2022-2023學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線傾斜角為設(shè)，則，解得.故選：D.2．，若三向量共面，則實數(shù)（    ）A．3 B．2 C．15 D．5【答案】D【分析】利用向量共面的坐標運算進行求解即可.【詳解】∵，∴與不共線，又∵三向量共面，則存在實數(shù)m，n使即，解得．故選：D．3．在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，用空間向量計算即可.【詳解】以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，.設(shè)異面直線與所成的銳角為， ；故選：D.4．如圖，在直三棱柱中，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合向量的加法和減法運算直接化簡即可.【詳解】由題意可得.故選：B5．天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為，用數(shù)字0，1，2，3表示下雨，數(shù)字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由計算機產(chǎn)生如下20組隨機數(shù)：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估計今后三天中至少有一天下雨的概率為（    ）A．0.6 B．0.7 C．0.75 D．0.8【答案】B【分析】由已知列舉出代表今后三天都不下雨的隨機數(shù)，以及今后三天都不下雨的隨機數(shù)個數(shù)，利用古典概型和對立事件的概率求解即可．【詳解】代表今后三天都不下雨的隨機數(shù)有977，864，458，569，556，488，共6組，記“今后三天中至少有一天下雨”為事件，“今后三天都不下雨”為事件，則與為對立事件.所以，故選：B.6．甲、乙、丙三位同學(xué)獨立地解決同一個問題，已知三位同學(xué)能夠正確解決這個問題的概率分別為，則有人能夠解決這個問題的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】可先求得沒有人能解決這個問題的概率, 再根據(jù)對立事件的性質(zhì)求得有人能夠解決這個問題的概率即可.【詳解】“沒有人能解決這個問題”的概率為所以“有人能解決這個問題”的概率為故選:A【點睛】本題考查了對立事件概率的性質(zhì)及簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7．已知直線和互相平行，則實數(shù)的取值為（　　）A．或3 B． C． D．1或【答案】B【分析】利用兩直線平行的等價條件求得實數(shù)m的值.【詳解】∵兩條直線x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得 m=﹣1，故選B．【點睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時，記住以下結(jié)論，可避免討論：已知，，則， ．8．方程有兩個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點半徑為1的上半圓和表示恒過定點的直線始終有兩個公共點，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點半徑為1的上半圓，表示恒過定點的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點，如圖 圓心到直線的距離為，解得，當直線經(jīng)過時由得，當直線經(jīng)過時由得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：C. 二、多選題9．已知直線，圓，則（    ）A．的取值范圍為B．當與圓相切時，C．當與圓相切時，圓上的點到原點的最短距離為D．當與圓相切時，圓上的點到原點的最長距離為【答案】BD【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，由可知A正確；由直線與圓相切可知圓心到直線距離等于半徑，由此可構(gòu)造方程求得B正確；首先求得圓心和原點之間距離，則圓上點到原點的最短距離和最長距離分別為圓心和原點之間距離減去半徑和加上半徑，由此可知CD正誤.【詳解】圓方程可化為：，則圓心，半徑；對于A，半徑，解得：，即的取值范圍為，A錯誤；對于B，與圓相切，圓心到直線距離，解得：，B正確；對于CD，由B知：半徑，圓心到原點的距離為，圓上的點到原點的最短距離為，最長距離為，C錯誤，D正確.故選：BD.10．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是5”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（    ）A．甲與乙互斥 B．丙與丁互斥C．甲與丁相互獨立 D．乙與丙相互獨立【答案】BC【分析】直接由互斥事件的概念判斷A、B選項；計算出甲、乙、丙、丁事件的概率，由獨立事件概率公式判斷C、D選項即可.【詳解】由題意可知，兩點數(shù)和為6的所有可能為，兩點數(shù)和為7的所有可能為，甲乙丙丁，對于A選項，甲與乙可以同時發(fā)生，故選項A錯誤；對于B選項，丙與丁不可能同時發(fā)生，故選項B正確；對于C選項，（甲丁）（甲）（?。?，故選項C正確；對于D選項，（乙丙）（乙）（丙），故選項D錯誤.故選：BC.11．已知圓與直線，若直線和圓交于兩點，設(shè)的面積為，則（    ）A．直線必過定點 B．