2022-2023學(xué)年山東省青島二中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷1.  已知長(zhǎng)方體中，，若棱AB上存在點(diǎn)P，使得，則AD的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知函數(shù)，則(    )A.  B. 2 C.  D. 44.  如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為8，點(diǎn)H在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長(zhǎng)為2的正方形，P是側(cè)面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面距離等于線段PF的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是(    )A. 87
B. 88
C. 89
D. 905.  設(shè)F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F向C的一條漸近線引垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)若，則雙曲線C的離心率是(    )A.
B. 2
C.
D.
 6.  數(shù)列，滿(mǎn)足，，且，且的前n項(xiàng)和為，記，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最小值為(    )A.
B.
C.
D.
 7.  已知點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，F是拋物線的焦點(diǎn)，C是圓的圓心，則的最小值為(    )A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
 8.  在中，已知，D是邊BC上一點(diǎn)，且，，則面積的最大值為(    )A.
B.
C.
D.
 9.  已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 直線l的傾斜角是
B. 若直線m：，則
C. 點(diǎn)到直線l的距離是2
D. 過(guò)與直線l平行的直線方程是
 
 10.  若數(shù)列滿(mǎn)足，，，則稱(chēng)數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列．在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)，化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用．則下列結(jié)論成立的是(    )A.
B.
C.
D. 11.  在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓上存在點(diǎn)P，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率可能為(    )A.
B.
C.
D.
 12.  在直四棱柱中中，底面ABCD為菱形，，，P為中點(diǎn)，點(diǎn)Q滿(mǎn)足下列結(jié)論正確的是(    )A. 若，則四面體的體積為定值
B. 若平面，則的最小值為
C. 若的外心為O，則為定值2
D. 若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為13.  已知空間三點(diǎn)，，在一條直線上，則實(shí)數(shù)k的值是______.14.  如圖，是可導(dǎo)函數(shù)．直線l是曲線在處的切線，令，則______.
 15.  橢圓C：的右頂點(diǎn)為A，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為______.
 16.  對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)是關(guān)于x的方程：的實(shí)根，記，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則______，若，為的前n項(xiàng)和，則______.
 17.  已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，求的取值范圍．
18.  已知函數(shù)
求不等式的解集；
若的最小值為m，且實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，求的最小值．19.  如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
求證：直線平面
求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
20.  某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中、、、為她們刺銹最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺銹越漂亮，向按同樣的規(guī)律刺銹小正方形的擺放規(guī)律相同，設(shè)第n個(gè)圖形包含個(gè)小正方形．

求的值；
求出的表達(dá)式；
求證：當(dāng)時(shí)，21.  已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線：與共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．
求雙曲線的方程；
已知點(diǎn)P在雙曲線上，且，求的面積．22.  已知函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
設(shè)，若，，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：如圖建立坐標(biāo)系，

設(shè)，，
則，，，
，，
，，
即，所以，
當(dāng)時(shí)，所以所以
故選：
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出、，利用，求出a的范圍．
本題主要考查了空間向量的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】B 【解析】解：，
，
，
，
，
數(shù)列是以5為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
，

數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
故選：
根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列是以5為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)分組求和即可求出答案
本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題
 3.【答案】D 【解析】解：由已知得，所以，解得
故，所以D選項(xiàng)正確．
故選：
先對(duì)已知條件求導(dǎo)，求出，即可直接求
本題主要考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題．
 4.【答案】B 【解析】解：建系如圖，則，，，
作，交于M，連接PM，則，
作，交于N，則PN即為點(diǎn)P到平面距離，
設(shè)，，則，
點(diǎn)P到平面距離等于線段PF的長(zhǎng)，，
由兩點(diǎn)間距離公式可得，
化簡(jiǎn)得，，，
在中，


