【主干必備】1.線段垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離_________.?2.軸對稱的性質(zhì):如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應點所連______________________.?
3.在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中,對應點所連的線段被對稱軸_____________,對應線段_________,對應角_________.?4.線段的基本性質(zhì):兩點之間,_________最短.?
【微點警示】 (1)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)都是全等變換.(2)最短路徑作圖時,常常找到對稱點,利用兩點之間,線段最短來解決.(3)求線段和最小,常常構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來解決.
【核心突破】【類型一】與平移有關(guān)的最短路徑問題【例1】(2019·荊州質(zhì)檢)如圖,荊州護城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎,河寬均為5米,從A處到達B處,須經(jīng)兩座橋:DD′,EE′(橋?qū)挷挥?,設護城河以及兩座橋都是
東西、南北方向的,A,B在東西方向上相距65米,南北方向上相距85米,恰當?shù)丶軜蚩墒笰DD′E′EB的路程最短,這個最短路程是多少米?
【自主解答】作AF⊥CD,且AF=河寬,
作BG⊥CE,且BG=河寬,連接GF,與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.由作圖法可知,AF∥DD′,AF=DD′,則四邊形AFD′D為平行四邊形,
于是AD=FD′,同理,BE=GE′,由兩點之間線段最短可知,GF最小;即當橋建于如圖所示位置時,ADD′E′EB最短.距離為 +5×2=110(米).
【類型二】與軸對稱有關(guān)的最短路徑問題【例2】(2019·中山期中)如圖,等邊△ABC中,E是AC邊的中點,AD是BC邊上的中線,P是AD上的動點,若AD=3,則EP+CP的最小值為______.?
【類型三】與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最短路徑問題【例3】(2019·臨沂郯城期中)在銳角三角形ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到△A1BC1.
(1)如圖1,當點C1在線段CA的延長線上時,求∠CC1A1的度數(shù).(2)如圖2,點E為線段AB的中點,點P是線段AC上的動點,在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中,點P的對應點是點P1,求線段EP1長度的最大值和最小值.
【明·技法】解決圖形變換中的最值問題的方法1.首先要理解平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合思想找到圖形變換前后的對應邊(角).
2.方法上一般要考慮線段的性質(zhì)――“兩點之間,線段最短”,多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.3.求線段和最小時,通常是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求解.由于所給的條件不同,解決方法和策略上有所差別.
【題組過關(guān)】1.(2019·巴彥淖爾臨河區(qū)期末)如圖,直線L是一條河,P,Q是兩個村莊.欲在L上的某處修建一個水泵站,向P,Q兩地供水,現(xiàn)有如下四種鋪設方案,圖中實線表示鋪設的管道,則所需管道最短的是(　 　)
2. (2019·武漢質(zhì)檢)在平面直角坐標系中,點A的坐標為(1,2),點B的坐標為(2,-1),點P在y軸上,當PA+PB的值最小時,P的坐標是(　 　)世紀金榜導學號A.(0,0)　B. C.(0,1)　　　D.

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