2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷1.  定義若向量，向量為單位向量，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.  在正方體中，有下列命題：①；②；③與的夾角為，其中正確命題的個(gè)數(shù)是(    )A. 0 B. 1 C. 2 D. 33.  圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則線段AB的垂直平分線的方程是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，P為橢圓上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓面積為，則橢圓的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知，是橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，過引的外角平分線的垂線，垂足為Q，則Q與短軸端點(diǎn)的最近距離為(    )A. 4 B. 3 C. 2 D. 16.  已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，，，記的前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是(    )A.  B.  C.  D. 7.  若數(shù)列滿足，，若對(duì)任意的正整數(shù)都有，則實(shí)數(shù)m的最大值為(    )A.  B. 1 C. 2 D. 48.  若函數(shù)的極值點(diǎn)為1，則(    )A.  B.  C. 0 D. 19.  給出下列命題，其中是假命題的是(    )A. 若A，B，C，D是空間中的任意四點(diǎn)，則有
B. 是，共線的充要條件
C. 若，共線，則
D. 對(duì)空間中的任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面10.  過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，，AO交準(zhǔn)線于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是(    )A.  B.
C. 直線軸 D. 的最小值是11.  設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則下列說法正確的有(    )A. 數(shù)列的前n項(xiàng)和為
B. 數(shù)列為遞增數(shù)列
C. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為
D. 數(shù)列的最大項(xiàng)為12.  若直線是函數(shù)圖象的一條切線，則函數(shù)可以是(    )A.  B.  C.  D. 13.  如圖，在和中，B是EF的中點(diǎn)，，，，若，則與的夾角的余弦值等于______.
 14.  直線恒過定點(diǎn)______.
 15.  設(shè)，為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為______.
 16.  若函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.
 17.  如圖，和都是邊長為2的正三角形，且它們所在平面互相垂直．平面BCD，且
設(shè)P是DE的中點(diǎn)，證明：平面
求二面角的正弦值．18.  在中，，，點(diǎn)C在直線上，若的面積為10，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．19.  已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：
求的通項(xiàng)公式；
設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20.  已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為
記，證明：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求，并求使不等式成立的最大正整數(shù)21.  已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是C的右頂點(diǎn)，，P是橢圓C上一點(diǎn)，M，N分別為線段，的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長為
求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
若不過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，且，判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．22.  已知函數(shù)
當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：由題意知
設(shè)與的夾角為，
則
又，

，
故選：
根據(jù)，利用空間向量的數(shù)量積和模的公式求解．
本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】C 【解析】解：對(duì)于①，故正確，
對(duì)于②，故②正確，
對(duì)于③，，AC，，分別為面的對(duì)角線，，與的夾角為，故錯(cuò)誤，
故選：
根據(jù)空間向量的垂直和異面直線的所成的角即可求出．
本題考查了空間向量的垂直和異面直線的所成的角，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】A 【解析】解：因?yàn)閮蓤A的圓心坐標(biāo)分別為，，那么過兩圓圓心的直線為：，
即：，與公共弦垂直且平分．
故選：
求出圓的圓心坐標(biāo)，利用兩個(gè)圓的方程公共弦的性質(zhì)，求出滿足題意的直線方程即可．
本題考查直線與圓的位置關(guān)系，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
 4.【答案】C 【解析】解：根據(jù)勾股定理得到：，即，
的內(nèi)切圓面積為，故，
根據(jù)等面積法得到：，
故，，即，解得或舍去
故選：
計(jì)算得到，，化簡得到，解得答案．
本題考查了橢圓離心率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】D 【解析】解：是焦點(diǎn)為、的橢圓上一點(diǎn)，的外角平分線，，
設(shè)的延長線交的延長線于點(diǎn)M，

