2022-2023學(xué)年遼寧省大連市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷1.  若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角為(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知空間向量，，且，則(    )A. 9 B.  C. 1 D. 3.  已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，若四邊形為正方形，則橢圓C的離心率為(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知三棱錐中，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，，，則(    )A.
B.
C.
D. 5.  已知圓M的圓心在直線上，若圓M與x軸交于A，B兩點(diǎn)，圓M與y軸交于C，D兩點(diǎn)，則(    )A.
B.
C.
D.
 6.  已知一個(gè)動(dòng)圓P與兩圓和都外切，則動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為(    )A.
B.
C.
D. 7.  若四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，且，則到平面ABCD的距離為(    )A.
B.
C.
D. 8.  已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)在B的左邊，則的最小值是(    )A. 10
B. 9
C. 8
D. 59.  已知向量，，，則(    )A.
B.
C.
D. 向量，，共面
 10.  如圖，下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，則滿足的是(    )A.
B.
C.
D. 11.  已知圓C：，直線l：，則(    )A. 圓C的圓心為
B. 點(diǎn)在l上
C. l與圓C相交
D. l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為4
 12.  在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿足，其中，，則(    )A. 當(dāng)時(shí)，的最小值為
B. 當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C. 當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)P，使得
D. 當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面
 13.  已知平行六面體，，則m的值為______.
 14.  已知雙曲線的一條漸近線為，那么雙曲線的離心率為______.
 15.  已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10和20，它的側(cè)面積為，則此圓臺(tái)的母線與下底面所成角的余弦值為______.
 16.  拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：位于拋物線焦點(diǎn)處的點(diǎn)光源發(fā)出的每一束光經(jīng)拋物線反射后的反射線都與拋物線的對(duì)稱軸平行．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l：，點(diǎn)P，Q分別是C，l上的動(dòng)點(diǎn)，若Q在某個(gè)位置時(shí)，P僅存在唯一的位置使得，則滿足條件的所有的值為______.
 17.  已知雙曲線請(qǐng)從①②③中選取兩個(gè)作為條件補(bǔ)充到題中，并完成下列問題．①；②離心率為2；③與橢圓的焦點(diǎn)相同．
求C的方程；
直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，求的值．
18.  如圖，四棱錐，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為線段PB的中點(diǎn)．
證明：；
若，求直線DE與平面PCD所成角的正弦值．
19.  已知點(diǎn)在拋物線C：上，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
求拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；
求面積的最小值．20.  在某地舉辦的智能AI大賽中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形場(chǎng)地如圖，AB的長(zhǎng)為9米，AD的長(zhǎng)為18米．在AB邊上距離A點(diǎn)6米的F處有一只電子狗，在距離A點(diǎn)3米的E處放置一個(gè)機(jī)器人．電子狗的運(yùn)動(dòng)速度是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度的兩倍，如果同時(shí)出發(fā)，機(jī)器人比電子狗早到達(dá)或同時(shí)到達(dá)某點(diǎn)電子狗和機(jī)器人沿各自的直線方向到達(dá)某點(diǎn)，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，電子狗失敗，這點(diǎn)叫失敗點(diǎn)．
判斷點(diǎn)A是否為失敗點(diǎn)不用說明理由；
求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)電子狗失敗的區(qū)域面積S；
若P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)電子狗在線段FP上都能逃脫時(shí)，求的取值范圍．
21.  如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點(diǎn)．以DE為折痕將四邊形ABED折起，使A，B分別到達(dá)，，且平面平面設(shè)P為線段CE上一點(diǎn)，且，，P，F四點(diǎn)共面．
證明：平面；
求CP的長(zhǎng)；
求平面與平面CDE所成角的余弦值．
22.  已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且過的一條斜率存在且不為零的直線交C于M，N兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為
求C的方程；
設(shè)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，直線PN交x軸于點(diǎn)Q，過Q作C的一條切線，切點(diǎn)為T，證明：
答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：由直線l的方向向量是得直線l的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角是
故選：
由斜率與傾斜角，方向向量的關(guān)系求解．
本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】C 【解析】解：因?yàn)榭臻g向量，，且，
所以，解得：，
故選：
根據(jù)空間向量共線的充要條件即可求解．
本題考查空間向量共線的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】B 【解析】解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，，
因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，
所以，即，
所以
故選：
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到，，然后根據(jù)四邊形為正方形得到，化簡(jiǎn)即可得到橢圓的離心率．
本題考查橢圓的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】D 【解析】解：根據(jù)題意，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，，，
則
故選：
利用空間向量線性運(yùn)算計(jì)算即可．
本題考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】A 【解析】解：設(shè)圓M的圓心，，半徑為
過點(diǎn)M作軸，軸．

