2022-2023學年天津市西青區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷1.  已知向量，，若，則k的值為(    )A.  B.  C.  D. 42.  拋物線的焦點坐標是(    )A.  B.  C.  D. 3.  數(shù)列中，若，，則(    )A.  B.  C. 2 D. 4.  圓與恰有三條公切線，則實數(shù)a的值為(    )A.  B.  C.  D. 5.  橢圓與曲線C：的(    )A. 焦距相等 B. 離心率相等 C. 焦點相同 D. 曲線C是雙曲線6.  在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是(    )
A.  B.
C.  D. 7.  已知等比數(shù)列中，有，數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，且，則(    )A. 26 B. 52 C. 78 D. 1048.  若直線與圓C：相切，則
①；
②數(shù)列為等差數(shù)列；
③圓C可能經(jīng)過坐標原點；
④數(shù)列的前10項和為
以上結(jié)論正確的個數(shù)為(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 49.  如圖第1個圖案的總點數(shù)記為，第2個圖案的總點數(shù)記為，第3個圖案的總點數(shù)記為，…依此類推，第n個圖案的總點數(shù)記為，則(    )A.  B.  C.  D. 10.  設P是雙曲線與圓在第一象限的交點，、分別是雙曲線的左、右焦點，若，則雙曲線的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 11.  直線與直線垂直，則實數(shù)m的值為______.12.  已知雙曲線C：一個焦點到其漸近線的距離為，則雙曲線C的實軸長為______.13.  已知圓，則過點的最短弦所在的直線方程是______.14.  拋物線C：的焦點到準線的距離是______；若點A在拋物線C上且與焦點的距離為6，則點A的坐標為______.15.  在直三棱柱中，，D，F分別是，的中點，，則BD與AF所成角的余弦值是______.
 16.  數(shù)列的前n項和為，，數(shù)列的前n項和為，則______；______.
 17.  圓C經(jīng)過坐標原點和點，且圓心在x軸上．
求圓C的標準方程；
已知直線l：與圓C相交于A、B兩點，求弦長的值；
過點引圓C的切線，求切線的方程．
18.  已知等差數(shù)列，滿，且，，成等比數(shù)列．
求數(shù)列的通項公式；
設，記數(shù)列的前n項和為，求19.  如圖，四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD滿足，，，，E是PD的中點．
求直線AE到平面PBC距離；
求平面PDC與平面PBC夾角的余弦值．
20.  已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點
求橢圓C的標準方程；
是否存在過點的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，滿足，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：由可得，
即，
即有，解得，，
故選：
利用向量共線定理即可得出．
本題考查了空間向量的共線向量定理以及坐標運算，是基礎題．
 2.【答案】B 【解析】解：拋物線的標準方程為，，開口向上，焦點在y軸的正半軸上，
故焦點坐標為
故選：
試題分析：把拋物線的方程化為標準形式，確定開口方向和p值，即可得到焦點坐標．
本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，是基礎題．
 3.【答案】B 【解析】解：，，
，
，
則，
故選：
由，，分別取，3，4，即可得出
本題考查了數(shù)列遞推關系求通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
 4.【答案】D 【解析】解：圓與恰有三條公切線，
則兩圓外切，
圓，圓心為，半徑為2，圓，圓心為，半徑為1，
則，解得
故選：
根據(jù)已知條件，推得兩圓外切，再結(jié)合兩圓圓心與半徑之間的關系，即可求解．
本題主要考查兩圓的位置關系，屬于基礎題．
 5.【答案】A 【解析】解：時，曲線C：方程為：，
即，，且，所以曲線C為橢圓，
可得橢圓的焦距，焦點在x軸上，
橢圓C的焦距，焦點在y軸上，
所以兩個橢圓的焦點不同，焦距相同，
曲線C的離心率由參數(shù)k，所以離心率不同，
故選：
由k的范圍，可得曲線C的標準形式，判斷曲線C為橢圓，求出兩個橢圓的長半軸，短半軸及焦距的值，判斷所給命題的真假．
本題考查橢圓，雙曲線的性質(zhì)的應用，屬于基礎題．
 6.【答案】A 【解析】解：平行六面體中，






故選：
在平行六面體中，根據(jù)空間向量的加法合成法則，對向量進行線性表示即可．
本題考查了空間向量的加法運算問題，解題時應結(jié)合圖形進行解答，是基礎題目．
 7.【答案】B 【解析】解：等比數(shù)列中，，
可得，解得，
等差數(shù)列中，
則
故選：
由等比數(shù)列的中項性質(zhì)可得，再由等差數(shù)列的求和公式和中項性質(zhì)，可得所求和．
本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．
 8.【答案】C 【解析】解：因為直線與圓C：相切，所以，則，
數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，因為，，所以數(shù)列的前10項和為，又，
所以當時，圓C可能經(jīng)過坐標原點．則②③④正確．
故選：
直線與圓相切，則圓心到直接的距離等于半徑，由此得到，可判斷各選項．
本題考查直線與圓以及等差數(shù)列，考查運算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題．
 9.【答案】D 【解析】解：由題意，，當，時，，
又當，時，，