弦長最短為C．直線與圓可能沒有交點 D．的最大值為8【答案】ABD【分析】根據(jù)直線方程可得直線恒過定點，即可判斷AC，然后求得圓心到直線的距離，即可求得弦長，及的最大值.【詳解】圓的方程為，直線.令，解得，不論取何值，直線必過定點，且,則點P在圓內(nèi)，所以直線與圓一定相交，故C錯誤，A正確.圓心，設(shè)圓心到直線的距離為，當的連線垂直于直線時，，所以所以當最大時，弦長最短為.故B正確；，因為，所以時，面積的最大值為8，故D正確.故選: ABD.12．如圖，在菱形中，，沿對角線將折起，使點，之間的距離為，若分別為直線上的動點，則下列說法正確的是（    ）A．當時，點到直線的距離為B．線段的最小值為C．平面平面D．當分別為線段的中點時，與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】先證明出平面，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面，即可判斷C；以為原點，分別為軸建立坐標系，用向量法判斷選項A、B、D.【詳解】取的中點，連接.在菱形中，，所以.因為，所以，所以.又易知，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，故C正確；以為原點，分別為軸建立坐標系，則，當時，，，所以點D到直線的距離為，故A錯誤；設(shè)，由得，，當時，，故B正確；當分別為線段的中點時，設(shè)與所成的角為，所以與所成角的余弦值為，故D正確；故選：BCD 三、填空題13．從這個數(shù)中隨機取出個不同的數(shù)為，則的概率為___________.【答案】【分析】列舉出所有基本事件和滿足的基本事件，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從個數(shù)中隨機取出個數(shù)，則有，，，，，，共種情況；其中滿足的有，，，，共種情況，的概率.故答案為：.14．若直線經(jīng)過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則該直線的方程為_______．【答案】x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.【分析】討論橫截距、縱截距均為零、都不為零兩種情況，設(shè)直線方程并將點坐標代入求參數(shù)，即可寫出直線方程.【詳解】①當橫截距、縱截距均為零時，設(shè)所求的直線方程為y＝kx，將(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，此時，直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0.②當橫截距、縱截距都不為零時，設(shè)所求直線方程為，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－，此時，直線方程為x＋2y＋1＝0.綜上所述，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.故答案為：x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝015．已知棱長為的正四面體，為中點，為中點，則___________.【答案】##【分析】由向量線性運算將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為，由向量數(shù)量積的定義和運算律可直接求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：. 四、雙空題16．已知圓，點，點在圓上運動，則的中點的軌跡方程為___________；過原點的兩條直線與點的軌跡分別交于兩點，直線的斜率之積為，，為垂足，有一定點，使得為定值，則點坐標為___________.【答案】          【分析】設(shè)，，利用坐標表示出坐標，代入圓方程即可整理得到的軌跡方程；設(shè)，與圓的方程聯(lián)立可求得點坐標，由斜率乘積為可將替換為可得點坐標，由此可得直線方程，并確定過定點，由直角三角形性質(zhì)可知當為中點時，為定值，由此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，為中點，，整理得：，即，又在圓上，，整理可得：，即點的軌跡方程為：.設(shè)直線，，，由得：，又在圓上，，則；將替換為可得：，，，所在直線方程為，當時，，直線過定點，，為直角三角形，且為斜邊，當為中點時，為定值，則，定點，可使為定值.故答案為：；. 五、解答題17．已知的頂點，邊上的中線所在直線的方程為，所在直線方程為.求(1)點的坐標；(2)直線關(guān)于直線對稱的直線方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)中線和均過點，可聯(lián)立方程求得點坐標；（2）利用點關(guān)于直線對稱點的求法可求得點關(guān)于直線對稱的點，由此可得直線方程，即為所求對稱直線方程.【詳解】（1）由得：，即.（2）設(shè)關(guān)于直線對稱的點，則，解得：，，則直線方程為，即，即直線關(guān)于直線對稱的直線方程為：.18．已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）直線的方程為或．【分析】（1）由圓的性質(zhì)可得：的垂直平分線方程與直線聯(lián)立方程組求得圓心為，用兩點之間距離公式求得，即可求出圓的標準方差.（2）由圓的半徑，弦長，利用垂徑定理和勾股定理求出弦心距，再利用圓心到直線的距離為求出直線方程即可，需注意斜率不存在的情況.