（一）函數(shù) 的圖象自身對(duì)稱
1、軸對(duì)稱
對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，
圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
推論1： 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
推論2： 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
推論3： 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
求對(duì)稱軸方法：
2、中心對(duì)稱
對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，
的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
推論： 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
推論： 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
推論： 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
求對(duì)稱中心方法：
小結(jié): 軸對(duì)稱與中心對(duì)稱的區(qū)別
軸對(duì)稱：f(a+x)= f(b-x)中，自變量系數(shù)互為相反數(shù)（內(nèi)反），函數(shù)值相等(差為零)；
中心對(duì)稱：f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自變量系數(shù)互為相反數(shù)（內(nèi)反），函數(shù)值和為定值.
（二）兩個(gè)函數(shù)的圖象相互對(duì)稱
1、函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
特別地，函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于直線x=0(y軸)軸對(duì)稱；
函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
求對(duì)稱軸方法：令a+x=b-x,得 .
2、函數(shù)y＝f(a＋x)+c與y＝－f(b－x)+d關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；
特別地，函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于點(diǎn)（0,0）（原點(diǎn)）中心對(duì)稱.
函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù).
求對(duì)稱中心方法：橫坐標(biāo)令a+x=b-x,得 ，縱坐標(biāo)y=
二． 函數(shù)的奇偶性
1. 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸（x=0）對(duì)稱．
推論：若y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a軸對(duì)稱.
2. 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱.
推論：若y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱.
三．函數(shù)的周期性
1. 定義：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期.
2. 推論：
①( ) 的周期為T.
② 的周期為
③ 的周期為
④ 的周期為
⑤ 的周期為
⑥ 的周期為
⑦ 的周期為
⑧ 的周期為
⑨ 的周期為
⑩若
= 11 \* GB2 ⑾若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于直線x＝a與x＝b軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|.
推論：偶函數(shù)滿足 周期
= 12 \* GB2 ⑿若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)（a，0）與點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|.
推論：奇函數(shù)滿足周期
= 13 \* GB2 ⒀有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心的周期T＝4|a－b|.
小結(jié)：①函數(shù)對(duì)稱性、奇偶性和周期性定義共同點(diǎn)：“對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x”；
②對(duì)稱性、周期性定義中條件，“內(nèi)反表示對(duì)稱性，內(nèi)同表示周期性”；
③定義在Ｒ上的函數(shù)，在對(duì)稱性、周期性和奇偶性這三條性質(zhì)中，只要有兩條存在，則第三條一定存在.
題型分類
1. 求函數(shù)值
例1. 設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（-0.5）
（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.
例2.偶函數(shù)y＝f(x)滿足條件f(x＋1)＝f(x－1)，且當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝3x＋，則f()的值等于( )
A．－1 B. C. D．1
解：由于偶函數(shù)y＝f(x)滿足條件f(x＋1)＝f(x－1)，，說明函數(shù)的周期為2，f(-x)=f(x) 當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝3x＋，則對(duì)于，f()=f(2+)=f(2- )=3＋=1故可知答案為D.
2．比較函數(shù)值大小
例3.若是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試比較、、的大小.
解：是以2為周期的偶函數(shù)，又在上是增函數(shù)，且，
3、求函數(shù)解析式
例4. 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當(dāng)時(shí)，f(x)=－2x+1，求當(dāng)時(shí)求f(x)的解析式.
例5．設(shè)是定義在上以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間上，求時(shí)，的解析式.
解：當(dāng)，即，
又是以2為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)，即時(shí)，
4、判斷（證明）函數(shù)性質(zhì)
例6.已知的周期為4，且等式對(duì)任意均成立，
判斷函數(shù)的奇偶性.
解：由的周期為4，得，由得
，故為偶函數(shù).
例7.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)， 試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.
例8.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，且當(dāng)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)時(shí)f(x)為增函數(shù)
解：設(shè)則
∵ f(x)在[-2，0]上是減函數(shù)∴
又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x)，類比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4
故f(x+4)=f(x) ∴ ∵ f(-x)=f(x) ∴
故當(dāng)時(shí)f(x)為增函數(shù)
例9.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，證明f(x)是周期函數(shù)
例10.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（C ）
A．偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)
C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)
例11.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足對(duì)任意x∈R都有f(2+x)=-f(x)，又當(dāng)x∈[-1,1]時(shí) f(x)=x3 ，
⑴ 證明：直線x=1是f(x)圖像的一條對(duì)稱軸；
⑵ 當(dāng)x∈[1,5]時(shí)，求函數(shù)f(x)的解析式．
判斷函數(shù)的單調(diào)性
5、確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)
例12.設(shè)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，且判斷函數(shù)圖象在區(qū)間上與軸至少有多少個(gè)交點(diǎn).
解：由題設(shè)知函數(shù)圖象關(guān)于直線和對(duì)稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得
是以10為周期的函數(shù).在一個(gè)周期區(qū)間上，
故圖象與軸至少有2個(gè)交點(diǎn).
而區(qū)間有6個(gè)周期，故在閉區(qū)間上圖象與軸至少有13個(gè)交點(diǎn).
6、求參數(shù)的值（范圍）
例13.①若函數(shù)f(x)=|x+a|，且f(x)滿足對(duì)x∈R都有f(3+x)=f(2-x)，則實(shí)數(shù)a=______．
②若函數(shù)f(x)=(x+a)3，且f(x)滿足對(duì)x∈R都有f(3+x)=-f(2-x)，則實(shí)數(shù)a=______．
例14.f(x)滿足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上單調(diào).求a的值.
例15．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的,
不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．
7. 兩個(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱性
例16.函數(shù)y＝f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象之間（D ）
A．關(guān)于直線x＝5對(duì)稱 B．關(guān)于直線x＝1對(duì)稱
C．關(guān)于點(diǎn)（5，0）對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱
解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性知函數(shù)y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)之間關(guān)于
點(diǎn)（（6－4）/2，0）即（1，0）中心對(duì)稱，故選D.
例17.求與函數(shù)y=lg(1+x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,1）成中心對(duì)稱的函數(shù)解析式.

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