命題人：湯旭紅 時(shí)長(zhǎng)：120分鐘 滿分：150分
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A.-2 B. C. D.2
3.若直線與直線互相平行，則的值是（ ）
A.-3 B.2 C.-3或2 D.3或-2
4.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則（ ）
A. B.
C. D.
5.如圖，在直三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
6.如圖，用三類(lèi)不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)正常工作且至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知正常工作（各個(gè)元件相互獨(dú)立）的概率依次是，則系統(tǒng)正常工作（ ）
D.0.9
7.在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)，線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，則這個(gè)二面角的大小為（ ）
A. B. C. D.
8.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為；過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為.利用上面的材料，解決下面的問(wèn)題：已知平面的方程為，直線的方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9.已知空間中三點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.與是共線向量
B.與同向的單位向量是
C.和夾角的余弦值是.
D.平面的一個(gè)法向量是
10.下列命題中，正確的是（ ）
A.兩條不重合直線的方向向量分別是，則
B.直線的方向向量，平面的法向量是，則
C.兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則
D.平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的距離為.
11.如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.事件與互斥 B.
C.事件與相互獨(dú)立 D.
12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面上（包含邊界）的一點(diǎn)，且平面，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B.存在點(diǎn)，使得
C.的最小值為 D.的最大值為6
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，求兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為8的概率為_(kāi)_________.
14.直線與直線之間的距離為_(kāi)_________.
15.已知直線過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)_________.
16.在長(zhǎng)方體中，，動(dòng)點(diǎn)滿足且在線段上，當(dāng)與垂直時(shí)，的值為_(kāi)_________.
四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17.（10分）直線與直線相交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）若直線，求直線的方程；
（2）若直線在坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.
18.（12分）新課標(biāo)設(shè)置后，特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)數(shù)學(xué)文化的考查，某市高二年級(jí)期末考試特命制了一套與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的期末模擬試卷，試卷滿分150分，并對(duì)整個(gè)高二年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試.現(xiàn)從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，按照成績(jī)?yōu)榉殖闪?組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（假定每名學(xué)生的成績(jī)均不低于90分）.
（1）求頻率分布直方圖中的的值，并估計(jì)所抽取的100名學(xué)生成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
（2）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績(jī)位于的兩組學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加這次考試的考情分析會(huì)，試求這組中至少有1人被抽到的概率.
19.（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，分踶的中點(diǎn).求證：
（1）四邊形為平行四邊形；
（2）平面.
20.（12分）兩人組成“龍之隊(duì)”參加知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，每輪活動(dòng)由兩人各答一題，已知每輪答對(duì)的概率為每輪答對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中，和答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.若“龍之隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中答對(duì)1個(gè)謎語(yǔ)的概率為.
（1）求的值；
（2）求“龍之隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答錯(cuò)1個(gè)題目的概率，
21.（12分）如圖所示的幾何體中，垂直于梯形所在的平面，為的中點(diǎn)，，四邊形為矩形，線段交于點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
22.（12分）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，.
（1）證明：平面平面；
（2）若，點(diǎn)滿足，且三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值.
羅定邦中學(xué)2023學(xué)年度第一學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二年級(jí)
數(shù)學(xué)科試題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
12.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則；
所以，
所以，即；
因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>又平面，所以.故正確；
設(shè)，所以，
所以，即，
所以，
解得，又，故錯(cuò)誤；
所以，故C正確；
所以，
因?yàn)?，所以時(shí)，取到最小值，
時(shí)，取到最大值6，所以.故D正確.
故選：ACD.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】
四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
17.（10分）（其他辦法也酌情按步驟給分）
【詳解】（1）聯(lián)立
得即
因?yàn)?，不妨設(shè)直線的方程為，
將點(diǎn)代入，得，
所以直線的方程為.
（2）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程是，
即
當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，
將點(diǎn)代入，得，
所以直線的方程為，即.
綜上.所述，直線的方程是或.
18.（12分）解（1）由頻率分布直方圖，
平均分為；
（2）由頻率分布直方圖得出成績(jī)位于和上的人數(shù)比為，抽取的6人中成績(jī)位于上的有4人，編號(hào)為1，2，3，4，位于上的有2人，編號(hào)為a，b，
從這6人中任取2人的基本事件有：共15個(gè)
其中這組中至少有1人被抽到的基本主件有其9個(gè)
所以所求概率為.
19.（12分）（其他辦法也酌情按步驟給分）
【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，
（1）顯然有
又四點(diǎn)不共線，所以四邊形為平行四邊形.
（2）所以，
所以，
因?yàn)槠矫?所以平面.
20.（12分）（其他辦法也酌情按步驟給分）
【解答】解：（1）“龍之隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中答對(duì)1個(gè)題目是甲答對(duì)1個(gè)題目和乙答對(duì)1個(gè)題目事件的
它們互斥，于是得.
能得，所以；
（2）由（1）知，“龍之隊(duì)”在每一輪活動(dòng)中答對(duì)1個(gè)題目的事件概率為，答對(duì)2個(gè)題目的概率為
“龍之隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中答錯(cuò)1個(gè)題目等價(jià)于答對(duì)3個(gè)題目的事件是：“第一輪答對(duì)2個(gè)，第二輪答對(duì)1個(gè)”的事件與“第一輪答對(duì)1個(gè)，第二輪答對(duì)2個(gè)”的事件的和，且它們互斥
易知，
所以兩輪中答對(duì)3個(gè)題目也就是答錯(cuò)1個(gè)題目的概率為.
21.（12分）（其他辦法也酌情按步驟給分）
解答：（1）因?yàn)樗倪呅蜳DCE為矩形，則N為PC.的中點(diǎn)，連接FN，如圖，
在中，分別為的中點(diǎn)，則有
而直線平面平面，所以平面.
（2）因平面平面，則，而，
以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
直角梯形中，，
則
，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
假定存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，
整理得，則
因?yàn)橹本€與平面所成的大小為，
所以
解得合），即點(diǎn)與重合，
所以在線段上存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為，且.
22.（12分）（其他辦法也酌情按步驟給分）
【解答】（1）為等邊三角形，
，又四邊形為梯形，，
則，
根據(jù)余弦定理可知，在中，
根據(jù)勾股定理可知，，即，
平面，
平面，
又平面平面平面.
（2）為中點(diǎn)，，
由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，
平面，
連接，則，且平面，
故，
所以PO，BD，OC兩兩垂直.以O(shè)為原點(diǎn)，以為x軸正方向，以為y軸正方向，以為z軸
正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)且，則，
由三棱錐的體積為得：
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，故，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
故.
所以平面與平面的夾角余弦值為
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
A
B
A
C
C
A
9
10
11
12
BD
AC
BD
ACD

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