概率統(tǒng)計(jì)在高考中扮演著很重要的角色，概率統(tǒng)計(jì)解答題是新高考卷及多數(shù)省市高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容，考查熱點(diǎn)為古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、條件概率、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的實(shí)際應(yīng)用等．
回顧近幾年的高考試題，可以看出概率統(tǒng)計(jì)解答題，大多緊密結(jié)合社會(huì)實(shí)際，以現(xiàn)實(shí)生活為背景設(shè)置試題，注重知識(shí)的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用，作為考查實(shí)踐能力的重要載體，命題者要求考生會(huì)收集，整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問題有用的信息，建立數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題．
【核心考點(diǎn)目錄】
核心考點(diǎn)一：求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望
核心考點(diǎn)二：超幾何分布與二項(xiàng)分布
核心考點(diǎn)三：概率與其它知識(shí)的交匯問題
核心考點(diǎn)四：期望與方差的實(shí)際應(yīng)用
核心考點(diǎn)五：正態(tài)分布
核心考點(diǎn)六：統(tǒng)計(jì)圖表
核心考點(diǎn)七：回歸分析
核心考點(diǎn)八：獨(dú)立性檢驗(yàn)
核心考點(diǎn)九：與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題
核心考點(diǎn)十：決策型問題
核心考點(diǎn)十一：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式
【真題回歸】
1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為 SKIPIF 1 < 0 ，該地區(qū)年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?SKIPIF 1 < 0 .從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 ，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：
(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；
(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？
附： SKIPIF 1 < 0 ，
4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位： SKIPIF 1 < 0 ）和材積量（單位： SKIPIF 1 < 0 ），得到如下數(shù)據(jù)：
并計(jì)算得 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為 SKIPIF 1 < 0 ．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．
附：相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到 SKIPIF 1 < 0 以上（含 SKIPIF 1 < 0 ）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立．
(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；
(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）
6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
（?。┳C明： SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出 SKIPIF 1 < 0 的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．
附 SKIPIF 1 < 0 ，
【方法技巧與總結(jié)】
（一）涉及的概率知識(shí)層面
主要考查隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件還是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，以便選擇正確的計(jì)算方法，進(jìn)行概率計(jì)算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，也要掌握幾種常見?？嫉母怕史植寄Ｐ停弘x散型有二項(xiàng)分布、超幾何分布，連續(xù)型有正態(tài)分布．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，
1、離散型隨機(jī)變量的期望與方差
一般地，若離散型隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列為
稱 SKIPIF 1 < 0 為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
稱 SKIPIF 1 < 0 為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的方差，它刻畫了隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 與其均值 SKIPIF 1 < 0 的偏離程度，其算術(shù)平方根 SKIPIF 1 < 0 為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的標(biāo)準(zhǔn)差．
（1）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
= 1 \* GB3 ① SKIPIF 1 < 0 ； = 2 \* GB3 ② SKIPIF 1 < 0 ．
（2）均值與方差的性質(zhì)
若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為常數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 也是隨機(jī)變量，
且 SKIPIF 1 < 0
（3）分布列的求法
= 1 \* GB3 ①與排列、組合有關(guān)分布列的求法．由排列、組合、概率知識(shí)求出概率，再求出分布列．
= 2 \* GB3 ②與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法．可由頻率估計(jì)概率， 再求出分布列．
= 3 \* GB3 ③與互斥事件有關(guān)分布列的求法．弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
= 4 \* GB3 ④與獨(dú)立事件（或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）有關(guān)分布列的求法．先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個(gè)概率，再列出分布列．
（4）常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型
= 1 \* GB3 ①二項(xiàng)分布； = 2 \* GB3 ②超兒何分布．
2、常見的連續(xù)型概率分布模型
正態(tài)分布．
（二）概率分布與不同知識(shí)背景結(jié)合考查對(duì)實(shí)際問題的解決能力
1、與數(shù)列結(jié)合的實(shí)際問題
2、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際問題
3、與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實(shí)際問題
4、與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的實(shí)際問題
5、與其他背景結(jié)合的實(shí)際問題
【核心考點(diǎn)】
核心考點(diǎn)一：求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望
【規(guī)律方法】
求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；
（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）
【典型例題】
例1．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）甲?乙兩個(gè)代表隊(duì)各有3名選手參加對(duì)抗賽．比賽規(guī)定：甲隊(duì)的1，2，3號(hào)選手與乙隊(duì)的1，2，3號(hào)選手按編號(hào)順序各比賽一場(chǎng)，某隊(duì)連贏3場(chǎng)，則獲勝，否則由甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙隊(duì)的2號(hào)，甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1號(hào)加賽兩場(chǎng)，勝場(chǎng)多者最后獲勝（每場(chǎng)比賽只有勝或負(fù)兩種結(jié)果）．已知甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1，2號(hào)選手的勝率分別是0．5，0．6，甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1，2號(hào)選手的勝率都是0．5，甲隊(duì)的3號(hào)對(duì)乙隊(duì)的3號(hào)選手的勝率也是0．5，假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求甲隊(duì)僅比賽3場(chǎng)獲勝的概率；
（2）已知每場(chǎng)比賽勝者可獲得200個(gè)積分，求甲隊(duì)隊(duì)員獲得的積分?jǐn)?shù)之和 SKIPIF 1 < 0 的分布列及期望．
例2．（2022春·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）我校舉辦“學(xué)黨史”知識(shí)測(cè)試活動(dòng)，每位教師3次測(cè)試機(jī)會(huì)，規(guī)定按順序測(cè)試，一旦測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試，否則3次測(cè)試都要參加．甲教師3次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為 SKIPIF 1 < 0 的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過 SKIPIF 1 < 0 ，且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，乙教師3次測(cè)試每次測(cè)試合格的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，每位教師參加的每次測(cè)試是否合格相互獨(dú)立．
（1）求甲教師第一次參加測(cè)試就合格的概率P；
（2）設(shè)甲教師參加測(cè)試的次數(shù)為m，乙教師參加測(cè)試的次數(shù)為n，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列．
