2022-2023學年天津市咸水沽一中高二（上）期末數學試卷1.  直線與直線垂直，則m的值(    )A. 或1 B.  C. 或 D. 2.  已知公差不為0的等差數列，滿足，，成等比數列，的前n項和為，則的值為(    )A.  B.  C. 3 D. 3.  拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是(    )A.  B. 2 C.  D. 4.  四棱錐中，設，，，，則(    )A.
B.
C.
D. 5.  已知，P，Q分別為圓與圓上的動點，A點為x軸上的動點，則的最小值是(    )A. 7
B. 8
C. 11
D. 146.  在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，點E為棱PC的中點，則點E到PB的距離為(    )A.  B.  C.  D. 7.  雙曲線的右焦點恰是拋物線的焦點F，雙曲線與拋物線在第一象限交于點，若，則雙曲線的方程為(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知橢圓的下焦點，M點在橢圓C上，線段MF與圓相切于點N，且，則橢圓C的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 9.  正整數數列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數染成紅色．先染1；再染3個偶數2，4，6；再染6后面最鄰近的5個連續(xù)奇數7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個連續(xù)偶數16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個連續(xù)奇數29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，…，則在這個紅色子數列中，由1開始的第2021個數是(    )A. 3991 B. 3993 C. 3994 D. 399710.  已知向量，，若與平行，則m的值為______.11.  隨著雙減政策的落地，小明決定利用寫完作業(yè)后的時間，進行了一次“閱讀經典”的活動，閱讀書籍共1200頁．他第一天只讀了10頁，之后采取了積極措施，從第二天起每一天閱讀的量都比前一天多10頁．這次“閱讀經典”活動小明一共進行的天數為______.12.  已知直線l：與圓相交于A，B兩點，則取最小值時直線l的方程是______.13.  已知拋物線C：，過點作傾斜角為的直線l，若l與拋物線交于B，C兩點，弦BC的中點P到x軸的距離為______.14.  點P是直線上的動點，過點P作圓的兩條切線PA和PB，A和B是切點，的最大值是，則r的值______.15.  給出下列四個命題：
①已知直線，則該直線的傾斜角為
②拋物線的準線方程為
③在等差數列中，，若的前n項和有最小值，則使時最大的自然數n的值為2022
④已知數列，若對于任意有，則實數a的取值范圍是，其中正確命題的序號為______.16.  已知圓M經過，，三點，求圓M的標準方程；
在的條件下，求過作圓M的切線l，求切線l的方程．17.  如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，，，且，E是PD中點．
求證：平面AEC；
求直線PC與平面ACE所成角的正弦值；
在線段PB上不含端點是否存在一點M，使得二面角夾角的余弦值為？若存在，確定M的位置；若不存在，說明理由．
18.  已知數列是等差數列，其前n項和公式為，數列是等比數列．，，，
求數列和的通項公式；
令，求數列的前n項和，求證：；
令，求數列的前n項和19.  橢圓的離心率，過點，左頂點為A，過點A作斜率為的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E，
求橢圓C的標準方程．
求面積取最大值時的k的值．
若P是線段AD的中點，問是否存在x軸上一定點Q，對于任意的都有，若存在求出Q點坐標，若不存在請說明理由．20.  已知數列的前n項和為，，且
求數列的通項公式；
令，求數列的前n項和
設，，其中，求
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：直線與直線垂直，
，
解得或
故選：
由兩直線垂直可得，解方程求得m的值．
本題主要考查了兩直線垂直的條件，屬于基礎題．
 2.【答案】B 【解析】解：設等差數列的公差為d，則，
，，成等比數列，
，即，
化簡得，
又，，即，