所以
由垂徑定理得：
同理：
因?yàn)?/span>，所以，，
所以
故選：
過點(diǎn)M作軸，軸．分別利用垂徑定理表示出，，即可得到答案．
本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 6.【答案】A 【解析】解：設(shè)動(dòng)圓P半徑為r，
由于動(dòng)圓P與兩圓和都外切，
且圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為2，
所以，，
即，
可知?jiǎng)訄AP圓心的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的左支，
即，，，
所以動(dòng)圓P圓心的軌跡方程為，
故選：
根據(jù)題意可得動(dòng)圓P圓心的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的左支，進(jìn)而得解．
本題考查雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】C 【解析】解：如圖，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連接，
，，
，，又O為BD的中點(diǎn)，
，又四邊形ABCD為菱形，
，又，
平面，
在平面中，過作，垂足為H，則，
又，平面ABCD，即到平面ABCD的距離為，
又，為等邊三角形，，
且和均為等邊三角形，
，，
在中，由余弦定理可得，
又，，
在中，
故選：
設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連接，結(jié)合題意可證明平面，再過作，垂足為H，則，進(jìn)而得到平面ABCD，則到平面ABCD的距離為，再根據(jù)題意求解即可．
本題考查點(diǎn)面距的求解，余弦定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 8.【答案】B 【解析】解：由題知C的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線為，如圖，作準(zhǔn)線，準(zhǔn)線，l：過定點(diǎn)，
設(shè)，，聯(lián)立，
得，即，
，
又，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
故選：
直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求得，利用定義可得，再根據(jù)基本不等式得結(jié)果．
本題考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 9.【答案】ABD 【解析】解：因?yàn)?/span>，，
所以，，所以A正確；
，故B正確；
，故C不正確；
由，所以，故選項(xiàng)D正確．
故選：
空間向量模的坐標(biāo)計(jì)算可以驗(yàn)證選項(xiàng)A，
向量坐標(biāo)減法運(yùn)算驗(yàn)證選項(xiàng)B，
兩向量數(shù)量積為0驗(yàn)證選項(xiàng)C，
利用向量共面條件驗(yàn)證選項(xiàng)
本題考查空間向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】AD 【解析】解：對(duì)于A：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，，，
故，
所以，
所以，故A正確；

對(duì)于B：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，，，
故，
所以，
所以，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于D：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，，，
故，
所以，
所以，故D正確；

對(duì)于C：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，，，，
故，
所以，
所以，故C錯(cuò)誤；