，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值是
故選：
建系，根據(jù)空間中兩點(diǎn)間距離公式及函數(shù)思想即可求解．
本題考查坐標(biāo)法的應(yīng)用，函數(shù)思想的應(yīng)用，屬中檔題．
 5.【答案】B 【解析】解：如圖過(guò)F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為A，延長(zhǎng)FA與另一條漸近線交于點(diǎn)所以，又因?yàn)?/span>，所以A為線段FB的中點(diǎn)，，又，
，所以
故
，
故選：
先由，得出A為線段FB的中點(diǎn)，再借助于圖象分析出其中一條漸近線對(duì)應(yīng)的傾斜角的度數(shù)，找到a，b之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．
本題是對(duì)雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】C 【解析】解：設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，
，
，
又，，
是以首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，
，，
，
令，，
的最小值為
故選：
先求出，，從而得到，判斷出，，，當(dāng)時(shí)，，從而可求出的最小值．
本題考查等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值的求解．屬中檔題．
 7.【答案】B 【解析】解：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線方程為l：，C為圓的圓心，所以C的坐標(biāo)為，過(guò)M作l的垂線，垂足為E，根據(jù)拋物線的定義可知，所以問(wèn)題求的最小值，就轉(zhuǎn)化為求的最小值，由平面幾何的知識(shí)可知，當(dāng)C，M，E在一條直線上時(shí)，此時(shí)，有最小值，最小值為，
故選：
求出拋物線的準(zhǔn)線方程，問(wèn)題求的最小值，結(jié)合拋物線的定義，就轉(zhuǎn)化為，在拋物線上找一點(diǎn)M，使M到C點(diǎn)、到拋物線準(zhǔn)線距離之和最小，利用平面幾何的知識(shí)可以求解出來(lái)．
本題考查了拋物線的定義，以及動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)定點(diǎn)距離之和最小問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
 8.【答案】B 【解析】解：因?yàn)樵?/span>中，已知，D是邊BC上一點(diǎn)，且，，
；
；
；
即：；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；

即面積的最大值為：
故選：
先根據(jù)向量的三角形法則得到；對(duì)其兩邊平方，求出bc的取值范圍即可求得結(jié)論．
本題考查的面積的求法以及向量知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及到基本不等式，屬于中檔題目．
 9.【答案】BCD 【解析】解：對(duì)A，直線l：，直線的斜率為，
所以直線的傾斜角為，故A錯(cuò)誤，
對(duì)B，直線m：的斜率為，
因?yàn)?/span>，所以?xún)蓷l直線垂直，故B正確，
對(duì)C，點(diǎn)到直線l的距離是，故C正確，
對(duì)D，的斜率為，
故過(guò)與直線l平行的直線方程是，
化簡(jiǎn)得，故D正確．
故選：
對(duì)A，根據(jù)斜率判斷即可；對(duì)B，根據(jù)直線垂直斜率之積為求解即可；對(duì)C，根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求解即可；對(duì)D，先求得的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求解即可．
本題主要考查直線的傾斜角，點(diǎn)到直線的距離公式，兩直線垂直的性質(zhì)和直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】ABC 【解析】解：因?yàn)?/span>，，，
所以，，，，，所以A正確；
，可得，
即有，故C正確；
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
…，
又…，
所以…，所以B正確；
…………，
但，所以…，所以D不正確．
故選：
根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義求出前7項(xiàng)，從而可判定選項(xiàng)A，由數(shù)列的遞推式可判斷C；然后根據(jù)遞推關(guān)系求出，從而可判斷選項(xiàng)B和
本題考查數(shù)列遞推式的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
 11.【答案】AB 【解析】解：設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓定義可得，又，
解得，，由題意可得：，
即，解得，又，
所以橢圓的離心率范圍為符合范圍的答案為AB，
故選：
由已知和橢圓定義可得，與a的關(guān)系，然后再利用焦半徑范圍即可求出離心率的范圍，進(jìn)而可以求解．
本題考查了橢圓定義以及離心率問(wèn)題，涉及到焦半徑問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】ABD 【解析】解：對(duì)于A，取，DC的中點(diǎn)分別為M，N，連接AM，AN，MN，DQ，
則，，，
因?yàn)?/span>，，
所以，，
所以Q，M，N三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)Q在MN，
因?yàn)?/span>，，所以，平面，平面，
所以平面，
所以點(diǎn)Q到平面的距離為定值，因?yàn)?/span>的面積為定值，所以四面體的體積為定值，所以A正確，

對(duì)于B，因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>平面，平面，
所以平面，又平面，，AQ，平面AMQ，
所以平面平面，
取的中點(diǎn)E，連接PE，則，，
所以，所以，B，P，E四點(diǎn)共面，
所以平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，又，所以，
所以點(diǎn)Q的軌跡為線段MN，翻折平面AMN，使其與五邊形
在同一平面，如圖，則，當(dāng)且僅當(dāng)A，Q，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為，
因?yàn)?/span>，，
所以，，
所以，在中，，，
所以，
所以，
所以，
在中，，，，
所以，
所以，即的最小值為，所以B正確，

