2022-2023學年上海財經(jīng)大學附中高二（上）期末數(shù)學試卷1.  在的二項展開式中，系數(shù)最大的項為______.2.  已知球的兩個平行截面的面積分別為和，球的半徑為10，則這兩個平行截面之間的距離為______.3.  有8種不同型號的手機供4位顧客選購，每人只購一臺，則共有______種不同的選法．4.  現(xiàn)有6位教師要帶4個班級外出參加志愿者服務，要求每個班級至多兩位老師帶隊，且教師甲、乙不能單獨帶隊，則不同的帶隊方案共有______種．5.  電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到如表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)16080260200740560好評率好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值從這六類電影中隨機選取一部電影，則估計這部電影沒有獲得好評的概率為______.6.  除以17的余數(shù)為______.7.  8個男生和4個女生排成一排，要求女生不排在兩端，則4個女生排在一起的概率為______.8.  某高中已經(jīng)從高一、高二、高三3個年級中各挑選出4男5女，現(xiàn)從這27人中選出一人評選區(qū)三好學生，則此人是男生或是高二年級學生的概率是______.9.  甲乙兩隊進行一場排球比賽，采用五局三勝制即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽，已知每局甲隊勝乙隊的概率是，且各局比賽的勝負相互獨立，則最終甲隊獲勝的概率為______.10.  某興趣小組有10名學生，若從10名學生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為，且女生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對順序固定，則共有______種不同的站隊方法．11.  已知球O的表面積為，點A、B、C在球O的表面上，且，，，則球心O到平面ABC的距離為______.12.  用一根長為54的鐵絲圍成正三角形框架，其頂點為A、B、C，將半徑為6的球放置在這個框架上如圖，若M是球上任意一點，則四面體MABC體積的最大值是______.
 13.  在下列各事件中，發(fā)生可能性最大的是(    )A. 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有一枚正面朝上
B. 拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)大于2
C. 有1000張彩票，其中50張有獎，從中隨機買1張中獎
D. 一個袋子中有20個紅球8個白球，從中摸出1個球是紅球
 14.  已知，，，則事件A與B的關(guān)系是(    )A. A與B互斥不對立
B. A與B對立
C. A與B相互獨立
D. A與B既互斥又獨立15.  已知的二項展開式中，第5項與第11項的系數(shù)相等，則所有項的系數(shù)之和為(    )A.
B.
C.
D. 16.  已知，則(    )A. 128
B. 2187
C. 78125
D. 82354317.  如圖所示，已知一個半徑為6的半圓面剪去了一個三角形ABC，將剩余部分繞著直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，其中點C為半圓弧的中點，求該幾何體的表面積和體積．18.  如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個半球和一個圓柱筒組成．已知球的直徑為8cm，圓柱筒高為
求這種“浮球”的體積；
要在這樣的3000個“浮球”的表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠克，共需膠多少克？
19.  已知為正整數(shù)的二項展開式中．
若，求所有項的系數(shù)之和；
若，求展開式中的有理項的個數(shù)：
若，求系數(shù)最大的項．20.  如圖，在正三棱柱中，底面ABC的面積為，側(cè)面積為60，D是AB的中點．
求異面直線與AC所成的角的大??；
求直線與平面所成的角的大小．
21.  如圖，四棱錐的底面是矩形，平面ABCD，Q為BC的中點，且，，

求點A到平面PQD的距離；
求二面角的大??；
已知E為PD的中點，若一只螞蟻從B點出發(fā)，沿著四棱錐的表面爬行，求這只螞蟻爬到點E的最短距離結(jié)果精確到
答案和解析 1.【答案】70 【解析】解：二項式的展開式的通項公式為，，1，，8，
則展開式系數(shù)的絕對值與二項式系數(shù)相等，因為，則第5項的二項式系數(shù)最大，
即為，
所以系數(shù)最大項為，
故答案為：
求出展開式的通項公式，然后根據(jù)通項公式可知展開式系數(shù)的絕對值與二項式系數(shù)相等，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題考查了二項式定理的應用，涉及到二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】1或 【解析】解：設兩個截面圓的半徑別為，，球心到截面的距離分別為，，球的半徑為
由，得，
由，得，
如圖①所示，當球的球心在兩個平行平面的外側(cè)時，
這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之差．
即；