故選：
建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐個(gè)判斷即可求解．
本題考查空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．
 11.【答案】BCD 【解析】解：由，所以圓C的圓心為，半徑，A不正確；
因?yàn)?/span>時(shí)，，所以點(diǎn)在l上，B正確；
因?yàn)閳A心到的距離為，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，又點(diǎn)在l上，故l與圓C相交，C正確；
與圓心連線與直線垂直時(shí)，l被圓C截得的弦最短，最短弦長(zhǎng)為，D正確．
故選：
一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A；點(diǎn)代入直線方程可判斷B；根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)判斷C；根據(jù)與圓心連線與直線垂直時(shí)，l被圓C截得的弦最短判斷
本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】ACD 【解析】解：根據(jù)題意可知：點(diǎn)P在矩形內(nèi)部含邊界
對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
即此時(shí)線段，將矩形展開與在同一平面如圖，
的最小值為，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)P點(diǎn)軌跡為線段，又P到平面的距離不為定值，其體積不為定值，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，取BC，中點(diǎn)分別為Q，H，則，
點(diǎn)軌跡為線段QH，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則，，，
，，
，或，，Q均滿足，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為M，N，
，點(diǎn)軌跡為線段MN，
設(shè)，，
，，
，此時(shí)P與N重合，故D選項(xiàng)正確．
故選：
對(duì)于A，將矩形展開與在同一平面，再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短判斷即可；
對(duì)于B，將P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；
對(duì)于C，考慮借助向量的平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
對(duì)于D，考慮借助向量的平移將P點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
本題考查化化空間為平面思想，向量法的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題．
 13.【答案】1 【解析】
解：，所以
故答案為：
根據(jù)平行六面體的性質(zhì)和空間向量的線性運(yùn)算求m即可．
本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】2 【解析】解：雙曲線的一條漸近線方程為，
由題意可得，
即為，
，
可得
故答案為：
求出雙曲線的一條漸近線方程，由題意可得，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．
本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：

設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，母線長(zhǎng)為l，
由題意可知：，，因?yàn)樗膫?cè)面積為，
所以，解得：，
設(shè)圓臺(tái)的母線與下底面所成角為，由圖可知：，
則，
故答案為：
根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積可求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，然后利用直角三角形即可求解．
本題主要考查了圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面所成角的求法，屬于中檔題．
 16.【答案】或 【解析】解：設(shè)，易知拋物線C：焦點(diǎn)為，
Q為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)，
，，
，
，
，
，，即代入，
，
，
①當(dāng)時(shí)，，
由得，
此時(shí)方程只有一個(gè)解，滿足題意，
，
②當(dāng)時(shí)，，，
解得，代入可得，
求得，可得，
綜上所述，的值為或
故答案為：或
設(shè)，易知拋物線C：焦點(diǎn)為，Q為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)結(jié)合距離公式，可得，根據(jù)方程有唯一解列方程求解即可．
本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．
 17.【答案】解：選①②，可得，，解得，所以C的方程為；
選①③，可得，，解得，所以C的方程為；
選②③，可得，，解得，，所以C的方程為；
設(shè)，，
聯(lián)立，消掉y，整理得，
所以，
因?yàn)?/span>，
所以 【解析】選①②，可得，解得即可；選①③，可得，解得即可；選②③，可得，解得，即可；
聯(lián)立，消掉y，整理得，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式可得答案．
本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與雙曲線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】證明：連接AC，設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連接PO，如圖所示：

因?yàn)?/span>ABCD為正方形，所以，
因?yàn)?/span>平面ABCD，所以，因?yàn)?/span>，BD，PB含于面PBD，
所以平面PBD，所以；
因?yàn)榈酌?/span>ABCD為正方形，且平面ABCD，
所以BA，BC，BP兩兩垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

所以，，，，所以，，，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則，即，
令，則，設(shè)直線DE與平面PCD所成角為，由圖可知為銳角，
則，
即直線DE與平面PCD所成角的正弦值為 【解析】連接AC，設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連接PO，根據(jù)ABCD為正方形得到，再利用線面垂直得到，然后利用線面垂直的判定得出平面PBD，進(jìn)而得到線線垂直；
根據(jù)ABCD為正方形和平面ABCD可知：BA，BC，BP兩兩垂直，則建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角公式即可求解．
本題主要考查了直線與平面垂直的判定，考查了利用空間向量求直線與平面所成的角，屬于中檔題．
 19.【答案】解：將點(diǎn)代入方程，解得：
所以拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4；
設(shè)，，直線l的方程為，
聯(lián)立，消去y，整理得，所以，
因?yàn)?/span>，所以，即，即，
代入可得：，即或不符合題意，舍去
所以
所以當(dāng)時(shí)，面積有最小值 【解析】將點(diǎn)代入，直接求解；
利用“設(shè)而不求法”表示出，得到，表示出的面積，進(jìn)而求出最小值．
本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 20.【答案】解：由于，，，即機(jī)器人和電子狗同時(shí)到達(dá)點(diǎn)A，
故A是失敗點(diǎn)．
建立以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸的直角坐標(biāo)系，如圖，，