，
，
，
由題意知OQ是的中位線，
，
點(diǎn)的軌跡是以O為圓心，以5為半徑的圓，
當(dāng)點(diǎn)Q與y軸重合時(shí)，Q與短軸端點(diǎn)取最近距離
故選：
根據(jù)角平分線的性質(zhì)和橢圓的定義可得OQ是的中位線，，可得Q點(diǎn)的軌跡是以O為圓心，以5為半徑的圓，由此可得選項(xiàng)．
本題主要考查橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】D 【解析】解：等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，
，
，若，則一定有，不符合，
由題意得，，
，，
…，
，
滿足的最大正整數(shù)n的值為
故選：
等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，可得，因此，，進(jìn)而判斷出結(jié)論．
本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
 7.【答案】C 【解析】解：，，
若，則，則，
則，那么可以無限的大下去，不符合題意；
若，則，則，數(shù)列是遞增數(shù)列，
又，故，
又，故與同號(hào)，則恒成立，符合題意，
故選：
由題意得，分類討論時(shí)不滿足題意，時(shí)滿足題意，即可得出答案．
本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 8.【答案】A 【解析】解：，
函數(shù)的極值點(diǎn)為1，
，
，
，
故選：
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，求出a的值；
本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．
 9.【答案】BCD 【解析】解：由向量的加法運(yùn)算，顯然A是真命題；
若，共線，則同向或反向，故B是假命題；
只有當(dāng)時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故D是假命題，
若，共線，則直線AB，CD平行或重合，故C是假命題，
故選：
根據(jù)向量的加法運(yùn)算、共線與共面的條件，即可判斷正誤．
本題考查向量的線性運(yùn)算以及共線與共面的條件，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】BCD 【解析】解：由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
準(zhǔn)線方程為，易知直線AB的斜率不為0，
設(shè)直線AB的方程為，
代入，得，
所以，
則，
所以，故A錯(cuò)誤，
因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，
所以，所以，
又，所以，
所以直線軸，所以C正確，
由題意可得，的坐標(biāo)分別為，
所以，
所以，所以B正確，
設(shè)直線AB的傾斜角為，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)取等號(hào)，所以D正確．
故選：
對(duì)于A，設(shè)直線方程代入拋物線方程中化簡寫出韋達(dá)定理，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示運(yùn)算即可；
對(duì)于B，利用數(shù)量積即可說明；
對(duì)于C，利用A，O，M三點(diǎn)共線找出關(guān)系式來說明即可；
對(duì)于D，設(shè)直線AB的傾斜角為，則表示出，利用函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．
本題主要考查直線與拋物線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
 11.【答案】ABD 【解析】解：由，得，
，即，
又，數(shù)列為以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則，可得，故AB正確；
當(dāng)時(shí)，，
，數(shù)列的最大項(xiàng)為，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：
由已知數(shù)列遞推式可得，結(jié)合，得數(shù)列為以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，可得，結(jié)合求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．
本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的確定，訓(xùn)練了利用數(shù)列的求和公式求通項(xiàng)，是中檔題．
 12.【答案】BCD 【解析】解：直線的斜率為，
由的導(dǎo)數(shù)為，即有切線的斜率小于0，故A不能選；
由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故B可以選；
由的導(dǎo)數(shù)為，而有解，故C可以選；
由的導(dǎo)數(shù)為，而，解得，故D可以選．
故選：
求得已知直線的斜率k，對(duì)選項(xiàng)中的函數(shù)分別求導(dǎo)，可令導(dǎo)數(shù)為k，解方程即可判斷結(jié)論．
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 13.【答案】 【解析】解：由題意得：
，
，
，



