線的斜率為有，即可證明?
②直線的斜率為，時(shí)取等號(hào)即可求解．?
此題主要考查了直接法求曲線方程，直線與橢圓的綜合，換元法等，重點(diǎn)考查運(yùn)算能力，難度大．
 23.【答案】解：（1）設(shè)直線y=x-1與橢圓E相交于AB兩點(diǎn)且A（，），B（，），?
由，消去y得3-4x-2=0．?
∴+=，=-，?
∴|AB|==．?
（2）由，得（1+2）+8kx+4=0，?
∵直線y=kx+2與橢圓E相切，∴Δ=（8k）2-4×（1+2）×4=0，?
解得k=±．;【解析】?
設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)且，，聯(lián)立方程組可得，，利用弦長(zhǎng)公式可求；?
聯(lián)立方程可得，利用可求實(shí)數(shù)的值．?
此題主要考查利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，考查橢圓的切線斜率的求法，屬中檔題．
 

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專題09 雙曲線的焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦、弦長(zhǎng)問(wèn)題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)高分突破（新高考專用）：

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專題02 橢圓的焦點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦長(zhǎng)問(wèn)題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)高分突破（新高考專用）：

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