例3．（2022春·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）受新冠肺炎疫情的影響，某商場(chǎng)的銷售額受到了不同程度的沖擊，為刺激消費(fèi)，該商場(chǎng)開展一項(xiàng)促銷活動(dòng)，凡在商場(chǎng)消費(fèi)金額滿300元的顧客可以免費(fèi)抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個(gè)小球，其中：紅色小球1個(gè)，白色小球3個(gè)，黃色小球6個(gè)，顧客從箱子中依次不放回地摸出3個(gè)球，根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎(jiǎng)．將顧客摸出的3個(gè)球的顏色分成以下四種情況：A：1個(gè)紅球2個(gè)白球；B：3個(gè)白球；C：恰有1個(gè)黃球；D：至少兩個(gè)黃球，若四種情況按發(fā)生的機(jī)會(huì)從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)一等獎(jiǎng)，二等獎(jiǎng)，三等獎(jiǎng)，不中獎(jiǎng)．
（1）寫出顧客分別獲一?二?三等獎(jiǎng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率；
（2）已知顧客摸出的第一個(gè)球是白球，求該顧客獲得二等獎(jiǎng)的概率；
（3）若五名顧客每人抽獎(jiǎng)一次，且彼此是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立．記中獎(jiǎng)的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和期望．
核心考點(diǎn)二：超幾何分布與二項(xiàng)分布
【規(guī)律方法】
超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實(shí)際中的許多問題都可以利用這兩個(gè)概率模型來解決．
一般地，在含有 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品的 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品中，任取 SKIPIF 1 < 0 件，其中恰有 SKIPIF 1 < 0 件次品，則事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，稱為超幾何分布列．
一般地，在 SKIPIF 1 < 0 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用 SKIPIF 1 < 0 表示事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件 SKIPIF 1 < 0 發(fā)生的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．此時(shí)稱隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 服從二項(xiàng)分布，記作 SKIPIF 1 < 0 ，并稱 SKIPIF 1 < 0 為成功概率．此時(shí)有 SKIPIF 1 < 0 ．
【典型例題】
例4．（2022春·北京·高三北京鐵路二中校考階段練習(xí)）2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在鳥巢落下帷幕，中國(guó)隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績(jī)．北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng)，某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成如下頻率分布表：
（1）如果規(guī)定競(jìng)賽得分在 SKIPIF 1 < 0 為“良好”，競(jìng)賽得分在 SKIPIF 1 < 0 為“優(yōu)秀”，從成績(jī)?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中，使用分層抽樣抽取10個(gè)學(xué)生，問各抽取多少人？
（2）在（1）條件下，再?gòu)倪@10學(xué)生中抽取6人進(jìn)行座談，求至少有3人競(jìng)賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；
（3）以這100名參賽學(xué)生中競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識(shí)競(jìng)賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率．現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望．
例5．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．如圖所示的高爾頓板有7層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以 SKIPIF 1 < 0 的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2，…，7的球槽內(nèi)．
（1）如圖進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求小球落入6號(hào)球槽的概率；
（2）某商場(chǎng)店慶期間利用如圖的高爾頓板舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客只要在商場(chǎng)購(gòu)物消費(fèi)每滿800元就能得到一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，如消費(fèi)400元沒有抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)900元有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，消費(fèi)1700元有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)等，一次抽獎(jiǎng)小球掉入 SKIPIF 1 < 0 號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為 SKIPIF 1 < 0 （元），其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（?。┣笠淮纬楠?jiǎng)的獎(jiǎng)金 SKIPIF 1 < 0 （元）的分布列及數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ）已知某顧客在商場(chǎng)消費(fèi)2000元，設(shè)他所得的獎(jiǎng)金為 SKIPIF 1 < 0 （元），求 SKIPIF 1 < 0 ．
例6．（2022春·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng)．為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購(gòu)買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖．
（1）從小區(qū)超市某天購(gòu)買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶．若抽取的5戶中購(gòu)買量在 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）的戶數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和期望；
（2）將某戶某天購(gòu)買甲類生活物資的量與平均購(gòu)買量比較，當(dāng)超出平均購(gòu)買量不少于 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值．
核心考點(diǎn)三：概率與其它知識(shí)的交匯問題
【規(guī)律方法】
在知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)試題是高考命題的指導(dǎo)思想之一，概率作為高中數(shù)學(xué)具有實(shí)際應(yīng)用背景的主要內(nèi)容，除與實(shí)際應(yīng)用問題相交匯，還常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)交匯．求解此類問題要充分理解題意．根據(jù)題中已知條件，聯(lián)系所學(xué)知識(shí)對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．這類題型具體來說有兩大類：
1、所給問題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等知識(shí)為載體的概率問題．求解時(shí)需要利用相關(guān)知識(shí)把所給問題轉(zhuǎn)化為概率模型，然后利用概率知識(shí)求解．
2、所給問題是概率問題，求解時(shí)有時(shí)需要把所求概率轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解；或者把問題轉(zhuǎn)化為與概率變量有關(guān)的數(shù)列遞推關(guān)系式，再通過構(gòu)造特殊數(shù)列求通項(xiàng)或求和．
【典型例題】
例7．（2022春·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谥校┩稊S一枚均勻的骰子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)為1或6時(shí)得2分，擲得的點(diǎn)數(shù)為2，3，4，5時(shí)得1分；獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分；
（1）設(shè)投擲2次骰子，最終得分為X，求隨機(jī)變量X的分布與期望；
（2）設(shè)最終得分為n的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 為等比數(shù)列，并求數(shù)列 SKIPIF 1 < 0 的通項(xiàng)公式；
例8．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從單位正方體 SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 出發(fā)，每一步（均為等可能性的）經(jīng)過一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，設(shè)該螞蟻經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 步回到點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的概率 SKIPIF 1 < 0 ．
（I）分別寫出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（II）設(shè)頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 出發(fā)經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 步到達(dá)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（III）求 SKIPIF 1 < 0 ．
