問題分析從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.模型展示：如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。?/span>，記，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．最值解法：在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．  【例1】如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，則的最小值等于________．【解析】已知∠A=60°，且sin60°=，故延長AD，作PH⊥AD延長線于H點，即可得，∴=PB+PH．當B、P、H三點共線時，可得PB+PH取到最小值，即BH的長，解直角△ABH即可得BH長．【例2】（2021·重慶中考真題）在等邊中，， ，垂足為D，點E為AB邊上一點，點F為直線BD上一點，連接EF．          圖1                            圖2                               圖3（1）將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG，求線段DG的長；②如圖2，點E不與點A，B重合，GF的延長線交BC邊于點H，連接EH，求證：；（2）如圖3，當點E為AB中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且，點F從BD中點Q沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當最小時，直接寫出的面積．【答案】（1）①；②見解析；（2）【分析】（1）①連接AG，根據(jù)題意得出△ABC和△GEF均為等邊三角形，從而可證明△GBC≌△GAC，進一步求出AD=3，AG=BG=，然后利用勾股定理求解即可；②以點F為圓心，FB的長為半徑畫弧，與BH的延長線交于點K，連接KF，先證明出△BFK是頂角為120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，從而得出結(jié)論即可；（2）利用“胡不歸”模型構(gòu)造出含有30°角的直角三角形，構(gòu)造出，當N、P、J三點共線的時候滿足條件，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別計算出PN與DN的長度，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①如圖所示，連接AG，由題意可知，△ABC和△GEF均為等邊三角形，∴∠GFB=60°，∵BD⊥AC，∴∠FBC=30°，∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，∵AC=BC，GC=GC，∴△GBC≌△GAC（SAS），∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，∵AB=6，∴AD=3，AG=BG=，∴在Rt△ADG中，，∴；②證明：以點F為圓心，FB的長為半徑畫弧，與BH的延長線交于點K，連接KF，如圖，∵△ABC和△GEF均為等邊三角形，∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，∴∠BEF+∠BHF=180°，∵∠BHF+∠KHF=180°，∴∠BEF=∠KHF，由輔助線作法可知，FB=FK，則∠K=∠FBE，∵BD是等邊△ABC的高，∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，∴∠BFK=120°，在△FEB與△FHK中，∴△FEB≌△FHK（AAS），∴BE=KH，∴BE+BH=KH+BH=BK，∵FB=FK，∠BFK=120°，∴BK=BF，即：；（2）如圖1所示，以MP為邊構(gòu)造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，則PJ=MP，∴求的最小值，即為求的最小值，如圖2所示，當運動至N、P、J三點共線時，滿足最小，此時，連接EQ，則根據(jù)題意可得EQ∥AD，且EQ=AD，∴∠MEQ=∠A=60°，∠EQF=90°，∵∠PEF=60°，∴∠MEP=∠QEF，由題意，EF=EP，∴△MEP≌△QEF（SAS），∴∠EMP=∠EQF=90°，又∵∠PMJ=30°，∴∠BMJ=60°，∴MJ∥AC，∴∠PMJ=∠DNP=90°，∵∠BDC=90°，∴四邊形ODNJ為矩形，NJ=OD，由題，AD=3，BD=，∵MJ∥AC，∴△BMO∽△BAD，∴，∴OD=BD=，OM=AD=，設PJ=x，則MJ=x，OJ=x-，由題意可知，DN=CD=2，∴，解得：，即：PJ=，∴，∴．【例3】已知拋物線過點，兩點，與y軸交于點C，．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）過點A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；（3）點P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點，當面積最大時，求點P的坐標；（4）若點Q為線段OC上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的表達式為：，頂點；(2)證明見解析；(3)點；(4)存在，的最小值為．【詳解】(1)函數(shù)的表達式為：，即：，解得：，故拋物線的表達式為：，則頂點；(2)，，∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，∴AB=2，∴，又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，∴AM=MB=AD=BD，∴四邊形ADBM為菱形，又∵，菱形ADBM為正方形；(3)設直線BC的解析式為y=mx+n，將點B、C的坐標代入得：，解得：，所以直線BC的表達式為：y=-x+3，過點P作y軸的平行線交BC于點N，設點，則點N，則，，故有最大值，此時，故點；(4)存在，理由：如圖，過點C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點F，過點A作，垂足為H，交y軸于點Q， 此時，則最小值，在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，∴OF=，∴F(-，0)，利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達式為：…①，∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，∴OQ=AO?tan∠FAQ=，∴Q(0,)，利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點，而點，則，即的最小值為．         