2022-2023學(xué)年廣東省佛山市第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo).在一批棉花中隨機抽測了50根棉花的纖維長度(單位：mm)，其頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)頻率分布直方圖，估計事件“棉花的纖維長度大于275mm”的概率為（    ）A．0.30 B．0.48 C．0.52 D．0.70【答案】C【解析】根據(jù)直方圖計算最右邊兩個矩形的面積可得結(jié)果.【詳解】“棉花的纖維長度大于275mm”的概率為.故選：C2．如圖，在正方體中，點，分別是面對角線與的中點，若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結(jié)果.【詳解】因為點，分別是面對角線與的中點， ，，，所以故選:D.3．已知為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別判斷每組向量是否共面即可.【詳解】因為，，，所以選項ACD中的向量共面，不能作為空間的基底，對于選項B，假設(shè)共面，則存在，使得，，無解，不共面，可以作為空間的一組基底.故選：B.4．直線和，若，則與之間的距離A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，解得（舍去），，因此兩條直線方程分別化為，則與之間的距離，故選B.5．著兩條直線和的交點在第四象限，則k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立兩直線方程求出交點坐標(biāo)，根據(jù)交點在第四象限列出不等式即可求出.【詳解】聯(lián)立，可解得，因為交點在第四象限，所以，解得. 故選：A.6．在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（    ）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，，故至少需要志愿者名.故選：B【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．如圖所示，在正方體中，點E是棱上的一個動點，平面交棱于點則下列結(jié)論中錯誤的是（    ）A．存在點E，使得平面B．存在點E，使得平面C．對于任意的點E，平面平面D．對于任意的點E，四棱錐的體積均不變【答案】B【解析】當(dāng)為的中點時，則也為的中點，可證平面，判斷A是真命題；用反證法證明不存在點，使得平面，判斷B是假命題；根據(jù)對于任意的點，都有平面，判斷C是真命題；根據(jù)，而兩個三棱錐的體積為定值，判斷D是真命題．【詳解】當(dāng)E為的中點時，則F也為的中點，，平面；故A為真命題；假設(shè)平面，則在平面和平面上的射影，分別與BE，BF垂直，可得E與重合，F與重合，而B，，，四點不共面，不存在這樣的點E，故B為假命題平面，平面，平面平面，故C是真命題；，平面，四棱錐的體積為定值，故D是真命題故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直、線面平行的判定定理和性質(zhì)定理.8．已知在正方體的棱長為2，點E，F分別是直線與上的點，則線段EF長度的最小值為（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出EF長度即可求出.【詳解】以D為原點，DA，DC，所在直線分別為x抽，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故的最小值為.故選：A. 二、多選題9．己知事件A，B相互獨立，且，則（    ）A．事件A，B對立 B．事件A，B互斥 C． D．【答案】CD【分析】求出即可判斷ABC，根據(jù)和事件的概率公式可判斷D.【詳解】，故A，B錯誤，C正確；，故D正確.故選：CD.10．某高中有學(xué)生人，其中男生人，女生人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為的樣本．經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為，方差為；女生身高樣本均值為，方差為．下列說法中正確的是（    ）A．男生樣本量為 B．每個女生入樣的概率均為C．所有樣本的均值為 D．所有樣本的方差為【答案】AC【分析】由分層抽樣可判斷A；計算女生入樣的概率可判斷B；計算總體的均值可判斷C；計算總體的方差可判斷D，進(jìn)而可得正確選項.【詳解】對于A：抽樣比為，所以樣本中男生有人，故選項A正確；對于B：每個女生入樣的概率等于抽樣比，故選項B不正確；對于C：由分層抽樣知，樣本中男生有人，男生有人，所有的樣本均值為：，故選項C正確；對于D：設(shè)男生分別為，，，，平均數(shù)，，女生分別為，，，，平均數(shù)，，總體的平均數(shù)為，方差為，因為，而，所以，同理可得，所以，故選項D不正確；故選：AC11．已知三邊所在直線分別為，則（    ）A．AB邊上的高所在直線方程為 B．AB邊上的高為C．的面積為 D．是直角三角形【答案】ABC【分析】先聯(lián)立方程求出頂點坐標(biāo)，求出AB邊上的高所在直線斜率即可得出方程，利用點到直線距離公式可求出高，利用兩點間距離公式求出，即可求出三角形面積，根據(jù)斜率關(guān)系可判斷D.【詳解】由得；由得；由得；因為，所以AB邊上的高所在直線斜率為，則方程為，即，故A正確；AB邊上的高為點到直線的距離，故B正確；因為，所以的面積為，故C正確：由斜率關(guān)系可知，是的任意兩邊均不垂直，D錯誤.故選：ABC.12．在長方體中，，點為棱上靠近點的三等分點，點是長方形內(nèi)一動點（含邊界），且直線，與平面所成角的大小相等，則（    ）A．平面B．三棱錐的體積為4C．存在點，使得D．