專題16 【最值問題】知識(shí)點(diǎn)將軍飲馬最值問題在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)． 【命題一】將軍飲馬最值問題1．如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD形對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，則MP+PN的最小值是（　?。?/span>A．8 B．4 C．2 D．2．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，AD是BC邊上的中線，E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，F是AB邊上一點(diǎn)，若BF＝4，當(dāng)BE+EF取得最小值時(shí)，則∠EBC的度數(shù)為（　?。?/span>A．15° B．25° C．30° D．45°3．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC＝120°，M是BC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)（BM＞CM），點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，PM的長(zhǎng)是（　　）A． B． C． D．4．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠AOD＝120°，E為BD上任意點(diǎn)，F為AE中點(diǎn)，則FO+FB的最小值為（　?。?/span>A．2 B．2+ C．5 D．35．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，3）和（2，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是（　?。?/span>A．0 B．1 C．2 D．36．如圖，正方形ABEF的面積為4，△BCE是等邊三角形，點(diǎn)C在正方形ABEF外，在對(duì)角線BF上有一點(diǎn)P，使PC+PE最小，則這個(gè)最小值的平方為（　　）A． B． C．12 D．7．如圖，四邊形OABC是菱形，點(diǎn)M，N都在OA的延長(zhǎng)線上，且OM＝2，MN＝6，∠OAB＝120°，則BM+BN的最小值為（　　）A． B．6 C．2 D．28．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，且△ABC面積是24，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于點(diǎn)E，F，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（　?。?/span>A．9 B．10 C．11 D．129．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝3，AB邊上求作點(diǎn)P，則PC+PD的最小值為（　?。?/span>A．4 B．6 C．8 D．1010．如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（　　）A．2 B．4 C．6 D．811．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝60°，E是AB的中點(diǎn)，F是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則FE+FB的最小值是（　?。?/span>A．1 B． C．2 D．12．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．E，F分別是AD，CD上的動(dòng)點(diǎn)，EF＝2．Q是EF的中點(diǎn)，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，PQ．則AP+PQ的最小值等于（　?。?/span>A．2 B．3 C．4 D．513．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AD＝14，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PD+PE的值最小時(shí)，AE＝15，則BE為（　?。?/span>A．30 B．29 C．28 D．2714．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)E，F分別是線段BC，DC上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠EAF的度數(shù)為（　?。?/span>A．90° B．80° C．70° D．60°15．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)（可與點(diǎn)B或C重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的最小值是（　?。?/span>A．1 B． C． D．16．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E是AB和BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，DE，則CD+DE的最小值為（　?。?/span>A．8 B． C． D．  知識(shí)點(diǎn)胡不歸最值問題（1）簡(jiǎn)單解釋：線段系數(shù)不一樣的將軍飲馬最值問題（2）解題思路：通過三角函數(shù)和相似等知識(shí)將線段的系數(shù)化為‘1’，轉(zhuǎn)化兩條系數(shù)為1的線段，利用將軍飲馬最值思路解題即可。 【命題二】胡不歸最值問題1．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，O是AB上一點(diǎn)，以O為圓心的半圓與AC、BC均相切，P為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連PC、PB，如圖，則PC+PB的最小值是　2　．2．如圖，?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PD的最小值等于　3　．3．已知四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝60°，AB＝6cm，P為AC上任一點(diǎn)，則PD+PA的最小值是　3　cm．4．如圖，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D為AB的中點(diǎn)，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），當(dāng)E點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則DE+CE的最小值為　　．【命題三】點(diǎn)直線垂線段最短1．如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為AC＝6，BD＝8，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則AP的最小值為（　?。?/span>A．4 B．4.8 C．5 D．5.52．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長(zhǎng)的最小值為（　?。?/span>A．1 B．6 C．3 D．123．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，則EF的最小值為（　?。?/span>A． B． C．2 D．14．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，∠EDB＝90°，則BE的最小值是（　?。?/span>A． B． C． D．5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以PA、PC為邊作平行四邊形PAQC，則對(duì)角線PQ的最小值為　4　．6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝2，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連結(jié)PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連結(jié)PQ，則PQ的最小值為（　?。?/span>A．2 B． C．2 D．4 【命題四】動(dòng)點(diǎn)軌跡問題1．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（　?。?/span>A．1 B．1.6 C．﹣2 D．22．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為（　?。?/span>A．5 B．1 C．2 D．33．如圖，F為正方形ABCD的邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，AB＝2，連接BF，過A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，連接CG，當(dāng)CG為最小值時(shí)，CH的長(zhǎng)為（　?。?/span>A． B． C．3﹣ D．3+4．如圖，在正方形ABCD中，M，N是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AM＝BN，連接MD交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，連接BE交CN于點(diǎn)F，若AB＝3，則AF長(zhǎng)度的最小值為　　．5．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分別為BC，AD上的點(diǎn)，過點(diǎn)E，F的直線將正方形ABCD的面積分為相等的兩部分，過點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，連接DG，則線段DG的最小值為　2﹣2　．