故選：
設等差數列的公差為d，則，由，，成等比數列可得，再結合等差數列的通項公式求解即可．
本題主要考查了等比數列的通項公式，屬于基礎題．
 3.【答案】A 【解析】解：拋物線的焦點坐標是，雙曲線的漸近線方程是，
所求距離為，
故選：
寫出拋物線的焦點坐標和雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離計算．
本題主要考查雙曲線和拋物線的性質，屬于中檔題．
 4.【答案】A 【解析】解：
故選：
利用空間向量的加法和減法運算法則求解即可．
本題主要考查了空間向量的線性運算，屬于基礎題．
 5.【答案】A 【解析】解：設圓：，可得圓心，半徑，
圓：可得圓心，半徑，圓關于x軸對稱圓的圓心，半徑，
連接分別將兩圓于P，，交x軸于B點，連接交圓于Q點，由對稱性可得，如圖所示：
所以，當且僅當A，B重合時取等號，
所以的最小值為7，
故選：
由圓的方程可得兩圓的圓心坐標及半徑的大小，求出圓關于x軸對稱圓的圓心和半徑，連接，與x軸的交點B，則可得，可得的最小值．
本題考查圓關于直線的對稱圓的圓心坐標及半徑，求直線的動點到動圓上點的距離的最小值問題，屬于中檔題．
 6.【答案】B 【解析】解：平面ABCD，平面ABCD，，
ABCD是直角梯形，，，，，
則，所以，，
，BD，平面PBD，所以平面PBD，又平面PBD，所以，即C到直線PB的距離是，
E是PC中點，所以E到PB的距離等于C到直線PB的距離的一半，即為
故選：
在直角梯形中證明出，然后由線面垂直的性質定理得，從而得平面PBD，得出，然后利用中點性質可得結論．
本題考查了空間中點到直線的距離計算，屬于中檔題．
 7.【答案】D 【解析】解：由拋物線的定義可得，可得，故拋物線的方程為，
將點A的坐標代入拋物線方程可得，，解得，
拋物線的焦點為，故雙曲線的左焦點為，
則，，，
則，因此，雙曲線的標準方程為
故選：
由拋物線的定義求出p的值，可得出拋物線的標準方程，進而可求得點A、F的方程，可求得雙曲線的左焦點F的坐標，利用雙曲線的定義可求得a的值，進而可求得b的值，由此可得出雙曲線的標準方程．
本題考查了雙曲線的性質，屬于中檔題．
 8.【答案】B 【解析】解：如圖所示，取橢圓的上焦點為，連接，
設圓的圓心為，半徑，
由題意，可得，所以，
所以，，
所以，而，則，
所以，所以，所以，
由橢圓的定義，可得，
在中，由勾股定理，可得，
即，化簡可得，所以，
所以橢圓的離心率
故選：
由圓E與直線FM相切，可得，的關系，結合條件求出，再由勾股定理得到a，b的關系，最后求出橢圓的離心率即可．
本題考查橢圓性質的應用及直線與圓相切的性質，屬于中檔題．
 9.【答案】D 【解析】解：設第n次染色的最后一個數字為，根據染色的最后一個數字，1，6，15，28，……，可得，
因為前n次染色數字的個數之和為…，由，可得
第2021個數是第45次染色的第個數，
則第45組第1個數為：，
故第2021個數
故選：
根據題意知，每次染成紅色的數字成等差數列，并且第n次染色的最后一個數為，共染色個，可以求出2021個．
本題考查了閱讀理解及觀察能力，由有限項歸納推理通項公式的能力，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：依題意，設為實數，
則，解得，
即m的值為
故答案為：
利用向量共線的性質，直接計算求解即可．
本題主要考查了向量共線的性質，屬于基礎題．
 11.【答案】15 【解析】解：由題意可得“閱讀經典”活動小明每天讀書頁數為等差數列，
設該等差數列為，由題意可得首項，公差，
則通項公式，
所以數列的前n項和，
設n天讀完，
則，即，，解得或，
所以，
故答案為：
由題意可得此活動每天讀書的頁數成等差數列，由題意可得等差數列的通項公式，進而求出前n項和的公式，令，可得n的值．
本題考查等差數列的通項公式及前n項和公式的應用，屬于基礎題．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
故直線l恒過點；
圓的圓心為，
，
故當取最小值時，
直線l的斜率為，
即，
故，
故直線l的方程為，
即；
故答案為：
化簡直線方程得，從而確定直線l恒過點；而圓的圓心為，從而確定當取最小值時，直線l的斜率為，從而解直線l的方程．
本題考查了直線與圓的位置關系的應用及直線恒成立問題，屬于中檔題．
 13.【答案】7 【解析】解：過點作傾斜角為的直線l，
則直線l的方程為，即，
聯(lián)立直線l與拋物線的方程，化簡整理可得，，
設，，
則，
故弦BC的中點P到x軸的距離為
故答案為：
根據已知條件，先求出直線l的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，推得，即可求解．
本題主要考查拋物線的性質，屬于基礎題．
 14.【答案】2 【解析】解：由題意作圖如下，
'
當CP垂直于直線時，最大，
，
故，
故；
故答案為：
由題意作圖，易知CP垂直于直線時，最大；結合圖象求解r的值．
本題考查了直線與圓的位置關系的應用，利用了數形結合的思想，屬于中檔題．
 15.【答案】③ 【解析】解：對于①，直線的斜率為k，傾斜角為，
則，解得傾斜角為，故①錯誤；
對于②，拋物線，即的準線方程為，故②錯誤；
對于③，等差數列中，，，
，
的前n項和有最小值，，，，
，
，
則使時，最大的自然數n的值為2022，故③正確；
對于④，數列中，，，
若對于任意，有，當時，單調遞減，
，解得，故④錯誤．
故答案為：③．
根據直線的傾斜角和斜率、拋物線、數列最值和單調性等知識點分別判斷能求出結果．
本題考查直線的傾斜角和斜率、拋物線、數列最值和單調性、差數列、等比數列等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
 16.【答案】解：由已知設圓的方程為，
由已知得，解得，，，
故圓的方程為：，
即；
設切線方程為，即，
又圓心為，半徑，
故，解得，故切線方程為，
經驗證，也是該圓的切線，
故所求切線方程為：或 【解析】設出圓的一般式方程，待定系數法求解；
設切線方程為點斜式，再利用圓心到直線的距離為半徑列方程求出k，注意驗證斜率不存在時的直線是否滿足題意．
本題考查待定系數法求圓的標準方程以及圓的切線的求法，屬于中檔題．
 17.【答案】證明：連接BD，交AC于點O，連接OE，
因為平行四邊形ABCD，所以點O為BD的中點，
又E是PD中點，所以，
因為平面AEC，平面AEC，
所以平面
解：由，，，知，
以A為坐標原點，AC，AB，AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，
所以，，，
設平面ACE的法向量為，則，即，
令，則，，所以，
設直線PC與平面ACE所成角為，則，，
故直線PC與平面ACE所成角的正弦值為