例9．（2022春·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品 SKIPIF 1 < 0 分為兩類不同劑型 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合格的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合格的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．已知兩次檢測(cè)過程相互獨(dú)立，兩次檢測(cè)均合格，試劑品 SKIPIF 1 < 0 才算合格．
（1）設(shè)經(jīng)過兩次檢測(cè)后兩類試劑 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 合格的種類數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品 SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為 SKIPIF 1 < 0 且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，若當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 最大，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
核心考點(diǎn)四：期望與方差的實(shí)際應(yīng)用
【規(guī)律方法】
數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度．現(xiàn)代實(shí)際生活中，越來越多的決策需要應(yīng)用數(shù)學(xué)期望與方差來對(duì)事件發(fā)生大小的可能性和穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)估，通過計(jì)算分析可以比較科學(xué)地得出各個(gè)方案的預(yù)期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案．
（1）若我們希望實(shí)際的平均水平較理想，則先求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的期望，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好，還需要用 SKIPIF 1 < 0 來比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的方差，確定它們的偏離程度．
（2）若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．
（3）方差不是越小就越好，而是要根據(jù)實(shí)際問題的需要來判斷．
【典型例題】
例10．（2022春·河南·高三期末）根據(jù)疫情防控的需要，某地設(shè)立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉(cāng)，集中開展核酸檢測(cè)和預(yù)防性消毒工作，為了進(jìn)一步確定某批進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称肥欠窀腥静《?，在入關(guān)檢疫時(shí)需要對(duì)其進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果為陽(yáng)性，則有該病毒；若結(jié)果呈陰性，則沒有該病毒．對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 份樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；二是混合檢驗(yàn)，將k份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這k份全為陰性，檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份究竟哪些為陽(yáng)性，需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，則k份檢驗(yàn)的次數(shù)共為 SKIPIF 1 < 0 次，若每份樣本沒有病毒的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，而且樣本之間是否有該病毒是相互獨(dú)立的．
（1）若取得8份樣本，采用逐個(gè)檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)恰有2個(gè)樣本檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若對(duì)取得的8份樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案：方案一：采用混合檢驗(yàn)；方案二：平均分成兩組，每組4份樣本采用混合檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”．若“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求p的取值范圍（精確到0．01）．
例11．（2022春·湖北·高三黃岡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）隨機(jī)變量的概念是俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫在十九世紀(jì)中葉建立和提倡使用的．切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學(xué)等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè) SKIPIF 1 < 0 為離散型隨機(jī)變量，則 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為任意大于0的實(shí)數(shù)．切比雪夫不等式可以使人們?cè)陔S機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布未知的情況下，對(duì)事件 SKIPIF 1 < 0 的概率作出估計(jì)．
（1）證明離散型切比雪夫不等式；
（2）應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．在一次抽獎(jiǎng)游戲中，有 SKIPIF 1 < 0 個(gè)不透明的箱子依次編號(hào)為 SKIPIF 1 < 0 ，編號(hào)為 SKIPIF 1 < 0 的箱子中裝有編號(hào)為 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 個(gè)大小?質(zhì)地均相同的小球．主持人邀請(qǐng) SKIPIF 1 < 0 位嘉賓從每個(gè)箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記從編號(hào)為 SKIPIF 1 < 0 的箱子中抽取的小球號(hào)碼為 SKIPIF 1 < 0 ，并記 SKIPIF 1 < 0 ．對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 ，是否總能保證 SKIPIF 1 < 0 （假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論．
附：可能用到的公式（數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)）：對(duì)于離散型隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ．
例12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一臺(tái)機(jī)器設(shè)備由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩個(gè)要件組成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過程中， SKIPIF 1 < 0 發(fā)生故障的概率分別記作 SKIPIF 1 < 0 ，假設(shè) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相互獨(dú)立．設(shè) SKIPIF 1 < 0 表示一次運(yùn)轉(zhuǎn)過程中需要維修的要件的數(shù)目，若 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）依據(jù)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 需要維修的數(shù)目， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 需要維修的數(shù)目，寫出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系式，并依據(jù)期望的線性性質(zhì)和方差的性質(zhì)，求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
核心考點(diǎn)五：正態(tài)分布
【規(guī)律方法】
解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）對(duì)稱軸 SKIPIF 1 < 0 標(biāo)準(zhǔn)差 SKIPIF 1 < 0 分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由 SKIPIF 1 < 0 ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 < 0 特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸為 SKIPIF 1 < 0 ．
【典型例題】
例13．（2022春·福建泉州·高三福建省南安國(guó)光中學(xué)校考階段練習(xí)）某中學(xué)在一次考試后，對(duì)本年級(jí)學(xué)生物理成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了300名同學(xué)的物理成績(jī)（均在50~100分之間），將抽取的成績(jī)分組為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這300名同學(xué)物理平均成績(jī) SKIPIF 1 < 0 與第三四分位數(shù)的估計(jì)值；（結(jié)果精確到1）
（2）已知全年級(jí)同學(xué)的物理成績(jī)服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 取（1）中的 SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)計(jì)算， SKIPIF 1 < 0 =11，現(xiàn)從全年級(jí)隨機(jī)選取一名同學(xué)的物理成績(jī)，求該成績(jī)?cè)趨^(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的概率（結(jié)果精確到0．1）；
（3）根據(jù)（2）的條件，用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從全年級(jí)隨機(jī)選取n名同學(xué)的物理成績(jī)，若他們的成績(jī)都在 SKIPIF 1 < 0 的概率不低于1%，求n的最大值（n為整數(shù)）．
附： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個(gè)座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率均為0．1．
（1）將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的期望和方差；
