2023屆北京市海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期12月展示數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合,則(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式求出,再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】,解得,,解得,,.故選:C.2．已知拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是2，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（    ）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】有題意可知,由焦點(diǎn)則可求出點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.【詳解】到軸的距離是2，可得，焦點(diǎn)則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.故選:B.3．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?/span>，是由和復(fù)合而成，和都是增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B不正確，對(duì)于選項(xiàng)C：在區(qū)間上為減函數(shù)，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：在區(qū)間上為減函數(shù)，故選項(xiàng)D不正確；故選：A.4．已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是，其漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)求出雙曲線方程，再根據(jù)漸近線的方程求出的值，綜合選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：由題意得：雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，漸近線方程為，，， 該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．故選：C5．己知數(shù)列，則“”是“為等比數(shù)列”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義、充分條件和必要條件的定義即可判斷.【詳解】若數(shù)列為等比數(shù)列，則可得，且數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，所以由“”不能推出“為等比數(shù)列”，不滿足充分條件，由“為等比數(shù)列”可以推出“”，滿足必要條件，所以“”是“為等比數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.6．要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（    ）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的平移滿足“左加右減，上加下減”進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得.故選：A.7．在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（    ）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問(wèn)題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.8．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面．若，則直線與平面所成的角的大小為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等積法可得到平面的距離，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?/span>平面，平面，平面， 平面，所以，，，又底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，所以，又平面，平面，所以平面， 平面，所以，設(shè)到平面的距離為，直線與平面所成的角，則，所以，，所以，所以，又，所以.故選：A.9．如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，，，則該二面角的大小為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的條件得，，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，根據(jù)圖示可求得二面角的大小.【詳解】由題意得：，，因?yàn)?/span>，所以，即，解得：，又，則，由圖示得，該二面角為為銳角，即該二面角為，故選：C.10．曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和距離之積等于定長(zhǎng)4的點(diǎn)的軌跡，以下說(shuō)法正確的是（    ）①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；③若點(diǎn)P在曲線C上，則的面積不大于2；④曲線C與曲線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】D【分析】根據(jù)題意求出曲線的方程，代入原點(diǎn)判斷①，代入可判斷②，利用三角形面積公式及正弦的有界性可判斷③，解方程組可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由題意及兩點(diǎn)間的距離公式得:，將原點(diǎn)代入驗(yàn)證，此方程不成立，故曲線不過(guò)原點(diǎn)，所以①錯(cuò);對(duì)于②，把方程中的用代換，用代換，方程不變，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故②正確;對(duì)于③，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，則的面積，所以③正確；對(duì)于④，由可得，代入，化簡(jiǎn)可得，即，解得或（舍去），故曲線與橢圓交點(diǎn)為，故④正確.故選：D 二、填空題11．復(fù)數(shù)，則___________．【答案】5【分析】由題可得，繼而可得.【詳解】由題，，則.故答案為：.12．若，則________．【答案】18【分析】對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再代入計(jì)算即可.【詳解】，.,..故答案為：18.13．已知是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則公比_______，______．【答案】     ##0.5     15【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>是各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列，所以解得或，又因?yàn)?/span>是各項(xiàng)均為正，所以，所以，故答案為：，14．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱．若，則________．【答案】##-0.875【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦公式求解即可.【詳解】由得是第一或第二象限角，若是第一限角，則，因?yàn)?/span>與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以是第二象限角，且所以；若是第二限角，則，因?yàn)?/span>與的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，所以是第一象限角，且所以；故答案為:.15．一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛300m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度CD=______m【答案】【分析】先設(shè)山的高度，根據(jù)題中條件求出，再由正弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)此山的高度，因?yàn)樵?/span>B處測(cè)得此山頂仰角為，所以，因此，在中，，故，又由題意可得，，所以，，由正弦定理可得：，即，解得.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，熟記正弦定理即可，屬于常考題型.16．設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A．若在雙曲線C上，有且只有3個(gè)不同的點(diǎn)P使得成立，則實(shí)數(shù)的值為___________．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何特征以及點(diǎn)P滿足的數(shù)量積公式，設(shè)出點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線方程和數(shù)量積公式得到關(guān)于的一元二次方程，把點(diǎn)P的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，所以設(shè)，則，所以，又因?yàn)?