2023屆北京市第一六五中學(xué)高三上學(xué)期期中教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式得到，根據(jù)題意得到，再由集合交集的概念得到結(jié)果.【詳解】由集合，解不等式得到：，又因?yàn)?/span>，根據(jù)集合交集的概念得到：，故D正確.故選：D.2．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性，以及奇偶性的定義，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：定義域?yàn)?/span>，且，故為奇函數(shù)；又當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；故A正確；對(duì)B：定義域?yàn)?/span>，且，故為偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)C：定義域?yàn)?/span>，但，故不為奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)D：定義域?yàn)?/span>，且，為奇函數(shù)；但當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：A.3．2022年6月18日，很多商場(chǎng)都在搞促銷活動(dòng)．重慶市物價(jià)局派人對(duì)5個(gè)商場(chǎng)某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格9095100105110銷售量1110865 用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線是，相關(guān)系數(shù)，則下列說法不正確的有（    ）A．變量與負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng)????????????? B．C．當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為13 D．相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為【答案】C【分析】由回歸直線可得變量線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)，可知相關(guān)性強(qiáng)，判斷A，計(jì)算樣本中心點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算求得，判斷B;將代入線性回歸直線求得的估計(jì)值，判斷C;求出相應(yīng)于點(diǎn)的殘差即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由回歸直線可得變量 線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)，可知相關(guān)性強(qiáng)，故A正確，對(duì)于B，由表中數(shù)據(jù)可得，﹐ ，故回歸直線恒過點(diǎn) ，故 ，解得，故B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，故D正確． 故選：C.4．已知向量，，若與垂直，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】由題可得，，又，即，故.故選：C.5．已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值是（    ）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】利用已知等差等比數(shù)列中的項(xiàng)求得公差公比，再計(jì)算比值即可.【詳解】由題意可知：數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+1=2，a2=1+2d=3.∵數(shù)列成等比數(shù)列，設(shè)公比為 q，則4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)共線向量和向量數(shù)量積的定義依次判斷充分性和必要性即可得到結(jié)果.【詳解】若為非零向量，且存在負(fù)數(shù)，使得，則共線且方向相反，，充分性成立；當(dāng)時(shí)，的夾角可能為鈍角，此時(shí)不存在復(fù)數(shù)，使得，必要性不成立；“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．在中，已知，那么一定是（    ）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】由兩角和的正弦公式結(jié)合正弦定理和余弦定理可求出，即可判斷的形狀.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以由正余弦定理得，化簡(jiǎn)得，所以，所以為等腰三角形.故選：B.8．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則該人最后一天走的路程為.A．24里 B．12里 C．6里. D．3里【答案】C【分析】由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由求得首項(xiàng)，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得該人最后一天走的路程．【詳解】解：記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．9．為大力提倡“厲行節(jié)約，反對(duì)浪費(fèi)”，某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：性別光盤行動(dòng)合計(jì)做不到“光盤”能做到“光盤”男451055女301545合計(jì)7525100 附表：0.100.050.012.7063.8416.635 .參照附表，得到的正確結(jié)論是（    ）A．至少有99%認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.1的前提下，推斷“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關(guān)”D．至少有90%的把握，推斷“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”【答案】D【分析】通過列聯(lián)表結(jié)合所給公示可以計(jì)算出的值，再跟附表進(jìn)行對(duì)比，即可得到結(jié)論.【詳解】由列聯(lián)表得到，則，代入=.因?yàn)?/span>，所以至少有的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關(guān)”，故D選項(xiàng)正確.故選：D10．已知是不大于的正整數(shù)，其中.若，則正整數(shù)m的最小值為（    ）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】B【分析】由已知可得到取不大于的最大正整數(shù)，分別求出的值，求和即可得解.【詳解】已知是不大于的正整數(shù)，即，且求滿足的正整數(shù)m的最小值，即取不大于的最大正整數(shù)，可知，，且，且，且，且故正整數(shù)m的最小值為24故選：B 二、填空題11．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【分析】利用除法運(yùn)算即可得，從而可知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.12．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>_________．【答案】【分析】根據(jù)定義域的求解方法即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得且，故答案為:.13．函數(shù)的最小值和最大值分別為________．【答案】；【分析】先利用三角函數(shù)的二倍角余弦將三角函數(shù)化為只有的三角函數(shù)，再令換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，求出對(duì)稱軸，求出最值.【詳解】，令，，，其對(duì)稱軸，開口向下，所以當(dāng)時(shí)，y有最大值，當(dāng)時(shí)，y有最小值，故答案為：；. 三、雙空題14．已知已知正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足，則______；______【答案】          【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)為中點(diǎn)，從而可得，結(jié)合數(shù)量積幾何意義可得.【詳解】∵，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，∴；根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得，.故答案為：，.15．已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是___________．【答案】     (1,4)     【詳解】分析:根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點(diǎn)的取法，再對(duì)應(yīng)確定二次函數(shù)零點(diǎn)的取法，即得參數(shù)的取值范圍.詳解：由題意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，由在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得.綜上，的取值范圍為.點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解． 四、解答題16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)取最大值時(shí)的取值集合；(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)，再求取得最大值時(shí)的的取值集合即可；（2）求得的單調(diào)減區(qū)間，結(jié)合題意，即可求得的最大值.【詳解】（1）由題意，得，當(dāng)取最大值時(shí)，即，此時(shí)，所以的取值集合為．（2）由，得，，，即，，所以的減區(qū)間，，當(dāng)，得是一個(gè)減區(qū)間，且，所以，所以，所以的最大值為．17．已知在中，，．(1)求A和的大??；(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，________，使存在且唯一確定，并求：①的長(zhǎng)；②邊上的中線的長(zhǎng)度；；周長(zhǎng)為；面積為．【答案】(1)；(2)答案見解析. 【分析】（1）先由特殊角的三角函數(shù)值得到，再由正弦定理的邊角變換求得，由此得到；（2）先由（1）得到，排除的選擇，再由正弦定理得到，由此可求得的值，從而得到，再利用余弦定理即可求得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得，則，由于，所以，則，故.