（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 比較大時(shí)，二項(xiàng)分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 對(duì)應(yīng)的概率值．例如當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，由于 SKIPIF 1 < 0 ，則先在表的最左列找到數(shù)字0．1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0．06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0．5636便是 SKIPIF 1 < 0 的值．
①求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0．7，則至少需要添加多少個(gè)座位？
例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某收費(fèi)APP（手機(jī)應(yīng)用程序）自上架以來，憑借簡(jiǎn)潔的界面設(shè)計(jì)?方便的操作方式和實(shí)用的強(qiáng)大功能深得用戶喜愛．為回饋市場(chǎng)并擴(kuò)大用戶量，該APP在2022年以競(jìng)價(jià)形式做出優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：①每月1到15日，大家可通過官網(wǎng)提交自己的報(bào)價(jià)（報(bào)價(jià)低于原價(jià)），但在報(bào)價(jià)時(shí)間截止之前無法得知其他人的報(bào)價(jià)和當(dāng)月參與活動(dòng)的總?cè)藬?shù)；②當(dāng)月競(jìng)價(jià)時(shí)間截止后的第二天，系統(tǒng)將根據(jù)當(dāng)期優(yōu)惠名額，按出價(jià)從高到低的順序給相應(yīng)人員分配優(yōu)惠名額，獲得優(yōu)惠名額的人的最低出價(jià)即為該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià)，出價(jià)不低于優(yōu)惠價(jià)的人將獲得數(shù)額為原價(jià)減去優(yōu)惠價(jià)的優(yōu)惠券，并可在當(dāng)月下載該APP時(shí)使用．小明擬參加2022年7月份的優(yōu)惠活動(dòng)，為了預(yù)測(cè)最低成交價(jià)，他根據(jù)網(wǎng)站的公告統(tǒng)計(jì)了今年2到6月參與活動(dòng)的人數(shù)，如下表所示：
（1）若可用線性回歸模型擬合參與活動(dòng)的人數(shù)y（單位：萬人）與時(shí)間t（單位：月）之間的關(guān)系，請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ，并預(yù)測(cè)今年7月參與活動(dòng)的人數(shù)；
（2）某自媒體對(duì)200位擬參加今年7月份活動(dòng)的人進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如表所示的頻數(shù)表：
①求這200人的報(bào)價(jià)X（單位：元）的平均值 SKIPIF 1 < 0 和方差 SKIPIF 1 < 0 （同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
②假設(shè)所有參與活動(dòng)的人的報(bào)價(jià)X（單位：元）可視為服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 可分別由①中所求的樣本平均數(shù) SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 估計(jì)，若2022年7月計(jì)劃發(fā)放優(yōu)惠名額數(shù)量為3173，請(qǐng)你合理預(yù)測(cè)該APP在當(dāng)月的下載優(yōu)惠價(jià)，并說明理由．
參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
核心考點(diǎn)六：統(tǒng)計(jì)圖表
【規(guī)律方法】
1、制作頻率分布直方圖的步驟．
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距 SKIPIF 1 < 0
第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表；
第四步：畫頻率分布直方圖．
2、解決頻率分布直方圖問題時(shí)要抓住3個(gè)要點(diǎn)．
（1）直方圖中各小矩形的面積之和為1；
（2）直方圖中縱軸表示 SKIPIF 1 < 0 ，故每組樣本的頻率為組距 SKIPIF 1 < 0
（3）直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率 SKIPIF 1 < 0 總體個(gè)數(shù)．
3、用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法．
（1）眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）平均數(shù)等于每個(gè)小矩形面積與小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之積的和．
【典型例題】
例16．（2022·云南昆明·昆明一中模擬預(yù)測(cè)）為了響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號(hào)召，某校實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為了檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，在高三年級(jí)進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試，從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績(jī)，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示），其中數(shù)學(xué)成績(jī)落在區(qū)間[110，120），[120，130），[130，140]的頻率之比為4：2：1．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖求學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110，120）的頻率，并求抽取的這100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)
（2）若將頻率視為概率，從全校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取3個(gè)人，記抽取的3人成績(jī)?cè)赱100，130）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列與數(shù)學(xué)期望．
例17．（2022·貴州貴陽(yáng)·貴陽(yáng)六中校考一模）某校組織1000名學(xué)生進(jìn)行科學(xué)探索知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)分成5組： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績(jī)落在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的人數(shù)為400．
（1）求出直方圖中a，b，c的值；
（2）估計(jì)中位數(shù)（精確到0．1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
（3）若用頻率估計(jì)概率，設(shè)從這1000人中抽取的6人，得分在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．
例18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行：第一階段由評(píng)委為所有參賽作品評(píng)分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會(huì)按規(guī)則另行確定．?dāng)?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)員對(duì)第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，這些分?jǐn)?shù)X都在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)，再以5為組距畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“ SKIPIF 1 < 0 ”）時(shí)，發(fā)現(xiàn)Y滿足： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）試確定n的所有取值，并求k；
（2）組委會(huì)確定：在第一階段比賽中低于85分的同學(xué)無緣獲獎(jiǎng)也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的同學(xué)評(píng)為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的同學(xué)評(píng)為二等獎(jiǎng)，但通過附加賽有 SKIPIF 1 < 0 的概率提升為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的同學(xué)評(píng)為三等獎(jiǎng)，但通過附加賽有 SKIPIF 1 < 0 的概率提升為二等獎(jiǎng)（所有參加附加賽的獲獎(jiǎng)人員均不降低獲獎(jiǎng)等級(jí)，且附加賽獲獎(jiǎng)等級(jí)在第一階段獲獎(jiǎng)等級(jí)基礎(chǔ)上，最多升高一級(jí)）．已知學(xué)生A和B均參加了本次比賽，且學(xué)生A在第一階段獲得二等獎(jiǎng)．
①求學(xué)生B最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生A最終獲獎(jiǎng)等級(jí)的概率；
②已知學(xué)生A和B都獲獎(jiǎng)，記A，B兩位同學(xué)最終獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
核心考點(diǎn)七：回歸分析
【規(guī)律方法】
線性回歸分析的原理、方法和步驟：
（1）利用圖表和數(shù)字特征可以對(duì)數(shù)據(jù)做簡(jiǎn)單的分析，但是用回歸直線方程可以對(duì)數(shù)據(jù)的未來值進(jìn)行預(yù)測(cè)．在選取數(shù)據(jù)觀察的時(shí)候，要注意大量相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)據(jù)比不穩(wěn)定的數(shù)據(jù)更有價(jià)值，近期的數(shù)據(jù)比過去久遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)更有價(jià)值．
（2）判斷兩組數(shù)據(jù)是否具有線性相關(guān)關(guān)系的方法：散點(diǎn)圖，相關(guān)系數(shù)．
（3）相關(guān)指數(shù) SKIPIF 1 < 0 與相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 在含有一個(gè)解釋變量的線性回歸模型中是等價(jià)的量 SKIPIF 1 < 0 ，都是用來判斷線性回歸模型擬合效果好不好的量．
（4）利用換元法，可以將一元非線性回歸轉(zhuǎn)化為線性回歸．
【典型例題】