線段的長度的取值范圍為【答案】ACD【分析】選項A：由題意得到平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可判斷選項A；選項B：根據(jù)即可判斷選項B；選項C：作交于，連接，當(dāng)為中點時，滿足；選項D：根據(jù)題意分析出當(dāng)點在點或點處時，線段的長度取得最大值；當(dāng)點在點處時，線段的長度取得最小值，從而可求出線段的長度的取值范圍為.【詳解】平面平面，平面，平面，故正確；，故錯誤；連接，作交于，連接，平面，為與平面所成的角，平面，為與平面所成角．直線，與平面所成角的大小相等，，所以，又，，所以點在的中垂線上，即點在線段上運動，當(dāng)點與點重合時，，故正確；，為棱上靠近的三等分點，，，，，，當(dāng)點在點或點處時，線段的長度取得最大值，最大值為；當(dāng)點在點處時，線段的長度取得最小值，最小值為，線段的長度的取值范圍為，故正確．故選：． 三、填空題13．一個袋子中有紅?黃?藍(lán)?綠四個小球，有放回地從中任取一個小球，將“三次抽取后，紅色小球，黃色小球都取到”記為事件M，用隨機模擬的方法估計事件M發(fā)生的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個隨機數(shù)，分別代表紅?黃?藍(lán)?綠四個小球，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取小球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：110321230023123021132220001231130133231031320122103233 由此可以估計事件M發(fā)生的概率為___________.【答案】【分析】求出事件M發(fā)生的情況即可求出概率.【詳解】事件A包含紅色小球和黃色小球，即包含數(shù)字0和1，隨機產(chǎn)生的18組數(shù)中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6組，故所求概率為.故答案為：.14．已知，，則在上的投影向量為_______（用坐標(biāo)表示）【答案】【分析】利用投影向量的定義求解.【詳解】因為，，所以，設(shè)在上的投影向量為，則，故答案為：15．直線關(guān)于直線的對稱直線的方程為___________.【答案】【分析】設(shè)出為所求直線上一點，找出其關(guān)于的對稱點，代入直線即可求出.【詳解】設(shè)為所求直線上一點，它關(guān)于的對稱點為，則可得，由題可得在直線上，所以，整理可得所求的對稱直線方程為.故答案為：.16．在四面體ABCD中，，則四面體ABCD的外接球表面積為___________.【答案】##【分析】取中點，連接，設(shè)出球心，求出的外接圓半徑，根據(jù)可建立關(guān)系求出.【詳解】如圖，取中點，連接，因為，所以，易求得，滿足，所以，因為，所以平面，設(shè)球心為，球半徑為，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，可得，則，即，在上取一點，令，則，，，因為在中，所以，解得，所以表面積為.故答案為：. 四、解答題17．在棱長為1的正方體中：(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證明即可.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線到平面距離的向量公式計算即可.【詳解】（1）證明：在正方體中，且，故四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）以O為原點,以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則.因此，直線到平面的距離為18．某心理教育測評研究院為了解某市市民的心理健康狀況，隨機抽取了n位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，將所得評分(百分制)按研究院制定的心理測評評價標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在[70，80)中的市民有200人心理測評評價標(biāo)準(zhǔn)調(diào)查評分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等級EDCBA （1）求n的值及頻率分布直方圖中t的值；（2）在抽取的心理等級為D的市民中，按照調(diào)查評分的分組，分為2層，通過分層隨機抽樣抽取3人進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在[40，50)的市民的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為，調(diào)查評分在[50，60)的市民的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為，假設(shè)經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率；（3）該心理教育測評研究院建議該市管理部門設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均值不低于0.75，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，心理健康指數(shù)=調(diào)查評分÷100)【答案】（1），t=0.002；（2）；（3）只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動，理由見解析.【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面積和為1求的值；（2）設(shè)事件M=“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B”，利用對立事件的概率公式求解；（3）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)求出平均數(shù)即得解.