6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥BD于H，連接AH，則AH的最小值為　﹣1　．7．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為直徑的圓交CP于點(diǎn)Q，若線段AQ長(zhǎng)度的最小值是4，則△ABC的面積為（　　）A．32 B．36 C．40 D．488．已知直線y＝﹣x+7a+1與直線y＝2x﹣2a+4同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)Q是以M（0，﹣1）為圓心，MO為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ的最小值為（　?。?/span>A． B． C． D．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝7，點(diǎn)E在邊BC上，并且CE＝2，點(diǎn)F為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是（　　）A．0.5 B．1 C．2 D．2.510．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．E，F分別是AD，CD上的動(dòng)點(diǎn)，EF＝2．Q是EF的中點(diǎn)，P為BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，PQ．則AP+PQ的最小值等于（　　）A．2 B．3 C．4 D．511．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PBC＝∠PCA，則線段AP長(zhǎng)的最小值為（　?。?/span>A．0.5 B．﹣1 C．2﹣ D．12．如圖所示，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，且CE＝BD，連接AD，BE，AD與BE相交于點(diǎn)P，連接PC．則線段PC的最小值等于　　．  【命題五】瓜豆原理命題雙動(dòng)點(diǎn)軌跡1．如圖，正方形ABCD中，AB＝4cm，以C為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑畫⊙C，點(diǎn)P在⊙C上移動(dòng)，連接BP，并將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BP′，連接CP′．在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，CP′長(zhǎng)度的最小值是（　?。?/span>A． B． C． D．2．如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)度為8，以AC為直徑作圓，點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，取BP的中點(diǎn)M，則CM的最小值為（　?。?/span>A．3 B．2﹣ C．﹣ D．3﹣3．如圖，點(diǎn)P（3，4），⊙P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點(diǎn)M是⊙P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是（　?。?/span>A．1.4 B． C． D．2.64．如圖，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF．則線段OF長(zhǎng)的最小值為　5﹣2　．5．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝8，AD⊥BC，點(diǎn)E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE，以CE為邊作等邊△CEF，連接DF，則線段DF的最小值為（　　）A． B．4 C．2 D．無法確定6．如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是AC的中點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AF的最小值為（　?。?/span>A．2 B． C． D．7．一個(gè)含30度角的三角板和一個(gè)含45度角的三角板按如圖所示的方式拼接在一起，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，AC＝CE＝，取AB中點(diǎn)O，連接OF．∠FCE在∠ACB內(nèi)部任意轉(zhuǎn)動(dòng)（包括邊界），則CE在運(yùn)動(dòng)過程中掃過的面積為　　，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段OF的最小值為　﹣1　．8．如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M為AB中點(diǎn)，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接ED、ME，則點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中ME的最小值為　2　．9．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為斜邊向上作等腰Rt△BDE，連接AE，則AE的最小值為（　?。?/span>A．1 B． C．2 D．210．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D為BC邊上一點(diǎn)，作如圖所示的△AED使得AE＝AD，且∠EAD＝45°，連接EC，則EC的最小值為　2﹣　． 【命題六】幾何圖形中函數(shù)最值問題1．如圖，四邊形的兩條對(duì)角線AC、BD所成的銳角為45°，當(dāng)AC+BD＝12時(shí)，四邊形ABCD的面積最大值是　9　．2．如圖，點(diǎn)P為線段AB（不含端點(diǎn)A、B）上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、PB為斜邊在AB的同側(cè)作Rt△AEP與Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，則線段EF的取值范圍是　≤EF＜8　．3．如圖，線段AB＝10，點(diǎn)P在線段AB上，在AB的同側(cè)分別以AP、BP為邊長(zhǎng)作正方形APCD和BPEF，點(diǎn)M、N分別是EF、CD的中點(diǎn)，則MN的最小值是　5　．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，點(diǎn)D在邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB交邊BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥BC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，分別以DE，EF為對(duì)角線畫矩形CDGE和矩形HEBF，則在D從A到C的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形CDGE和矩形HEBF的面積和最小時(shí)，則EF的長(zhǎng)度為　　．5．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，Q為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)M、N，順次連接P、M、Q、N，則四邊形PMQN的面積的最大值　　．6．如圖，在邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別從點(diǎn)A、B、C、D同時(shí)出發(fā)，均以1cm/s的速度向點(diǎn)B、C、D、A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，四個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為　3　s時(shí)，四邊形EFGH的面積最小，其最小值是　18　cm2．7．如圖，直線l1∥l2∥l3，A，B，C分別為直線l1，l2，l3上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB，BC，AC，線段AC交直線l2于點(diǎn)D．設(shè)直線l1，l2之間的距離為m，直線l2，l3之間的距離為n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，則m+n的最大值為　　．8．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，F是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，且DF⊥AB，EF⊥AC．則四邊形ADFE的面積最大值是　12　．9．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（12，0），動(dòng)直線OB與AB相交于點(diǎn)B，且BD⊥x軸于D，BD＝3，則△OAB的周長(zhǎng)的最小值是　12+6　．10．如圖，直線段AB的長(zhǎng)為l，C為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC和BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCD′，那么DD′的長(zhǎng)的最小值為　l　．11．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG．（1）若BE＝，則正方形CEFG的面積為 　5　；（2）連接DF、DG，則△DFG面積的最小值為 　　．
 

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