【詳解】（1）因為，，所以線段的中點坐標為，直線的斜率，因此線段的垂直平分線方程是：，即．圓心的坐標是方程組的解．解此方程組得：，所以圓心的坐標是．圓的半徑長，所以圓心為的圓的標準方程是．（2）因為，所以在圓內(nèi).又因為直線被圓截得的弦長為，所以圓心到直線的距離①當直線的斜率不存在時，，到的距離為，符合題意．②當直線的斜率存在時，設(shè)，即．所以，，解得，直線為：，即：綜上：直線的方程為或．【點睛】本題第一問考查了圓的標準方程，主要利用弦的垂直平分線過圓心來求圓的標準方差.第二問主要考查圓的弦長及垂徑定理，直線斜率不存在的情況容易丟掉，熟練掌握公式及定理是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.19．如圖，在直角梯形中，，，，，，.將矩形沿翻折，使得平面平面.(1)求與平面所成角的正弦值.(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可證得平面，由線面角的向量求法可求得結(jié)果；（2）根據(jù)平面，可得平面的法向量為，由面面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）平面平面，平面平面，，平面，平面，則以為原點，正方向為軸，可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，.，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，，，即直線與平面所成角的正弦值為.（2）平面，平面的一個法向量，，即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.20．第56屆世界乒乓球錦標賽于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱潮.現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得1分.(1)已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立.求甲乙兩人只需要再進行三局比賽就能結(jié)束本場比賽的概率.(2)已知某局比賽中雙方比分為，此時甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立，求該局比賽甲以獲勝的概率；【答案】(1)(2) 【分析】（1）分兩種情況討論，分后三局贏的是乙甲甲和甲乙甲求解即可；（2）說明一共打了四個球，甲贏3個，乙贏一個，分類討論即可求解.【詳解】（1）由題可知，再進行三局結(jié)束比賽，則甲必贏兩局，贏的情況分為：乙甲甲和甲乙甲，設(shè)事件“只需要再進行三局比賽就能結(jié)束本場比賽”，結(jié)合相互獨立事件公式可得：；（2）若要以獲勝，則四個球當中甲必贏3個，乙贏一個，按發(fā)球順序，以甲輸贏為標準統(tǒng)計，可分為：①贏贏輸贏；②輸贏贏贏；③贏輸贏贏.設(shè)事件“在比分為的條件下甲以獲勝”，則.21．如圖，三棱錐中，，平面平面，，.(1)求證：平面；(2)若點在線段上，直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）在中由勾股定理逆定理可得，再由已知面面垂直可得平面，則得，然后利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.【詳解】（1）證明：在中，因為，所以，所以，因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，所以平面，（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，由題意得，，，，所以，， 設(shè)點坐標為，則所以， 所以點坐標為，所以因為直線與直線所成的角為，解得. 所以點坐標為，則.設(shè)平面的法向量為則，取，可得.-再設(shè)平面的法向量為，則，取，可得.所以所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.22．如圖，在直棱柱中，底面是邊長為的菱形，，，是上的動點（不含端點）.(1)當為的中點時，求直線到平面的距離；(2)求直線和平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)平面，可將所求距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，以與的交點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用點到平面距離的向量求法可求得結(jié)果；（2）設(shè)，利用線面角的向量求法可求得，根據(jù)的范圍，結(jié)合二次函數(shù)值域求法可求得的取值范圍.【詳解】（1），平面，平面，平面，直線到平面的距離即為點到平面的距離，連接交于點，連接交于點，以為原點，正方向分別為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，，，為的中點，則，，，，則，令，解得：，，；點到平面的距離，即直線到平面的距離為.（2）設(shè)，則，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，解得：，，，設(shè)直線與平面所成角為，，，，，即直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為. 

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