/span>在雙曲線上，所以因此，即在雙曲線中可知，當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；所以，有且僅有3個(gè)不同的點(diǎn)P使得成立等價(jià)于方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且①當(dāng)時(shí)，有，即；所以對(duì)應(yīng)的解為，，故符合題意；②當(dāng)時(shí)，有，；所以，即對(duì)應(yīng)的解為，，故不符合題意；綜上可知，雙曲線上有且只有3個(gè)不同的點(diǎn)P使得成立時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：聯(lián)立雙曲線方程和數(shù)量積公式得到關(guān)于的一元二次方程，把點(diǎn)P的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.由雙曲線的對(duì)稱性可知，在上時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于軸對(duì)稱，由點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是奇數(shù)可確定必是方程的根，即可求得實(shí)數(shù)的值. 三、解答題17．用下面兩個(gè)條件中的一個(gè)補(bǔ)全如下函數(shù)________________.條件①：；條件②：.(1)求的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值．【答案】(1)選①；選②；(2)選①，最大值4，最小值2；選②，最大值，最小值. 【分析】（1）利用函數(shù)解析式及特殊角三角函數(shù)值即得；（2）選①可得，利用余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)即得；選②可得，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）選①，，所以；選②，，所以；（2）選①，，由，可得，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值4，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值2；選②，，由，可得，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值.18．已知在中，，．(1)求A的大??；(2)在下列四個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度．①周長(zhǎng)為；②；③面積為；④【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析 【分析】（1）原式可化為，可得或，通過(guò)分析即可解得；（2）由（1）知，，.根據(jù)正弦定理，可推得.若選①周長(zhǎng)為，則，，然后根據(jù)余弦定理即可求得中線的長(zhǎng)；若選②，可推得，，然后根據(jù)余弦定理即可求得中線的長(zhǎng)；若選③面積為，根據(jù)面積公式可推得，，然后根據(jù)余弦定理即可求得中線的長(zhǎng)；若選④，由（1）可推得，與條件矛盾，即不存在這樣的三角形.【詳解】（1）由可得，，即，所以，所以或.當(dāng)，即時(shí)，又，所以；當(dāng)時(shí)，又，則由余弦定理知，，這與矛盾，舍去.所以，.（2）若選①，由（1）知，，.由正弦定理可得，又周長(zhǎng)為，所以，，則存在且唯一確定.設(shè)中點(diǎn)為，則，在中，有，，，由余弦定理可得，，所以，；.若選②，即，由（1）知，，.則，根據(jù)正弦定理，可得，則存在且唯一確定.設(shè)中點(diǎn)為，則，在中，有，，，由余弦定理可得，，所以，；.若選③，即面積為.由（1）知，，，則.，所以，則，所以，根據(jù)正弦定理，可得，則存在且唯一確定.設(shè)中點(diǎn)為，則，在中，有，，，由余弦定理可得，，所以，；.若選④.由（1）知，，.根據(jù)正弦定理，可得，與矛盾，所以，不存在這樣的.19．已知函數(shù).(1)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若函數(shù)對(duì)任意都有成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析 (3) 【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，求出的值，再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出切線方程的斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程即可得到答案；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得到答案；（3）若函數(shù)對(duì)任意都有成立，即可尋找區(qū)間上的最小值大于等于0，根據(jù)第二問(wèn)求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)行分類討論，即可得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?/span>，，因?yàn)?/span>，所以的正負(fù)與的一致，當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，因?yàn)?/span>，所以恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，令，即，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，即，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由（2）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，可得對(duì)任意都有成立，所以滿足題意；當(dāng)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以對(duì)于，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，可得對(duì)任意都有成立，所以滿足題意，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，又因?yàn)?/span>，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可知，所以存在有，與題干矛盾，所以不滿足題意.綜上，a的取值范圍為.20．已知橢圓的焦距為2，離心率為，點(diǎn)P為橢圓右頂點(diǎn)、F為橢圓右焦點(diǎn)．過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交橢圓于兩點(diǎn)M和N，直線和直線、分別交于A、B兩點(diǎn)．(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)請(qǐng)判斷以為直徑的圓是否過(guò)x軸上兩定點(diǎn)？若過(guò)請(qǐng)求出這兩定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)以為直徑的圓過(guò)x軸上兩定點(diǎn)，兩定點(diǎn)坐標(biāo)為，. 【分析】（1）由已知可推得，，，，即可得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先求出直線斜率不存在時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)以及以為直徑的圓的方程，得到兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).再證明當(dāng)直線斜率存在時(shí)，以及即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由已知可得，，則.又，所以，.所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）以為直徑的圓過(guò)x軸上兩定點(diǎn)，兩定點(diǎn)坐標(biāo)為，.由（1）可得，橢圓右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，可推得，.易知分別與重合，則，，此時(shí)圓心為，半徑為，圓的方程為，與軸交于兩點(diǎn)，分別為，；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，，.顯然直線與橢圓相交，聯(lián)立直線方程與橢圓的方程可得，，根據(jù)韋達(dá)定理得，.且，.又，直線方程為，代入，可得點(diǎn)坐標(biāo)為.，直線方程為，代入，可得點(diǎn)坐標(biāo)為.則，，.即，所以，則點(diǎn)在以為直徑的圓上.同理可證，所以，則點(diǎn)在以為直徑的圓上.所以，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上兩定點(diǎn)，兩定點(diǎn)坐標(biāo)為，.【點(diǎn)睛】判斷以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)時(shí)，常用向量法.聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到坐標(biāo)的關(guān)系式，根據(jù)向量數(shù)量積為0，代入相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)化簡(jiǎn)后即可得到結(jié)論. 

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