例19．（2022春·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動(dòng)力的新一代無繩類電動(dòng)工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應(yīng)多種應(yīng)用場(chǎng)景下的工作等優(yōu)勢(shì)，被廣泛使用．在消費(fèi)者便攜無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動(dòng)下，鋰電類無繩電動(dòng)工具及配套充電器市場(chǎng)有望持續(xù)擴(kuò)大．某公司為適應(yīng)市場(chǎng)并增強(qiáng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對(duì)2017~2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計(jì)，如下圖：
2017~2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對(duì)應(yīng)2017~2021年）
（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該公司研發(fā)人數(shù) SKIPIF 1 < 0 與年份代碼 SKIPIF 1 < 0 的相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，并由此判斷其相關(guān)性的強(qiáng)弱；
（2）試求出 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年該公司的研發(fā)人數(shù)．（結(jié)果取整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．參考公式：相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ．線性回歸方程的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，截距 SKIPIF 1 < 0 ．
附：
例20．（2022春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，（計(jì)算結(jié)果精確到0．01）
（2）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到 SKIPIF 1 < 0 以上時(shí)紅鈴蟲會(huì)造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，假設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到 SKIPIF 1 < 0 以上的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．該地今后4年中至少有兩年需要人工防治的概率．
附：回歸方程 SKIPIF 1 < 0 ．
例21．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部等六部門發(fā)布通知提出，到2025年，農(nóng)村生活垃圾無害化處理水平明顯提升．我國(guó)生活垃圾主要有填埋、焚燒與堆肥三種處理方式，隨著我國(guó)垃圾處理結(jié)構(gòu)的不斷優(yōu)化調(diào)整，焚燒處理逐漸成為市場(chǎng)主流．根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，對(duì)2013—2020年全國(guó)生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)y（單位：座）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：
（1）由表中數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0．01）
（2）求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年全國(guó)生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)；
（3）對(duì)于2035年全國(guó)生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)，還能用所求的線性回歸方程預(yù)測(cè)嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．
參考公式：相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，回歸方程 SKIPIF 1 < 0 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
核心考點(diǎn)八：獨(dú)立性檢驗(yàn)
【規(guī)律方法】
解獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問題的注意事項(xiàng)．
（1）兩個(gè)明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個(gè)問題．
（2）在列聯(lián)表中注意事件的對(duì)應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆．
（3）在實(shí)際問題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯(cuò)．
（4）對(duì)判斷結(jié)果進(jìn)行描述時(shí)，注意對(duì)象的選取要準(zhǔn)確無誤，應(yīng)是對(duì)假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷，而非其他．
【典型例題】
例22．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）為了檢測(cè)產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)從甲、乙兩條生產(chǎn)線上分別抽取 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)其質(zhì)量指標(biāo)值，質(zhì)量指標(biāo)值的范圍為 SKIPIF 1 < 0 ．根據(jù)該產(chǎn)品的質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的產(chǎn)品為“優(yōu)等品”，否則為“非優(yōu)等品”．抽樣統(tǒng)計(jì)后得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）填寫下面的 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表，計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 ，并判斷能否有 SKIPIF 1 < 0 的把握認(rèn)為產(chǎn)品是否為“優(yōu)等品”與生產(chǎn)線有關(guān)；
（2）由于樣本中來自乙生產(chǎn)線“非優(yōu)等品”的個(gè)數(shù)多于來自甲生產(chǎn)線的，為找出原因，該廠質(zhì)量控制部門在抽出的“非優(yōu)等品”中，按甲、乙生產(chǎn)線采用分層抽樣的方法抽出 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品，然后再?gòu)闹须S機(jī)抽出 SKIPIF 1 < 0 件產(chǎn)品進(jìn)行全面分析，求其中至少有 SKIPIF 1 < 0 件是乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的概率．
附： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
例23．（2022·重慶江北·校考一模）為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）依據(jù) SKIPIF 1 < 0 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
（2）從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；
（3）為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動(dòng)，在該活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人．求第 SKIPIF 1 < 0 次傳球后球在甲手中的概率．
附： SKIPIF 1 < 0
例24．（2022春·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）為考查某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：
設(shè)從沒服用藥的動(dòng)物中任取2只，未患病數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ：從服用藥物的動(dòng)物中任取2只，未患病數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，工作人員曾計(jì)算過 SKIPIF 1 < 0
（1）求出列聯(lián)表中數(shù)據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，y，M，N的值：
（2）求 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的均值（期望）并比較大小，請(qǐng)解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義：
（3）能夠以99%的把握認(rèn)為藥物有效嗎？
（參考公式 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
核心考點(diǎn)九：與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問題
【規(guī)律方法】
1、在與體育比賽規(guī)則有關(guān)的問題中，一般都會(huì)涉及分組，處理該類問題時(shí)主要借助于排列組合．對(duì)于分組問題，要注意平均分組與非平均分組，另外，在算概率時(shí)注意“直接法”與“間接法”的靈活運(yùn)用．
2、與體育比賽有關(guān)的問題中最常見的就是輸贏問題，經(jīng)常涉及“多人淘汰制問題”“ 三局兩勝制問題”“ 五局三勝制問題”“ 七局四勝制問題”，解決這些問題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)“三局兩勝制”“ 五局三勝制”等所進(jìn)行的場(chǎng)數(shù)，贏了幾場(chǎng)與第幾場(chǎng)贏，用互斥事件分類，分析事件的獨(dú)立性，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算概率，在分類時(shí)要注意“不重不漏” ．
3、在體育比賽問題中，比賽何時(shí)結(jié)束也是經(jīng)常要考慮的問題，由于比賽賽制已經(jīng)確定，而比賽的平均場(chǎng)次不確定，需要對(duì)比賽的平均場(chǎng)次進(jìn)行確定，常用的方法就是求以場(chǎng)數(shù)為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，然后比較大?。?br>4、有些比賽會(huì)采取積分制，考查得分的分布列與數(shù)學(xué)期望是?？碱}型，解題的關(guān)鍵是辨別它的概率模型，常見的概率分布模型有：兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布，要注意分布是相互獨(dú)立的，超幾何分布不是，值得注意的是，在比賽中往往是偽二項(xiàng)分布，有的只是局部二項(xiàng)分布．
【典型例題】