如圖②所示，當球的球心在兩個平行平面的之間時，
這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之和．
即
故答案為：1或
根據(jù)兩個截面圓的面積分別求出對應圓的半徑，再分析出兩個截面所存在的兩種情況，再對每一種情況分別求出兩個平行平面的距離即可．
本題考查兩個平行平面間的距離的計算，重點考查球中截面圓半徑、球半徑之間的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論思想，是中檔題．
 3.【答案】4096 【解析】解：由已知得，每位顧客都有8種選法，
所以共有種方法，
故答案為：
按分步計數(shù)原理計算可得．
本題考查了分步計數(shù)原理的應用問題，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】432 【解析】解：由于每個班級至多兩位老師帶隊，且教師甲、乙不能單獨帶隊，
所以分以下兩類情況：
①甲乙一起帶隊，則需要把其余的四位老師分成三組，共有種分法，再將四組老師分到4個班級共有種分法，
即甲乙同隊共又種；
②甲、乙分別于另外一位老師一起帶隊，先將其他四位老師分到4個班級共有種分法，再將甲、乙分別分到兩個不同的班級共有種分法；
即甲、乙不同隊共有種；
綜上可知，不同的帶隊方案共有種．
故答案為：
因甲、乙不能單獨帶隊，故分甲乙一起帶隊和甲、乙分別于另外一位老師一起帶隊兩種情況進行分類計算即可．
本題考查了排列組合的應用問題，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：總的電影部數(shù)為，
獲得好評的電影部數(shù)為，
這部電影獲得好評的概率為，
故這部電影沒有獲得好評的概率為
故答案為；
分別求得總的電影部數(shù)和獲得好評的電影部數(shù)，由古典概率和對立事件的概率公式，可得所求值．
本題考查古典概型和概率計算公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】16 【解析】解：因為，
則展開式的前25項都可以被17整除，
所以除以17的余數(shù)為，
故答案為：
因為，然后根據(jù)二項式定理展開，根據(jù)整除的性質(zhì)以及余數(shù)的求解即可求解．
本題考查了二項式定理的應用，涉及到整除的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：8個男生和4個女生排成一排，要求女生不排在兩端，
可以排男生，則總數(shù)為，
4個女生排在一起的總數(shù)為，
則4個女生排在一起的概率為，
故答案為：
由分步計數(shù)原理和古典概型計算公式，可得所求值．
本題考查古典概型和概率計算公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：設A是“選出的一人為男生”，B是“選出的一人為高二年級學生”，AB是“選出的一人是高二年級的男生”，
則，，，
所以
故答案為：
設A是“選出的一人為男生”，B是“選出的一人為高二年級學生”，AB是“選出的一人是高二年級的男生”，由古典概型公式和，計算可得所求值．
本題考查古典概型和概率計算公式，考查運算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：每局甲隊勝乙隊的概率是，且各局比賽的勝負相互獨立，
則最終甲隊獲勝的概率為
故答案為：
根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨立事件的概率公式，即可求解．
本題主要考查相互獨立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】25200 【解析】解：設10名學生中，有女生x人，男生人，
則10名學生中選取3人，恰有1名女生的概率，
整理得：，即，
因式分解可得：，
解得：或舍去或舍去，
所以10名學生中，有女生6人，男生4人，
將6名女生排成一排有種方法，再將4名男生插到7個空中有種方法，
因為男生的左右相對順序固定，而4名男生排成一排有種方法，
所以一共有，
答案為：
由已知得10名學生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可．
本題考查了排列組合的應用問題，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：球心O在平面ABC的投影為，則球心O到平面ABC的距離為，
球O的表面積為，則球O的半徑r滿足，解得，即，
則，即為的外心，

，，，由余弦定理得，
由正弦定理得，外接圓半徑，
故，故球心O到平面ABC的距離為
故答案為：
球心O到平面ABC的距離即為球心O到的外心的距離，由余弦定理求得 BC，再由正弦定理求得外接圓半徑，即可最后由勾股定理的所求距離．
本題考查點到面的距離的求法，屬基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意可得正三角形框架的邊長為18，
球在正三角形框架內(nèi)的內(nèi)切小圓的半徑，
又球的半徑，
球心到截面小圓的距離，
到底面ABC的距離的最大值為：，
四面體MABC體積的最大值是：

故答案為：
先根據(jù)題意可得正三角形框架的邊長為18，再求出球在正三角形框架內(nèi)的內(nèi)切小圓的半徑，從而可得球心到截面小圓的距離，從而得M到底面ABC的距離的最大值，再根據(jù)錐體的體積公式即可求解．
本題考查球的截面問題，四面體的體積的最值的求解，屬中檔題．
 13.【答案】A 【解析】解：對于A，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有一枚正面朝上的概率為，
對于B，拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)大于2的概率為，
對于C，有1000張彩票，其中50張有獎，從中隨機買1張中獎的概率為，
對于D，一個袋子中有20個紅球8個白球，從中摸出1個球是紅球的概率為，
則可能性最大的是A，
故選：
根據(jù)隨機事件的概率可依次判斷．
本題考查隨機事件的概率，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】A 【解析】解：因為，，，則，
則，
又，
則，則事件A與B不可能同時發(fā)生，
則事件A與B的關(guān)系為互斥但不對立，
故選：
根據(jù)題意可計算，再根據(jù)和事件的概率公式以及互斥事件、對立事件的定義可解．
本題考查和事件的概率公式以及互斥事件、對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】C 【解析】解：由題意展開式的第5項，第11項的系數(shù)分別為，
則，所以，
則二項式為，令，則展開式的所有項的系數(shù)之和為，
故選：
由由題意求出展開式的第5項，第11項的系數(shù)，然后建立方程求出n的值，然后再令即可求解．
本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎(chǔ)題．
 16.【答案】D 【解析】解：由題意可得為二項式的展開式的所有項系數(shù)之和，
則令，，
故選：
由題意可得為二項式的展開式的所有項系數(shù)之和，然后令即可求解．
本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎(chǔ)題．
 17.【答案】解：由題意可知，該幾何體為球內(nèi)部挖去兩個相同的圓錐，如圖所示：