1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則的最小值是______.【答案】B【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA==2，設AE=a，BE=2a，則有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2或-2（舍棄），∴BE=2a=4，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=4（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴，∴DH=BD，∴CD+BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4．故選B．2．在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點、(點在點的左側(cè))，，經(jīng)過點的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動點在一次函數(shù)的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時點E的坐標；（3）若點為軸上任意一點，在(2)的結(jié)論下，求的最小值．【答案】(1)；；(2)的面積最大值是，此時點坐標為；(3)的最小值是3.【詳解】解：(1)將二次函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線解析式為，∵，∴點的坐標為，代入拋物線的解析式得，，∴，∴拋物線的解析式為，即．令，解得，，∴，∴，∵的面積為5，∴，∴，代入拋物線解析式得，，解得，，∴，設直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為．(2)過點作軸交于，如圖，設，則，∴，∴，，∴當時，的面積有最大值，最大值是，此時點坐標為．(3)作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，過點作于點，交軸于點，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵、關(guān)于軸對稱，∴，∴，此時最小，∵，，∴，∴．∴的最小值是3．3．已知拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點，點是軸正半軸上的動點．（Ⅰ）當時，求拋物線的頂點坐標；（Ⅱ）點在拋物線上，當，時，求的值；（Ⅲ）點在拋物線上，當的最小值為時，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【詳解】解：（Ⅰ）∵拋物線經(jīng)過點，∴．即．當時，，∴拋物線的頂點坐標為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線的解析式為．∵點在拋物線上，∴．由，得，，∴點在第四象限，且在拋物線對稱軸的右側(cè)．如圖，過點作軸，垂足為，則點．∴，．得．∴在中，．∴．由已知，，∴．∴．（Ⅲ）∵點在拋物線上，∴．可知點在第四象限，且在直線的右側(cè)．考慮到，可取點，如圖，過點作直線的垂線，垂足為，與軸相交于點，有，得，則此時點滿足題意．過點作軸于點，則點．在中，可知．∴，．∵點，∴．解得．∵，∴．∴．4．如圖，已知拋物線y＝（x＋2）（x﹣4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y＝－x＋b與拋物線的另一交點為D．（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？【答案】（1）；（2）或；（3）當點F坐標為（﹣2，）時，點M在整個運動過程中用時最少.【解析】（1）拋物線y＝（x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線經(jīng)過點B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝ ，∴直線BD解析式為：．當x＝﹣5時，y＝ ，∴D（﹣5，）．∵點D（﹣5，）在拋物線y＝（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝ ，∴．∴拋物線的函數(shù)表達式為：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由拋物線解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因為點P在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，則有∠BAC＝∠PAB，如答圖2﹣1所示．設P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴．∴P（x，x＋k），代入拋物線解析式y＝ （x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（與點A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：．②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC＝∠PAB，如答圖2﹣2所示．設P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，∴．∴P（x，x＋），代入拋物線解析式y＝（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4）＝x＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（與點A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，，∴，解得，∵k＞0，∴，綜上所述，或．（3）作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴當且僅當AH⊥DK時，AF＋FH最小，點M在整個運動中用時為：，∵lBD：，∴FX＝AX＝﹣2，∴F（﹣2，）   
 

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