例25．（2022春·湖北十堰·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、B進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由A部、B部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．
（1）記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求 SKIPIF 1 < 0 ，并求當(dāng) SKIPIF 1 < 0 取最大值時(shí)p的值；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求 SKIPIF 1 < 0 ．
例26．（2022·江蘇鹽城·江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙兩人組成“虎隊(duì)”代表班級(jí)參加學(xué)校體育節(jié)的籃球投籃比賽活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都投中，則“虎隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人投中，則“虎隊(duì)”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊(duì)”得0分．已知甲每輪投中的概率是 SKIPIF 1 < 0 ，乙每輪投中的概率是 SKIPIF 1 < 0 ；每輪活動(dòng)中甲、乙投中與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．
（1）假設(shè)“虎隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“虎隊(duì)”至少投中3個(gè)的概率；
（2）①設(shè)“虎隊(duì)”兩輪得分之和為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列；
②設(shè)“虎隊(duì)” SKIPIF 1 < 0 輪得分之和為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的期望值．（參考公式 SKIPIF 1 < 0 ）
例27．（2022·陜西西安·長(zhǎng)安一中?？寄M預(yù)測(cè)）某校高三男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組，每輪游戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進(jìn)的次數(shù)之和不少于 SKIPIF 1 < 0 次稱為“優(yōu)秀小組”．小明與小亮同一小組，小明、小亮投籃投進(jìn)的概率分別為 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則在第一輪游戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 次，則理論上至少要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時(shí) SKIPIF 1 < 0 的值．
核心考點(diǎn)十：決策型問題
【規(guī)律方法】
求解決策型問題的求解流程為：
第一步：先確定函數(shù)關(guān)系式；
第二步：列出分布列，求出期望；
第三步：根據(jù)期望進(jìn)行最后的決策．
【典型例題】
例28．（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）新冠疫情暴發(fā)以來，各級(jí)人民政府采取有效防控措施，時(shí)常采用10人一組做核酸檢測(cè)（俗稱混檢），某地在核酸檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)某一組中有1人核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，為了能找出這1例陽(yáng)性感染者，且確認(rèn)感染何種病毒，需要通過做血清檢測(cè)，血清檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為感染人員，呈陰性的表示沒被感染．?dāng)M采用兩種方案檢測(cè)：
方案甲：將這10人逐個(gè)做血清檢測(cè)，直到能確定感染人員為止．
方案乙：將這10人的血清隨機(jī)等分成兩組，隨機(jī)將其中一組的血清混在一起檢測(cè)，若結(jié)果為陽(yáng)性，則表示感染人員在該組中，然后再對(duì)該組中每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止；若結(jié)果呈陰性，則對(duì)另一組中每份血清逐個(gè)檢測(cè)，直到能確定感染人員為止．把采用方案甲，直到能確定感染人員為止，檢測(cè)的次數(shù)記為X．
（1）求X的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如果每次檢測(cè)的費(fèi)用相同，以檢測(cè)費(fèi)用的期望作為決策依據(jù)，應(yīng)選擇方案甲與方案乙哪一種？
例29．（2022春·廣東廣州·高三廣州市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝；若比賽三場(chǎng)還沒有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．己知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，甲與丙比賽，甲贏的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？
（2）為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金13萬元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金4萬元．在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì) SKIPIF 1 < 0 萬元，求 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
例30．（2022春·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2020年1月15日教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃．強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲?乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，分別求出該考生報(bào)考甲?乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；
（2）強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
核心考點(diǎn)十一：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式
【典型例題】
例31．（2022·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年10月1日，女籃世界杯落幕，時(shí)隔28年，中國(guó)隊(duì)再次獲得亞軍，追平歷史最佳成績(jī)．為考察某隊(duì)員甲對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)，教練對(duì)近兩年甲參加過的100場(chǎng)比賽進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：甲在前鋒位置出場(chǎng)20次，其中球隊(duì)獲勝14次；中鋒位置出場(chǎng)30次，其中球隊(duì)獲勝21次；后衛(wèi)位置出場(chǎng)50次，其中球隊(duì)獲勝40次．用該樣本的頻率估計(jì)概率，則：
（1）甲參加比賽時(shí)，求該球隊(duì)某場(chǎng)比賽獲勝的概率；
（2）現(xiàn)有小組賽制如下：小組共6支球隊(duì)，進(jìn)行單循環(huán)比賽，即任意兩支隊(duì)伍均有比賽，規(guī)定至少3場(chǎng)獲勝才可晉級(jí)．教練決定每場(chǎng)比賽均派甲上場(chǎng)，已知甲所在球隊(duì)順利晉級(jí)，記其獲勝的場(chǎng)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
例32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某品牌汽車廠今年計(jì)劃生產(chǎn)10萬輛轎車，生產(chǎn)每輛轎車都需要安裝一個(gè)配件M，其中由本廠自主生產(chǎn)的配件M可以滿足20%的生產(chǎn)需要，其余的要向甲、乙兩個(gè)配件廠家訂購(gòu)．已知本廠生產(chǎn)配件M的成本為500元/件，從甲、乙兩廠訂購(gòu)配件M的成本分別為600元/件和800元/件，該汽車廠計(jì)劃將每輛轎車使用配件M的平均成本控制為640元/件．
（1）分別求該汽車廠需要從甲廠和乙廠訂購(gòu)配件M的數(shù)量；
（2）已知甲廠、乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的次品率分別為4%，2%和1%，求該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率；
（3）現(xiàn)有一輛轎車由于使用了次品配件M出現(xiàn)了質(zhì)量問題，需要返廠維修，維修費(fèi)用為14 000元，若維修費(fèi)用由甲廠、乙廠和本廠按照次品配件M來自各廠的概率的比例分擔(dān)，則它們各自應(yīng)該承擔(dān)的維修費(fèi)用分別為多少？
例33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有專家指出，與新冠病毒感染者密切接觸過的人，被感染的概率是 SKIPIF 1 < 0 ．王某被確診為新冠病毒感染者后，當(dāng)?shù)販?zhǔn)備對(duì)王某的密切接觸者共78人逐一進(jìn)行核酸檢測(cè)．
（1）設(shè) SKIPIF 1 < 0 為這78名密切接觸者中被感染的人數(shù)，求 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望；
（2）核酸檢測(cè)并不是 SKIPIF 1 < 0 準(zhǔn)確，有可能出現(xiàn)假陰性（新冠病毒感染者的檢測(cè)結(jié)果為陰性，即漏診）或假陽(yáng)性（非新冠病毒感染者的檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，即誤診）．假設(shè)當(dāng)?shù)睾怂釞z測(cè)的靈敏度為 SKIPIF 1 < 0 （即假陰性率為 SKIPIF 1 < 0 ），特異度為 SKIPIF 1 < 0 （即假陽(yáng)性率為 SKIPIF 1 < 0 ）．已知王某的一個(gè)密切接觸者趙某的核酸檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，求他被感染的概率（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）．
【新題速遞】
1．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）小明進(jìn)行射擊練習(xí)，他第一次射擊中靶的概率為0.7，從第二次射擊開始，若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為0.9，否則中靶概率為0.7.
(1)求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；
(2)①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.
②求小明第n次中靶的概率.
