初中數(shù)學中考復(fù)習專題37 幾何最值之費馬點問題【熱點專題】-【中考高分導(dǎo)航】備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學考點總復(fù)習（全國通用）（解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

問題分析“費馬點”指的是位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距高之和最短的點。主要分為兩種情況：（1）當三角形三個內(nèi)角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點之間線段最短解決問題。（2）當三角形有一個內(nèi)角大于120°時，費馬點就是此內(nèi)角的頂點.費馬點問題解題的核心技巧：旋轉(zhuǎn)60° 構(gòu)造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上利用兩點之間線段最短求解問題模型展示：如圖，在△ABC內(nèi)部找到一點P，使得PA＋PB＋PC的值最小.當點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120o，則PA＋PB＋PC的值最小，P點稱為三角形的費馬點.特別地，△ABC中，最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）費馬點的性質(zhì)：1．費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。2．費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120°。最值解法：以△ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對兩頂點的距離即為最小值。證明過程：將△APC邊以A為頂點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE 【例1】如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM 的最小值為________．【答案】【詳解】將△BMN繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM∵MC=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當A、M、N、E四點共線時取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．【例2】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）①當M點在何處時，AM＋CM的值最??；②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；（3）當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長.【答案】（1）△AMB≌△ENB，證明略。（2）①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小.②連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，圖略（3）【解析】解：⑴∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）⑵①當M點落在BD的中點時，AM＋CM的值最小②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小理由如下：連接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等邊三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM根據(jù)“兩點之間線段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長⑶過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.設(shè)正方形的邊長為x，則BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝解得，x＝（舍去負值）.∴正方形的邊長為 1．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．【分析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF過F作FH⊥BC交BC于H點，線段FH的長即為所求的最小值．2．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD（不含B點）上任意一點，將△ABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當AG+BG+CG取最小值時EF的長（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點之間線段最短”，∴當G點位于BD與CE的交點處時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．3．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．【解析】依然構(gòu)造60°旋轉(zhuǎn)，將三條折線段轉(zhuǎn)化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構(gòu)造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF過F作FH⊥BC交BC于H點，線段FH的長即為所求的最小值．4．已知正方形ABCD內(nèi)一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求正方形的邊長．【解析】如圖，連接AC，把△AEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△GFC，連接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等邊三角形，則EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．∵ 點B、點G為定點（G為點A繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°所得）． ∴ 線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上．設(shè)正方形的邊長為，那么BO=CO=，GC=, GO=．∴ BG=BO+GO =+．∵ 點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為．∴ +=，解得=2．5．已知：△ABC是銳角三角形，G是三角形內(nèi)一點。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求證：GA+GB+GC的值最小.【解析】證明：將△BGC逆時針旋轉(zhuǎn)60°，連GP,DB.則 △CGB≌△CPD； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵ ∠GCP=60°,∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP和△BCD都是等邊三角形。∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A、G、P三點一線。∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G、P、D三點一線。∴ AG、GP、PD三條線段同在一條直線上。∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G點是等腰三角形內(nèi)到三個頂點的距離之和最小的那一點6．若點P 為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．（1）若P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，則PB的值為；（2）如圖，在銳角△ABC的外側(cè)作等邊△ACB′，連結(jié)BB′．求證：BB′ 過△ABC的費馬點P，且BB′＝PA＋PB＋PC．【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）∵∠PAB＋∠PBA＝180o－∠APB＝60o，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60o，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120o，∴△ABP ∽△BCP，；（2）設(shè)點P為銳角△ABC的費馬點，即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°如圖，把△ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△B′CE，連結(jié)PE，則△EPC為正三角形． ∵∠B′EC ＝ ∠APC ＝120°，∠PEC＝60°，∴∠B′EC＋∠PEC＝180°，即 P、E、B′ 三點在同一直線上，∵∠BPC＝120°， ∠CPE＝60° ，∴∠BPC ＋∠CPE ＝180°，即 B、P、E 三點在同一直線上∴ B、P、E、B′ 四點在同一直線上，即BB′ 過△ABC的費馬點P．又PE＝PC，B′E＝ PA，∴ BB′＝E B′＋PB＋PE＝PA＋PB＋PC．7．在正方形ABCD中，點E為對角線AC（不含點A）上任意一點，AB=；（1）如圖1，將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；①把圖形補充完整（無需寫畫法）； ②求的取值范圍；(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）①補圖見解析；②；（2）【詳解】（1）①如圖△DCF即為所求；②∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，設(shè)AE＝CF＝x，EF2＝y，則EC＝4?x，∴y＝（4?x）2＋x2＝2x2?8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x?2）2＋8，∵2＞0，∴x＝2時，y有最小值，最小值為8，當x＝4時，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．（2）如圖中，將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFG，連接EG，DF．作FH⊥AD于H．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△AEG是等邊三角形，∴AE＝EG，∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值為線段DF的長．在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值為．8．已知，如圖，二次函數(shù)圖象的頂點為，與軸交于、兩點(點在點右側(cè))，點、關(guān)于直線：對稱.(1)求、兩點的坐標，并證明點在直線上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過點B作直線交直線于K點，M、N分別為直線AH和直線上的兩個動點，連結(jié)HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.【答案】(1)點坐標為,點坐標為(2)(3)8【詳解】(1)依題意,得ax2+2ax?3a=0(a≠0)，兩邊都除以a得：即x2+2x?3=0，解得x1=?3,x2=1，∵B點在A點右側(cè)，∴A點坐標為(?3,0),B點坐標為(1,0)，答：A. B兩點坐標分別是(?3,0),(1,0).證明：∵直線l:y=，當x=?3時,y=，∴點A在直線l上． (2)∵點H、B關(guān)于過A點的直線l:y=對稱,∴AH=AB=4，過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，則AC=，∴頂點H，代入二次函數(shù)解析式,解得a=，∴二次函數(shù)解析式為，答：二次函數(shù)解析式為.(3)直線AH的解析式為，直線BK的解析式為，由解得，即K(3,2)，則BK=4，∵點H、B關(guān)于直線AK對稱,K(3,2)，∴HN+MN的最小值是MB，過K作KD⊥x軸于D，作點K關(guān)于直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，則QM=MK,QE=EK=2，AE⊥QK，∴根據(jù)兩點之間線段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ=∠HEQ=90°，由勾股定理得QB=∴HN+NM+MK的最小值為8，答：HN+NM+MK和的最小值是8.

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