解：設，，則，
所以，
設平面ACM的法向量為，則，即，
令，則，，所以，
因為二面角夾角的余弦值為，
所以，，化簡得，
解得或，
故存在點M滿足題意，且或 【解析】連接BD，交AC于點O，連接OE，由中位線的性質可知，再利用線面平行的判定定理，得證；
以A為坐標原點建立空間直角坐標系，求得平面ACE的法向量，設直線PC與平面ACE所成角為，由，，即可得解；
設，，求得平面ACM的法向量，利用，，求出的值，即可．
本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握線面平行的判定定理，利用空間向量求線面角，二面角的方法是解題的關鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運算能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，
因為，，，，
所以得，解得，
所以；
證明：由可知，，，
所以，
所以數列的前n項和；得證．
由可知，，，
所以，
，
，
兩式相減得，
所以 【解析】設的公差為d，的公比為q，由已知列方程組求得d，q后可得通項公式；
由裂項相消法求得和可證得不等式成立；
由錯位相減法求和．
本題考查了等差數列與等比數列的通項公式以及裂項相消和錯位相減法求和問題，屬于中檔題．
 19.【答案】解：由已知，解得，
所以橢圓C的標準方程為；
設，
由得，易知，
當D為橢圓短軸頂點時最大，此時或，
從而或；
直線l方程為，代入橢圓方程得，
易知是此方程的根，另一根為，
P點橫坐標為，
在中令得，即，
設，由得，
，
所以存在滿足題意． 【解析】由已知列出關于a，b，c的方程組求解可得；
設，由，只要最大即可，此時D為短軸端點，由此計算出k值；
由直線l的方程為，求出D點坐標得中點P的坐標，再求出E點坐標，設存在滿足題意的點，用坐標表示出垂直關系后由恒等式知識得m的值．
本題考查了直線與橢圓的交點問題，直接寫出直線方程求出交點坐標，中點坐標，把垂直用坐標表示，根據恒等式知識可得結論，考査了學生的運算求解能力，屬于中檔題．
 20.【答案】解：當時，，即，
故，，
所以從第2項起，是公比為2的等比數列，
所以，
又當時，，與相等，
故；
由可知，，
，

，
故，
當時，，

其中，
設，
則，
兩式相減得：，
故，
所以 【解析】對變形后得到，，結合等比數列通項公式即可求解；
利用裂項相消法求和；
，然后分組求和即可．
本題考查了數列的遞推關系以及裂項相消和錯位相減求和計算，屬于中檔題．
 

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