【詳解】解：(1)由已知條件可得，又因為每組的小矩形的面職之和為1.所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1，解得t=0.002·(2)由(1)知：t=0.002，所以調(diào)查評分在[40，50)中的人數(shù)是調(diào)查評分在[50，60)中人數(shù)的，若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評分在[40，50)中有1人，在[50，60)中有2人，設(shè)事件M=“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B”.因為經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，所以所以故經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為·(3)由頻率分布直方圖可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7.估計市民心理健康調(diào)查評分的平均值為80.7，所以市民心理健康指數(shù)平均值為.所以只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動.19．如圖，在三棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，，．（1）證明：平面平面；（2）若，點在棱上，且二面角的大小為，求．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）設(shè)的中點為，得，利用已知條件可證明，可得，進(jìn)而可證面，利用面面垂直的判定定理即可求證；（2）作于點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出所需各點的坐標(biāo)，設(shè)，求出平面的一個法向量，的一個法向量，由題意知：，求得的值即可求解.【詳解】（1）設(shè)的中點為，連接，，在等邊中，可得，在中，有，又因為，所以，所以，即，又因為，，所以面，又因為面，所以平面平面；（2）若，點在棱上，且二面角的大小為，求．不妨設(shè)，在中，，所以，在底面內(nèi)作于點，則兩兩垂直，以點為原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，，，，所以，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，所以，令可得，，所以，平面的一個法向量，所以，整理可得：，即，所以或（舍）所以，所以.20．在平行六面體中，，，.(1)求異面直線AC與所成角的余弦值；(2)求直線與平面ABCD所成角.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系即可求出.（2）設(shè)，作平面ABCD，根據(jù)向量關(guān)系求出即可解決.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，則，，則..所以，故異面直線AC與所成角的余弦值為.（2）作平面ABCD，垂足為H，則直線與平面ABCD所成角為.由平面向量基本定理，存在唯一確定的實數(shù)x，y，使得.由于， 所以，即，即，解得，，即，即，解得，所以，則，因此，，進(jìn)而可得直線與平面ABCD所成角為.21．等腰三角形ABC的兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊BC上.(1)求；(2)求直線BC的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）直線AB，AC的傾斜角分別為，根據(jù)即可求出.（2）直線BC的傾斜角為，則可建立關(guān)系求出.【詳解】（1）設(shè)直線AB，AC的傾斜角分別為，則.依題意，，故，求得.（2）依題意，直線BC的傾斜角為，斜率為.由于，，故，解得，或（舍去）因此，直線BC的方程為解得，即，22．如圖，設(shè)直線：，：.點的坐標(biāo)為.過點的直線的斜率為，且與，分別交于點，（，的縱坐標(biāo)均為正數(shù)）.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，求面積的最小值；（3）是否存在實數(shù)，使得的值與無關(guān)?若存在，求出所有這樣的實數(shù)；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）由直線的方程為，求出交點坐標(biāo)后由縱坐標(biāo)為正可得的范圍．（2）在（1）基礎(chǔ)上，求出后可得面積，令換元后由基本不等式可得最小值．（3）在（1）基礎(chǔ)上，求出，不論為何值（有意義時），此值為常數(shù)，分析此式可得結(jié)論．【詳解】（1）直線的方程為，令得，，由，得，∵，∴，由得（時，方程組無解，不合題意），由，∵，∴或，綜上．即．（2）由（1）得，，，，設(shè)直線的傾斜角為，則，，∴，，令，則，，．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，∴的最小值是．（3）假設(shè)存在滿足題意的，由（1），，∴，此式與值無關(guān)，則，．所以，存在，的值與無關(guān)．【點睛】本題考查兩直線交點問題，考查三角形面積的最小值，考查直線中的存在性命題．解題方法沒有特出之處．求交點坐標(biāo)，求三角形邊長及夾角正弦值得三角形面積，求出的表達(dá)式．但在每一部分，又考查了其他的知識，如不等式恒成立問題，用基本不等式求最小值，存在性命題的思維方法等．本題對運算求解能力要求較高，屬于困難題． 

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