2．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某校為減輕暑假家長(zhǎng)的負(fù)擔(dān)，開展暑期托管，每天下午開設(shè)一節(jié)投籃趣味比賽．比賽規(guī)則如下：在A，B兩個(gè)不同的地點(diǎn)投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，如果連續(xù)兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學(xué)準(zhǔn)備參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．假設(shè)小明同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)若小明同學(xué)完成一次比賽，恰好投中2次的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，求p；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，記小明同學(xué)一次比賽結(jié)束時(shí)的得分為X，求X的分布列及數(shù)列期望．
3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩位選手參加一項(xiàng)射擊比賽，每位選手各有n個(gè)射擊目標(biāo)，他們擊中每一個(gè)目標(biāo)的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ，且相互獨(dú)立．甲選手依次對(duì)所有n個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，且每擊中一個(gè)目標(biāo)可獲得1顆星；乙選手按規(guī)定的順序依次對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中一個(gè)目標(biāo)后可繼續(xù)對(duì)下一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊直至有目標(biāo)未被擊中時(shí)為止，且每擊中一個(gè)目標(biāo)可獲得2顆星．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，分別求甲、乙兩位選手各擊中3個(gè)目標(biāo)的概率；
(2)若累計(jì)獲得星數(shù)多的選手獲勝，討論甲、乙兩位選手誰(shuí)更可能獲勝．
4．（2022春·江蘇·高三江蘇省新海高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校對(duì)男女學(xué)生是否喜歡名著閱讀進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查男女生人數(shù)均為 SKIPIF 1 < 0 ，統(tǒng)計(jì)得到以下 SKIPIF 1 < 0 列聯(lián)表，經(jīng)過計(jì)算可得 SKIPIF 1 < 0
附： SKIPIF 1 < 0 .
(1)完成表格并求出 SKIPIF 1 < 0 值；
(2)①為弄清學(xué)生不喜歡名著閱讀的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不喜歡名著閱讀的學(xué)生中隨機(jī)抽取9人，再?gòu)倪@9人中抽取3人進(jìn)行面對(duì)面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；
②將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，記其中對(duì)名著閱讀喜歡的人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望.
5．（2022春·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種消毒液，為測(cè)試消殺效果，測(cè)試車間用該消毒液對(duì)8個(gè)染菌不銹鋼載片進(jìn)行測(cè)試：第一輪測(cè)試，逐一對(duì)著8個(gè)載片進(jìn)行消殺檢測(cè)，若檢測(cè)出不超過1個(gè)載片沒有消殺效果，則該消毒液合格，測(cè)試結(jié)束；否則，10分鐘后對(duì)沒有產(chǎn)生消殺效果的載片進(jìn)行第二輪測(cè)試，如果第二輪被測(cè)試的載片都產(chǎn)生消殺效果，則消毒液合格，否則需要對(duì)該消毒成分進(jìn)行改良．假設(shè)每個(gè)染菌載片是否產(chǎn)生消殺效果相互獨(dú)立，每次消殺檢測(cè)互不影響，且每次消殺檢測(cè)每一個(gè)染菌片產(chǎn)生效果的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求經(jīng)過第一輪測(cè)試該消毒液即合格的概率；
(2)每進(jìn)行一次載片測(cè)試視為一次檢測(cè)，設(shè)檢測(cè)次數(shù) SKIPIF 1 < 0 的數(shù)學(xué)期望為 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．某工廠對(duì)一批零件進(jìn)行抽樣檢測(cè)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知每個(gè)零件是次品的概率均為 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若從這批零件中抽取2個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，求其中次品數(shù) SKIPIF 1 < 0 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)現(xiàn)對(duì)這批零件抽取100個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，若其中次品數(shù)多于3個(gè)，則這批零件為不合格產(chǎn)品．估算這批零件為不合格產(chǎn)品的概率（精確到 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行 SKIPIF 1 < 0 至5小時(shí)的中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng).已知 SKIPIF 1 < 0 社區(qū)有 SKIPIF 1 < 0 的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)， SKIPIF 1 < 0 社區(qū)有 SKIPIF 1 < 0 的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)， SKIPIF 1 < 0 社區(qū)有 SKIPIF 1 < 0 的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)，且 SKIPIF 1 < 0 三個(gè)社區(qū)的居民人數(shù)之比為 SKIPIF 1 < 0 .
(1)從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過5小時(shí)的概率；
(2)假設(shè)這三個(gè)社區(qū)每名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 （單位：小時(shí)），且 SKIPIF 1 < 0 .現(xiàn)從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率.
8．（2022·四川成都·成都七中?？家荒＃┬鹿诜窝资墙倌陙砣祟愒庥龅挠绊懛秶顝V的全球性大流行病毒.對(duì)前所未知、突如其來、來勢(shì)洶洶的疫情天災(zāi)，習(xí)近平總書記親自指揮、親自部署，強(qiáng)調(diào)把人民生命安全和身體健康放在第一位.明確堅(jiān)決打贏疫情防控的人民戰(zhàn)爭(zhēng)、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn).當(dāng)前，新冠肺炎疫情防控形勢(shì)依然復(fù)雜嚴(yán)峻.為普及傳染病防治知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的疾病防范意識(shí)，提高自身保護(hù)能力，市團(tuán)委在全市學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個(gè)人衛(wèi)生相關(guān)知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽（滿分100分），競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：得分在[70，80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其它學(xué)生不得獎(jiǎng).為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布表.
(1)從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，求這2名學(xué)生恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；
(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 ，若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生人數(shù)特別多）隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?4分以上的學(xué)生人數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，求隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在某生態(tài)系統(tǒng)中，有甲、乙兩個(gè)種群，兩種群之間為競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系．設(shè)t時(shí)刻甲、乙種群的數(shù)量分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （起始時(shí)刻為 SKIPIF 1 < 0 ）．由數(shù)學(xué)家Ltka和Vlterra提出的模型是函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 滿足方程 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中a，b，c，d均為非負(fù)實(shí)數(shù)．
(1)下圖為沒有乙種群時(shí)，一段時(shí)間內(nèi)甲種群數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系折線圖．為預(yù)測(cè)甲種群的數(shù)量變化趨勢(shì)，研究人員提出了兩種可能的數(shù)學(xué)模型：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，其中m，n均為大于1的正數(shù)．根據(jù)折線圖判斷，應(yīng)選用哪種模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，并說明理由．
(2)設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
①函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)性；
②根據(jù)①中的結(jié)論說明：在絕大多數(shù)情況下，經(jīng)過充分長(zhǎng)的時(shí)間后，或者甲種群滅絕，或者乙種群滅絕．
注：在題設(shè)條件下，各種群數(shù)量均有上限值．
10．（2022·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測(cè)）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
(2)經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差 SKIPIF 1 < 0 的近似值為50，根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程 SKIPIF 1 < 0 近似地服從正態(tài)分布 SKIPIF 1 < 0 （用樣本平均數(shù) SKIPIF 1 < 0 和標(biāo)準(zhǔn)差 SKIPIF 1 < 0 分別作為 SKIPIF 1 < 0 的近似值），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程 SKIPIF 1 < 0 的概率；
（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標(biāo)有數(shù)字0?1?2?3?……?20）移動(dòng)，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”（第19格），則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營(yíng)”（第20格），則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是 SKIPIF 1 < 0 ，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動(dòng)一次：若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格（從 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ；若擲出反面，遙控車向前移動(dòng)兩格（從 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ），直到遙控車移到“勝利大本營(yíng)”或“微笑大本營(yíng)”時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第 SKIPIF 1 < 0 格的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，試證明 SKIPIF 1 < 0 是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到 SKIPIF 1 < 0 萬元）.