設(shè)機(jī)器人的速度為v，則電子狗的速度為2v，電子狗失敗的區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)，
可得，即，，
即失敗點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)橐?/span>為圓心，2為半徑的半圓及其內(nèi)部，
所以電子狗失敗的區(qū)域面積米
當(dāng)線段FP與中圓相切時(shí)，即，所以，
因?yàn)殡娮庸吩诰€段FP上都能逃脫時(shí)，所以
又因?yàn)?/span>，所以的取值范圍是 【解析】直接根據(jù)失敗點(diǎn)的概念即可判斷；
建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡為圓，進(jìn)而得面積；
根據(jù)臨界位置為當(dāng)線段FP與中圓相切時(shí)，即可得結(jié)果．
本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 21.【答案】證明：因?yàn)?/span>，所以折起后，
因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面
解：延長(zhǎng)AB，DE交于點(diǎn)G，沿DE為折痕將四邊形ABED折起的過程中，，，G三點(diǎn)共線，
如圖，連接FG，交CE于點(diǎn)P，則，，P，F四點(diǎn)共面．
因?yàn)?/span>E為BC的中點(diǎn)，所以B為AG的中點(diǎn)，即，
設(shè)，則，由∽，可得，即，
解得，所以
解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CD，CE所在直線為x軸，y軸，
以垂直于平面CDE且向上的方向?yàn)?/span>z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
如圖，在平面ABCD的直角坐標(biāo)系中，，平面平面CDE，
平面平面，平面，所以平面CDE，
再作，，垂足分別為R，S，，，
所以，所以，中，，即，，
所以，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是，，
所以在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)是，，所以，，
平面與平面CDE的法向量分別為，，
則，不妨取，則平面的一個(gè)法向量為，
又平面CDE的一個(gè)法向量為，
所以，
所以平面與平面CDE所成角的余弦值為 【解析】根據(jù)翻折前后的位置關(guān)系可知，，再結(jié)合線面平行的判斷定理，即可證明；
首先利用確定平面的依據(jù)，先作出點(diǎn)P，再利用三角形相似，求CP的長(zhǎng)；
首先以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面CDE的法向量，利用法向量公式求二面角的余弦值．
本題主要考查直線與平面平行的判定，平面與平面所成角的求法，空間向量法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：由題意可知的周長(zhǎng)為：，
所以，即，
設(shè)C的半焦距為c，
因?yàn)?/span>，即，
所以，即，
所以C的方程為；
證明：由知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)，
設(shè)MN的方程為，
代入C的方程有：，，
設(shè)，，則有，，
是M點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，且，
，
則直線PN的方程可表示為：，
令，得，
所以，
設(shè)直線QT的方程為，
代入C的方程有：，
當(dāng)QT與C相切時(shí)，，得，
將代入方程：，解得，
所以切點(diǎn)T的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
故軸，
所以，
又由M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，所以，
所以，所以，得證． 【解析】根據(jù)橢圓定義及的周長(zhǎng)為，可得a的值，根據(jù)即可得c的值，進(jìn)而可得橢圓C的方程；
設(shè)出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線MN的方程與橢圓聯(lián)立，求出M，N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，得出直線PN的方程，令，即可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出QT的直線方程，與橢圓聯(lián)立，令即可得QT的直線方程，進(jìn)而得Q點(diǎn)坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)相同，根據(jù)角度關(guān)系即可得到答案．
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
 

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