，
，，
與的夾角的余弦值為
故答案為：
推導(dǎo)出，從而，由，得，進(jìn)而，由此能求出與的夾角的余弦值．
本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
 14.【答案】 【解析】解：直線，即，
令，求得，可得此直線經(jīng)過定點(diǎn)，
故答案為：
把直線的方程分離參數(shù)，令參數(shù)的系數(shù)等于0，求得x、y的值，可得此直線經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題主要考查直線過定點(diǎn)問題，利用了經(jīng)過直線和直線的交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：設(shè)，m，，橢圓C：的，，，
，
由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得，
為等腰三角形，可能或，
即有，即，；
，即，舍去．
可得
故答案為：
設(shè)，m，，求得橢圓的a，b，c，e，由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得，
為等腰三角形，可能或，運(yùn)用橢圓的焦半徑公式，可得所求點(diǎn)的坐標(biāo)．
本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查分類討論思想方法，以及橢圓焦半徑公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：時(shí)，，
時(shí)，，即，
時(shí)，恒成立，此時(shí)，
時(shí)，恒成立，
令，則單調(diào)遞減，
且時(shí)，，所以，
時(shí)，恒成立，令，，則，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
所以，從而，
綜上，，
故答案為：
由題意分類討論和，然后將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題等知識(shí)，屬于中等題．
 17.【答案】解：證明：取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，AD，
是正三角形，
，
平面平面BCD，平面平面，平面ABC，
平面
平面BCD，

在中，，

又，
為等腰三角形．
是DE的中點(diǎn)，

平面BCD，
，
，

平面BCD，平面BCD，
平面
由知，，，
四邊形APDO為平行四邊形，
，

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則，，

設(shè)平面ABE的法向量為，
則，則可取
設(shè)平面ACE的法向量為，
則，則可取，

設(shè)二面角的平面角為，則，
二面角的正弦值為 【解析】取BC的中點(diǎn)O，先求出AO長度，再結(jié)合等腰三角形三線合一得出，則有，則得出結(jié)論；
在點(diǎn)O建立空間坐標(biāo)系，分別計(jì)算兩個(gè)半平面的法向量，并計(jì)算法向量的余弦值，再求解二面角的正弦值．
本題考查線面平行的判定以及利用空間向量求解二面角的正弦值，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 18.【答案】解：設(shè)點(diǎn)C在直線AB的距離為d，由題意知，，
，，
直線AB的方程為，
即，在點(diǎn)直線上，
設(shè)，，
，或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或 【解析】利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，三角形面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．
本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
 19.【答案】解：，，兩式相減得：，即，，
又當(dāng)時(shí)，有，解得：，
數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
故；
由知：，
… 【解析】由，兩式相減整理得：，，再求得，從而說明數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而求得；
先由求得，再利用分組求和法求得
本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及分組求和法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于中檔題．
 20.【答案】解：，即，
，
，

又，則，
又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
；
由得，則
①，②，
由①-②得，
，
又，
，，
是遞增數(shù)列，且，
使不等式成立的最大正整數(shù)n為 【解析】根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，即可證明結(jié)論；
利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，求解即可得出答案．
本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：，N分別為線段，的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，
，
四邊形OMPN的周長為，
，
，
，
，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
設(shè)，，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
代入，整理得，
則，
易知，，
化簡得，或舍去，直線l的方程為，即，直線l過定點(diǎn)
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)l：，
代入，解得，
由得，，解得或舍去，
此時(shí)直線l過點(diǎn)
綜上，直線l過定點(diǎn) 【解析】由三角形的中位線性質(zhì)可得四邊形OMPN的周長即為2a，橢圓的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，聯(lián)立即可得橢圓方程；
分類討論斜率存在與斜率不存在，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理可得，，再由可得k與m的關(guān)系式，將其代入直線方程可得定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，代入計(jì)算即可．
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，
則，令，則，
因?yàn)?/span>為增函數(shù)，，
所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，故，即，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
令，，
當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，
因?yàn)?/span>，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，符合題意；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，，在上單調(diào)遞增，，
①當(dāng)即時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，符合題意；
②當(dāng)即時(shí)，，
若，即時(shí)，在上恒小于等于0，
則在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，不符合題意；
若，即時(shí)，存在，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，存在，此時(shí)存在不符合題意，
所以a的取值范圍是；
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
的取值范圍是 【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷即可求解；
結(jié)合已知不等式構(gòu)造函數(shù)，然后對(duì)其求導(dǎo)，對(duì)a分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)．
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)a分類討論需要仔細(xì)，巧妙利用三角函數(shù)的有界性以及進(jìn)行分析．
 

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