（2）由（1）知，則，故不能選；若選，由（1）知，，則，又由正弦定理得，所以周長(zhǎng)為，解得，則，即，，故，所以在中，由余弦定理得，故，所以，；.若選，由（1）知，，則，故，解得，則，由知，，則，從而，，故，所以在中，由余弦定理得，故，所以，.18．某地區(qū)2014年至2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代號(hào)1234567人均純收入2.93.33.64.44.85.25.9 (1)由表可知與具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；(2)利用（1）中的回歸方程，預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入；(3)用（1）中所求線性回歸方程得到與對(duì)應(yīng)的人均純收入估計(jì)值，當(dāng)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值時(shí)，則將該數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從7個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，求“好數(shù)據(jù)”至少為1個(gè)的概率；附：參考數(shù)據(jù)及公式：，，，．【答案】(1)；(2)6.8萬元；(3). 【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，分別求得與，即可求得結(jié)果；（2）令，即可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意求得好數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可.【詳解】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)以及參考數(shù)據(jù)可得：，；，故，，故所求線性回歸方程為：.（2）根據(jù)（1）所求可得：，令，解得，故預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年農(nóng)村居民家庭人均純收入為萬元.（3）根據(jù)題意，結(jié)合所求線性回歸方程可得如下表格：年份2014201520162017201820192020年份代號(hào)1234567人均純收入2.93.33.64.44.85.25.92.83.33.84.34.85.35.80.100.20.100.10.1 故組數(shù)據(jù)中，“好數(shù)據(jù)”有2組，不是“好數(shù)據(jù)”的有5組，設(shè)從7個(gè)數(shù)據(jù)中任選3個(gè)，“好數(shù)據(jù)”至少為1個(gè)是事件，則.19．在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅(jiān)持開展愛國(guó)衛(wèi)生運(yùn)動(dòng)，從人居環(huán)境改善、飲食習(xí)慣、社會(huì)心理健康、公共衛(wèi)生設(shè)施等多個(gè)方面開展，特別是要堅(jiān)決杜絕食用野生動(dòng)物的陋習(xí)，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調(diào)查，隨機(jī)收集了該區(qū)居民六類日常生活習(xí)慣的有關(guān)數(shù)據(jù).六類習(xí)慣是：（1）衛(wèi)生習(xí)慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經(jīng)過數(shù)據(jù)整理，得到下表： 衛(wèi)生習(xí)慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況類膳食合理狀況類作息規(guī)律狀況類有效答卷份數(shù)380550330410400430習(xí)慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6 假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查上述六類狀況之一，各類調(diào)查是否達(dá)到良好標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機(jī)選取1份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者的概率；（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計(jì)他在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣的概率；（3）利用上述六類習(xí)慣調(diào)查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習(xí)慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習(xí)慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關(guān)系.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者“的事件為，根據(jù)古典概型求出即可；（2）設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，設(shè)事件為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣“，則（E），求出即可；（3）根據(jù)題意，寫出即可．【詳解】（1）設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者“的事件為，有效問卷共有（份，其中受訪者中膳食合理習(xí)慣良好的人數(shù)是人，故（A）；（2）設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，根據(jù)題意，可知（A），（B），（C），設(shè)事件為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣“則.所以該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣至少具備2個(gè)良好習(xí)慣的概率為0.766.（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型求概率，獨(dú)立性事件，互斥性事件求概率等，考查運(yùn)算能力和事件應(yīng)用能力，中檔題．20．已知函數(shù)．(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由；(3)求證：．【答案】(1)(2)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；理由見解析(3)證明見解析 【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)計(jì)算切線斜率，得到直線方程.（2）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于零恒成立得到證明.（3）題目轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到存在唯一實(shí)數(shù)，使得，根據(jù)單調(diào)性得到最值點(diǎn)，代換得到，再計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1），得，，，切線方程為：．（2）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．理由如下：因?yàn)?/span>，所以，，因此，，故恒成立，故在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．（3）證明“”等價(jià)于證明“”．由題意可得，，因?yàn)?/span>，再令，則，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?/span>，，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，其中．，，變化如下表所示：0極大值 所以為函數(shù)的極大值．因?yàn)楹瘮?shù)在有唯一的極大值，所以．因?yàn)?/span>，所以．設(shè)，，，故在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)?/span>，所以．所以．【點(diǎn)睛】本題參考了切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.21．對(duì)于正整數(shù)，如果個(gè)整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對(duì)于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對(duì)所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號(hào)成立的的值.(注:對(duì)于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，；(Ⅲ)證明見解析，，【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最大為，得到答案.(Ⅲ) 討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系得到，再計(jì)算，，得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時(shí)，最大為.(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”，則它至少對(duì)應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：.當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，；當(dāng)時(shí)，偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為，，奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為，故；當(dāng)時(shí)，對(duì)于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”，除了各項(xiàng)不全為的奇數(shù)拆分外，至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為的“正整數(shù)分拆”，故.綜上所述：使成立的為：或.【點(diǎn)睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力. 

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