11．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若某項(xiàng)賽事有16個(gè)隊(duì)伍參加，分成4個(gè)小組，記為1，2，3，4組，每個(gè)小組有1個(gè)一檔球隊(duì)，記為A，1個(gè)二檔球隊(duì)，記為B，2個(gè)三檔球隊(duì)，分別記為C，D．一檔隊(duì)伍勝三檔隊(duì)伍的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，二檔隊(duì)伍勝三檔隊(duì)伍的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，一檔隊(duì)伍勝二檔隊(duì)伍的概率為 SKIPIF 1 < 0 ，同檔隊(duì)伍之間比賽勝對(duì)方的概率為 SKIPIF 1 < 0 ．比賽采取單場(chǎng)淘汰制，勝者進(jìn)入下一輪，直至進(jìn)入決賽決出冠軍，對(duì)陣關(guān)系圖如下所示，第一輪一、二檔球隊(duì)都是對(duì)陣三檔球隊(duì)．
(1)分別求一、二、三檔球隊(duì)從小組勝出的概率；
(2)已知A1進(jìn)決賽的概率約為 SKIPIF 1 < 0 ，B1進(jìn)決賽的概率約為 SKIPIF 1 < 0 ，求一檔球隊(duì)奪冠的概率．
12．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）教育部印發(fā)的《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，自2022年秋季開始，勞動(dòng)課將成為中小學(xué)一門獨(dú)立課程．消息一出，“中小學(xué)生學(xué)做飯”等相關(guān)話題引發(fā)大量網(wǎng)友關(guān)注，兒童廚具也迅速走俏．這類兒童廚具并不是指?jìng)鹘y(tǒng)意義上的“過家家”，而是真鍋真鏟真爐灶，能讓孩子煎炒烹炸，把飯菜做熟了吃下肚的“真煮”兒童廚具．一家廚具批發(fā)商從2022年5月22日起，每10天就對(duì)“真煮”兒童廚具的銷量統(tǒng)計(jì)一次，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示．
(1)從這7次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2次，求這2次的銷量之和超過21千件的概率．
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若具有，試求出y關(guān)于x的線性回歸方程；若不具有，請(qǐng)說明理由．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
附：線性回歸方程 SKIPIF 1 < 0 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，相關(guān)系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)
A
240
20
B
210
30
SKIPIF 1 < 0
0.100
0.050
0.010
SKIPIF 1 < 0
2.706
3.841
6.635
樣本號(hào)ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積 SKIPIF 1 < 0
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量 SKIPIF 1 < 0
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
不夠良好
良好
病例組
40
60
對(duì)照組
10
90
SKIPIF 1 < 0
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
競(jìng)賽得分
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
頻率
0．1
0．1
0．3
0．3
0．2
SKIPIF 1 < 0
0．00
0．01
0．02
0．03
0．04
0．05
0．06
0．07
0．08
0．09
0．0
0．5000
0．5040
0．5080
0．5120
0．5160
0．5199
0．5239
0．5279
0．5319
0．5359
0．1
0．5398
0．5438
0．5478
0．5517
0．5557
0．5596
0．5636
0．5675
0．5714
0．5753
0．2
0．5793
0．5832
0．5871
0．5910
0．5948
0．5987
0．6026
0．6064
0．6103
0．6141
0．3
0．6179
0．6217
0．6255
0．6293
0．6331
0．6368
0．6404
0．6443
0．6480
0．6517
0．4
0．6554
0．6591
0．6628
0．6664
0．6700
0．6736
0．6772
0．6808，
0．6844
0．6879
0．5
0．6915
0．6950
0．6985
0．7019
0．7054
0．7088
0．7123
0．7157'
0．7190
0．7224
時(shí)間t（月）
2
3
4
5
6
參與活動(dòng)的人數(shù)y（萬人）
0．5
0．6
1
1．4
1．7
報(bào)價(jià)X（單位：元）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
頻數(shù)
20
60
60
30
20
10
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
相關(guān)性
弱
一般
強(qiáng)
平均溫度 SKIPIF 1 < 0
21
23
25
27
29
31
33
平均產(chǎn)卵數(shù) SKIPIF 1 < 0 /個(gè)
7
11
21
24
66
115
325
SKIPIF 1 < 0
1．9
2．4
3．0
3．2
4．2
4．7
5．8
參考數(shù)據(jù)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
5215
17713
717
81．3
3．6
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼x
1
2
3
4
5
6
7
8
生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)y
166
188
220
249
286
331
389
463
質(zhì)量指標(biāo)值
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
優(yōu)等品
非優(yōu)等品
合計(jì)
甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量
合計(jì)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
k
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
性別
鍛煉
不經(jīng)常
經(jīng)常
女生
40
60
男生
20
80
SKIPIF 1 < 0
0．010
0．005
0．001
SKIPIF 1 < 0
6．635
7．879
10．828
患病
未患病
總計(jì)
沒服用藥
20
30
50
服用藥
x
y
50
總計(jì)
M
N
100
P（K2≥k）
0．10
0．05
0．010
0．001
k
2．706
3．841
6．635
10．828
男生
女生
合計(jì)
喜歡
SKIPIF 1 < 0
不喜歡
SKIPIF 1 < 0
合計(jì)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
競(jìng)賽成績(jī)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
人數(shù)
6
12
18
34
16
8
6
時(shí)間
5月22~5月31日
6月1~6月10日
6月11~6月20日
6月21~6月30日
7月1~7月10日
7月11~7月20日
7月21~7月30日
時(shí)間代碼x
1
2
3
4
5
6
7
銷量y/千件
9.4
9.6
9.9
10.1
10.6
11.1
11.4

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