故選：
由題意可得，從而可得當，時，，再利用裂項相消求解即可．
本題考查裂項相消法求和，觀察法求數(shù)列通項，屬于中檔題．
 10.【答案】B 【解析】解：P是雙曲線與圓在第一象限的交點，
、分別是雙曲線的左、右焦點，連接，，
可得，設，，由雙曲線的定義可得，
且，，
則，，，
即有，
故選：
連接，，可得，設，，由雙曲線的定義可得，且，，解得，，可得c，a的關系式，由雙曲線的離心率公式可得所求值．
本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查圓的直徑所對的圓周角為直角的性質(zhì)，以及勾股定理和直角三角形的銳角三角函數(shù)，考查化簡運算能力，屬于中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：直線與直線垂直，
，解得
故答案為：
由兩直線互相垂直，可得兩直線系數(shù)間的關系，由此列關于m的方程求得m值．
本題考查了直線的一般式方程與直線垂直間的關系，關鍵是對垂直條件的記憶與應用，是基礎題．
 12.【答案】4 【解析】解：由雙曲線C：，
可得漸近線方程為，即，
則焦點到其漸近線的距離，，解得，
則雙曲線C的實軸長，
故答案為：
由雙曲線C：，可得漸近線方程為，利用點到直線的距離公式可得焦點到其漸近線的距離，解得
本題考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意：弦最短時，則圓心與點M的連線與直線l垂直，
圓即，圓心為：，

由點斜式整理得直線方程為：
故答案為：
由圓心與點M的連線與直線l垂直時，所截的弦長最短求解．
本題考查直線與圓的位置關系，弦長問題及直線的斜率及方程形式，考查數(shù)學用幾何法解決直線與圓的能力，是基礎題．
 14.【答案】 【解析】解：由拋物線C：，得，
焦點到準線的距離
拋物線的準線方程為，
設點，
由點A在拋物線C上且與焦點的距離為6，
，，
代入拋物線C：，得
點A的坐標為
故答案為：4；
根據(jù)拋物線的標準方程求得p的值，即可求解；
將點A到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點A到準線的距離，結(jié)合拋物線的方程，即可求解．
本題考查了拋物線的標準方程及其應用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了計算能力，屬于基礎題．
 15.【答案】 【解析】解：取BC中點E，連接AE，EF，則，
就是BD與AF所成角，

設，則，，，
與AF所成角的余弦值為：

故答案為：
取BC中點E，連接AE，EF，將BD平移到EF，則就是BD與AF所成角，利用余弦定理能求出結(jié)果．
本題考查異面直線所成角的定義及其余弦值的求法、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
 16.【答案】；  【解析】解：由，可得時，，解得；
當時，由，可得由，
兩式相減可得，
即為，
則；
，則
故答案為：；
由數(shù)列的通項與前n項和的關系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得；再由等比數(shù)列的求和公式可得
本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項公式、求和公式的運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．
 17.【答案】解：由圓C經(jīng)過坐標原點和點，且圓心在x軸上．可得圓心為，半徑為
則圓的方程為
設圓心到l的距離為d，則，
弦長
當斜率不存在時，過的直線是，顯然是圓的切線；
當斜率存在時，設切線方程為
由，解得
此時切線方程為
綜上所述，切線方程為或 【解析】求出圓的圓心與半徑，即可得到圓的方程．
利用點到直線的距離，結(jié)合半徑以及半弦長滿足勾股定理，可求弦長的值．
當斜率不存在時，過的直線是；當斜率存在時，設直線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑列式求k，則答案可求．
本題考查圓的方程的求法，直線與圓的位置關系的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬基礎題．
 18.【答案】解：設等差數(shù)列的公差為d，
由，且，，成等比數(shù)列，
可得，
即為，解得舍去，
所以；
，
則，
，
上面兩式相減可得
，
化簡可得 【解析】由等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，解方程可得公差d，進而得到所求；
求得，由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和．
本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式、求和公式的運用，以及數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
 19.【答案】解：平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
，，
又，則建立以A為原點，以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，如圖所示：

，，，E是PD的中點，則，，，，，，
則，，，，
設平面PBC的一個法向量為，
則，取，則，，
平面PBC的一個法向量為，
，且平面PBC，
平面PBC，
直線AE到平面PBC距離為點A到平面PBC的距離，
又點A到平面PBC的距離，
故直線AE到平面PBC距離為；
由得平面PBC的一個法向量為，
則，，
設平面PDC的一個法向量為，
則，取，則，，
平面PDC的一個法向量為，
設平面PDC與平面PBC夾角為，由圖形得為銳角，
，
故平面PDC與平面PBC夾角的余弦值為 【解析】由題意可得PA、AB、AD兩兩垂直，則建立以A為原點，以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，利用向量法，即可得出答案；
由得平面PBC的一個法向量為，利用向量法，即可得出答案．
本題考查直線到平面的距離和二面角、空間向量的應用，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算能力、直觀想象，屬于中檔題．
 20.【答案】解：設橢圓C的方程為，
，且經(jīng)過點，
，
解得，，，
故橢圓C的方程為
若存在直線l滿足條件，由題意直線存在斜率，設直線l的方程為，
由，得
因為直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，
設A，B兩點的坐標分別為，，
所以
整理得
解得，
又，
因為，即，
所以
即
所以，解得
因為，所以
于是存在直線l滿足條件，其方程為 【解析】先設橢圓的標準方程，將點M代入得到一個方程，根據(jù)離心率得到一個關系式，再由可得到a，b，c的值，進而得到橢圓的方程．
假設存在直線滿足條件，設直線方程為，然后與橢圓方程聯(lián)立消去y得到一元二次方程，且方程一定有兩根，故應得到k的范圍，進而可得到兩根之和、兩根之積的表達式，再由，可確定k的值，從而得解．
本題考查了橢圓的標準方程以及直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．
 

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