圓錐的半徑為6，高為6，母線長為，
所以圓錐的表面積，圓錐的體積，
所以該幾何體的表面積，
該幾何體的體積 【解析】由題意可知，該幾何體為球內(nèi)部挖去兩個相同的圓錐，求出圓錐的側(cè)面積和體積，進而求出該幾何體的表面積和體積．
本題主要考查了求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積，考查了圓錐和球的側(cè)面積和體積公式，屬于中檔題．
 18.【答案】解：由題意得該幾何體由兩個半球和一個圓柱筒組成，
所以體積為一個球體體積和一個圓柱體積之和，
由球體的體積為：，
圓柱體積為：，
所以浮球的體積為：
上下半球的表面積：，
圓柱側(cè)面積：，
所以，1個浮球的表面積為，
3000個浮球的表面積為：，
因此每平方厘米需要涂膠克，
共需膠克． 【解析】由球的體積公式和圓柱的體積公式求解即可；
由球的表面積公式和圓柱的側(cè)面積公式求解出一個的表面積，然后乘以3000得總面積，按照規(guī)定再乘以即可解決問題．
本題主要考查幾何體的表面積和體積，屬于中檔題．
 19.【答案】解：因為，所以，解得，
所以二項式為，令，則所有項的系數(shù)之和為；
因為，即，
整理可得：，解得或舍去，
所以二項式為，
所以展開式的通項公式為，，1，，40，
令，解得，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，
所以展開式的有理項共有11項；
當時，設第項的系數(shù)最大，
則，且，1，，30，解得，所以，
則展開式中系數(shù)最大項為第10項，即為 【解析】利用二項式系數(shù)和公式建立方程即可求出n的值，再令即可求解；求出n的值，再求出展開式的通項公式，然后令x的指數(shù)為整數(shù)，由此即可求解；設出系數(shù)最大項，然后建立不等式組，進而可以求解．
本題考查了二項式定理的應用，涉及到求解系數(shù)最大項以及有理項等問題，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．
 20.【答案】解：在正三棱柱中，D是AB的中點，連接CD，作，
則，則建立以D為原點，以DB、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，如圖所示：
底面ABC的面積為，側(cè)面積為60，
，且，解得，，
則，，，，
，，
，，
異面直線與AC所成的角余弦值為，
故異面直線與AC所成的角的大小為；
由得，，，，
則，，，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，，
平面的一個法向量為，
設直線與平面所成的角為，
則，，
故直線與平面所成的角的大小為 【解析】由題意得連接CD，作，根據(jù)題意求出，，則建立以D為原點，以DB、DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，利用向量法，即可得出答案；
由得，，，，利用向量法，即可得出答案．
本題考查異面直線的夾角和直線與平面的夾角，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：連接AQ，

設點A到平面PQD的距離為，
因為，又因為平面ABCD，所以
因為，，，底面ABCD是矩形，
所以，，，所以，
則，，
所以，即，即得
如圖建系，，，，，

設平面APD的法向量為，設平面PDQ的法向量為，
，，
可得，即，，所以，
設二面角的平面角為，
，
所以
該螞蟻可能沿著和到達E點，故將和展開在一個平面內(nèi)，設，，

因為，，，，，
所以，，
所以，，，，
，
在中，
，
該螞蟻可能沿著和到達點，故將和展開在一個平面內(nèi)，
，，，，

在中，，
該螞蟻可能沿著矩形ABCD和到達點，故將矩形ABCD和展開在一個平面內(nèi)，
，，，，，，

在中，，
因為，
所以，
因為，，所以，
所以，
所以螞蟻從B點出發(fā)，沿著四棱錐的表面爬行，這只螞蟻爬到點E的最短距離為 【解析】應用等體積法可求點到平面距離；
建立空間直角坐標系，空間向量法求出二面角平面角；
分三種情況進行求側(cè)面展開圖求距離最小．
本題考查點到面的距離的求法，考查二面角的求法，考查最短距離問題，屬中檔題．
 

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