對(duì)于C，若的外心為O，過(guò)O作于H，
因?yàn)?/span>，
所以，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D，過(guò)作，垂足為K，
因?yàn)?/span>平面，平面，
所以，因?yàn)?/span>，，平面，
所以平面，因?yàn)?/span>KQ平面，
所以，又在中，，
所以，，
在中，，，，
所以，則Q在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
在，上取點(diǎn)，，使得，
則，所以點(diǎn)Q的軌跡為圓弧，
因?yàn)?/span>，所以，
則圓弧等于，所以D正確，
故選：
對(duì)于A，取，DC的中點(diǎn)分別為M，N，由條件確定Q的軌跡，結(jié)合錐體體積公式判斷A，對(duì)于B，由條件確定Q的軌跡為MN，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離最小問(wèn)題求解；對(duì)于C，由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷，對(duì)于D，由條件確定點(diǎn)Q的軌跡為圓弧，利用弧長(zhǎng)公式求軌跡長(zhǎng)度即可判斷．
本題考查四面體的體積問(wèn)題，線面平行的性質(zhì)，三角形外心的性質(zhì)，向量數(shù)量積的運(yùn)算，軌跡弧長(zhǎng)的求解，屬中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>，，，
所以，，
因?yàn)榭臻g三點(diǎn)，，在一條直線上，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)k的值是，
故答案為：
先計(jì)算、的坐標(biāo)，利用空間向量共線定理即可求解．
本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：由圖可知，，，
又，，
則
故答案為：
由圖象可得與的值，再由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求的導(dǎo)數(shù)，則答案可求．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，是基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由對(duì)稱(chēng)性可得，
，在中，，
，，
代入橢圓方程得：，
，整理得，
離心率
故答案為：
設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由對(duì)稱(chēng)性可得，推導(dǎo)出，，由此能求出橢圓的離心率．
本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．
 16.【答案】1 506 【解析】解：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，在單調(diào)遞減，
，，，，
令，則方程化為：，
令，
則在單調(diào)遞增，
，，
由零點(diǎn)存在定理可得，，
當(dāng)，，，；
當(dāng)，，，
為的前n項(xiàng)和，則…
故答案為：1，
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，利用其單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可得出：，進(jìn)而得出令，方程化為：，令，利用函數(shù)在上的單調(diào)性及其零點(diǎn)存在定理可得，，
當(dāng)，，，可得；當(dāng)，，，可得即可得出
本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)存在定理、數(shù)列求和、分類(lèi)討論方法、換元法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
 17.【答案】解：，則
，即，
即
，，即 【解析】求出，結(jié)合均值不等式討論的值域，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得的范圍，即可得出答案．
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：，
由，得或或，
或或，或，
不等式的解集為或
由知，，
，即，
點(diǎn)到直線的距離，
的最小值為 【解析】將寫(xiě)為分段函數(shù)的形式，然后根據(jù)，利用零點(diǎn)分段法解不等式即可；
由知，然后求出點(diǎn)到直線的距離d，從而得到的最小值為
本題考查了絕對(duì)值不等式的解法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查了分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 19.【答案】證明：在直三棱柱中，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?/span>，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
則，，，，，，所以，
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)?/span>，，
所以，，即且，
取，得，，
所以，
因?yàn)?/span>，且平面，
所以平面；
解：取平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，，
所以，
因此平面與平面所成的銳二面角的余弦值為 【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)和平面的一個(gè)法向量，由數(shù)量積為零即可證明結(jié)論；
首先求得平面與平面的法向量，利用法向量的夾角求得二面角．
本題考查了線面平行的證明以及二面角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 20.【答案】解：根據(jù)題意，由題干的圖形可得：，，
，，
，
根據(jù)題意，，
，
，
，
……，
由此類(lèi)推：
則

證明：由的結(jié)論，，
當(dāng)時(shí)，，
則
又由，
故命題成立． 【解析】根據(jù)列舉法找規(guī)律，得到的值；
同樣根據(jù)列舉法找規(guī)律，根據(jù)累加法得到的表達(dá)式；
根據(jù)的結(jié)果，代入可得，利用累加法求和，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性證明不等式．
本題考查數(shù)列的求和以及實(shí)際應(yīng)用，涉及歸納推理的應(yīng)用，屬于中檔題．
 21.【答案】解：由橢圓方程可知，，，
在雙曲線上，
，
，，
雙曲線的方程；
設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，并且設(shè)，，
，
，
的面積 【解析】首先求焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用雙曲線的定義，求雙曲線方程；
結(jié)合余弦定理和雙曲線的定義，求
本題考查了橢圓與雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，，
，切點(diǎn)為，
，切線斜率，
切線方程為；
，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
，，
，，，
令，，，
在上單調(diào)遞增，且，，
，使得，即，
也即，
令，，，顯然時(shí)，，單調(diào)遞增，
，即，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，

，，都有，，得，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為 【解析】利用導(dǎo)數(shù)可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，從而可得切線方程；
問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出的最大值和的最小值，即可求出a的范圍．
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想、推理運(yùn)算能力，屬于難題．
 

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