2022-2023學(xué)年天津?qū)嶒炛袑W(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷1.  傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù)，則三角形數(shù)、正方形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項分別為(    )
A. 14，20 B. 15，25 C. 15，20 D. 14，252.  已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為(    )A. 4 B. 3 C. 2 D. 13.  準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(    )A.  B.  C.  D. 4.  在數(shù)列中，，，則(    )A.  B. 1 C.  D. 25.  在等比數(shù)列中，已知，，則公比(    )A.  B.  C. 2 D. 6.  已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點為若，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為(    )A.
B.
C.
D. 8.  下列求導(dǎo)運算正確的個數(shù)是個(    )
①若，則；
②若，則
③若，則
④若，則A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個9.  已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是雙曲線上第二象限內(nèi)一點，且直線與雙曲線的一條漸近線平行，的周長為9a，則該雙曲線的離心率為(    )
 A. 2 B.  C. 3 D. 10.  已知等差數(shù)列滿足：，，則______.
 11.  雙曲線的離心率為______.
 12.  設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，且，，則的通項公式______.
 13.  若函數(shù)，則______.
 14.  函數(shù)的圖象在點處的切線方程為______.
 15.  已知數(shù)列的前n項和為，則取得最小值時n的值為______；…______.
 16.  已知數(shù)列的前n項和為，滿足，
證明：是等比數(shù)列；
求數(shù)列的通項公式．
17.  已知雙曲線，拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，點為拋物線上一點．
求雙曲線的離心率和漸近線方程；
求拋物線的方程和拋物線的準(zhǔn)線方程；
若點P到拋物線的焦點的距離是5，求的值．18.  已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．
求和的通項公式；
已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和
答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：三角形數(shù)：
第一個數(shù)1，第二個數(shù)，第三個數(shù)：，
第四個數(shù)，第五個數(shù)，
正方形數(shù)：
第一個數(shù)，第二個數(shù)，第三個數(shù)：，
第四個數(shù)，第五個數(shù)，
故選：
找到規(guī)律后代入計算能求出結(jié)果．
本題考查簡單的歸納推理、三角形數(shù)和正方形數(shù)的規(guī)律等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 2.【答案】A 【解析】解：，
該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為

故選：
利用函數(shù)的解析式求出區(qū)間兩個端點的函數(shù)值；利用平均變化率公式求出該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率．
本題考查函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率公式：平均變化率
 3.【答案】D 【解析】解：由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可知拋物線是焦點在y軸正半軸上的拋物線，
設(shè)其方程為，
則其準(zhǔn)線方程為，得
該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是
故選：
由拋物線的準(zhǔn)線方程可知，拋物線是焦點在y軸正半軸上的拋物線，并求得p值，則答案可求．
本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)的計算題．
 4.【答案】A 【解析】解：，
，
，
可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
，
故選：
利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前4項，推導(dǎo)出為周期數(shù)列，從而得到的值．
本題考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的周期性，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 5.【答案】D 【解析】解：由是等比數(shù)列，得，
又，所以，即，
所以
故選：
根據(jù)是等比數(shù)列可得，結(jié)合即可求出q值．
本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】A 【解析】解：由為直徑的圓與雙曲線右支的一個交點為P可得，
因為，由雙曲線的定義可得，
所以，
由離心率可得，
所以，即，解得，
所以，
所以雙曲線的方程為：
故選：
由題意可得，再由雙曲線的定義可得的表達(dá)式，再由勾股定理可得a，c的關(guān)系，再由離心率的值求出a，c的值，進(jìn)而求出b的值，求出雙曲線的方程．
本題考查雙曲線的性質(zhì)及圓的性質(zhì)及雙曲線的求法，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】B 【解析】解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可判斷，原函數(shù)的單調(diào)性為先增后減再增，故排除AD，
又C選項，遞減區(qū)間斜率不變，故排除．
故選：
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可判斷．
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于易做題．
 8.【答案】C 【解析】解：①若，則，故①正確；
②若，則，故②正確；
③若，則，故③錯誤；
④若，則，故④正確．
正確的個數(shù)是3個．
故選：
由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則逐一分析四個命題得答案．
本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 9.【答案】A 【解析】解：由題意知，，，
解得，，
因為直線與雙曲線的一條漸近線平行，
所以，即，
，
化簡，得，即
解得
故選：
通過求解三角形列出a、b、c的關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．
本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化首項以及計算能力．
 10.【答案】 【解析】解：因為等差數(shù)列滿足，，
所以，解得，，
則
故答案為：
由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可直接求解．
本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：由雙曲線的方程可知，，
則，
則，，
即雙曲線的離心率，
故答案為：
根據(jù)雙曲線的方程，求出a，b，c，即可求出雙曲線的離心率．
本題主要考查雙曲線的離心率的計算，求出a，c是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．
 12.【答案】 【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公式為，
因為，，
所以，即，
解得或舍去，
所以，
故答案為：
根據(jù)已知條件列方程求出公比，從而可求出通項公式．
本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 13.【答案】 【解析】解：因為，
所以，
所以
故答案為：
先對函數(shù)求導(dǎo)，然后把代入即可求解．
本題主要考查導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：因為，
所以，又因為，
所以的圖象在點處的切線方程為，即
故答案為：
先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率，進(jìn)而可求切線方程．
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：，
當(dāng)時，，遞增；
當(dāng)時，，遞減．
又，，而，
所以取得最小值時n的值為9；
…
故答案為：9，
由題意可得，分別討論當(dāng)時，當(dāng)時，的單調(diào)性，計算可得所求最小值；再由…，計算可得所求值．
本題考查數(shù)列前n項和的最小值問題解法，考查分類討論思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】解：證明：，，即，
，即，
又，則數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列；
由得數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列，則，
 【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推式可得，即，利用等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)論；
由得數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列，則，即可得出答案．
本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 17.【答案】解：由雙曲線，可得，，，，漸近線方程為
由題意可得，解得，
拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為
點P到拋物線的焦點的距離是5，
，解得 【解析】由雙曲線，可得，，，即可得出e及其漸近線方程．
由題意可得，解得p，即可得出拋物線的方程與準(zhǔn)線方程．
由點P到拋物線的焦點的距離是5，利用拋物線的定義可得，解得
本題考查了雙曲線與拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：由題意得，即，解得或不合題意，舍去
，
又，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，
；
當(dāng)時，，
；
當(dāng)時，，
①，
②，
由①-②可得，
，
 【解析】由題意得，求出，q，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，即可得出答案；
，令，得到，利用裂項相消求得，令，得，利用錯位相減法求得，即可得出答案．
本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用、錯位相減法與裂項相消法求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 

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