2022-2023學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜率公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，直線的方程為，所以則該直線的斜率為，所以.故選：B.2．已知平面，的法向量分別為，，且，則（     ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面平行，法向量之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，于是有，故選：D3．若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A． 4．在四面體中，E為中點(diǎn)，，若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的加減法，用基底表示目標(biāo)向量即可.【詳解】如圖，，而，代入上式可得：，故選：A.5．斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致．如下圖是重慶千廝門嘉陵江大橋，共有對(duì)永久拉索，在索塔兩側(cè)對(duì)稱排列．已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距均為．最短拉索的錨，滿足，，則最長(zhǎng)拉索所在直線的斜率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意利用已知長(zhǎng)度可分別計(jì)算，，再利用斜率的定義可解.【詳解】根據(jù)題意，最短拉索的錨，滿足，，且均為，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距均為，則，即點(diǎn)，同理，又，即點(diǎn)，所以，，故選：C.6．已知是棱長(zhǎng)為8的正方體外接球的一條直徑，點(diǎn)M在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（    ）A． B． C． D．0【答案】B【分析】本題通過(guò)基底法，得到，再通過(guò)立體圖得到的值，以及的最小值，最終代入數(shù)據(jù)得到最小值.【詳解】如圖為棱長(zhǎng)為8的正方體外接球的一條直徑,為球心，為正方體表面上的任一點(diǎn)則球心也就是正方體的中心，所以正方體的中心到正方體表面任一點(diǎn)的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑,它等于棱長(zhǎng)的一半，即長(zhǎng)度為4，,的長(zhǎng)為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，為，我們將三角形單獨(dú)抽取出來(lái)如下圖所示：所以的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】將空間向量知識(shí)與正方體結(jié)合考察最值問(wèn)題，難度較大，需要一定空間想象能力以及向量基底法的熟練運(yùn)用，平時(shí)要多加訓(xùn)練.7．如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）A．當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)至中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角最大且為B．無(wú)論點(diǎn)在上怎么移動(dòng)，都有C．當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)至中點(diǎn)時(shí)，才有與相交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)，且D．無(wú)論點(diǎn)在上怎么移動(dòng)，異面直線與所成角都不可能是【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量研究直線與直線垂直、夾角問(wèn)題的相關(guān)公式和結(jié)論，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A、B、D；由三角形的相似關(guān)系可判斷選項(xiàng)C．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則∵點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，∴可設(shè)，，∴，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則∴當(dāng)時(shí)，取最大值，即當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)至中點(diǎn)時(shí)最大，由于，則的最大值大于，故A錯(cuò)誤；∵，，∴，∴無(wú)論點(diǎn)在上怎么移動(dòng)，都有，故B正確；若不是的中點(diǎn)，則與是異面直線；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，也是的中點(diǎn)，與均在平面內(nèi)且必相交，所以當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)至中點(diǎn)時(shí)，才有與相交于一點(diǎn)，記為點(diǎn)，連和，如圖，根據(jù)，可得＝＝2，故C正確；∵，設(shè)異面直線與所成角為，則，∴，故D正確．故選：A． 二、多選題8．某商場(chǎng)推出抽獎(jiǎng)活動(dòng)，在甲抽獎(jiǎng)箱中有四張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.六張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票；乙抽獎(jiǎng)箱中有三張有獎(jiǎng)獎(jiǎng)票，七張無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，B表示在乙抽獎(jiǎng)箱中中獎(jiǎng)的事件，C表示兩次抽獎(jiǎng)均末中獎(jiǎng)的事件.下列結(jié)論中正確的是（    ）A．B．事件與事件相互獨(dú)立C．與和為D．事件A與事件B互斥【答案】ABC【分析】分別求出，，進(jìn)一步求出與，從而判斷AC選項(xiàng)，在甲抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)和在乙抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)互不影響，故事件A和事件B相互獨(dú)立，判斷BD選項(xiàng).【詳解】，在甲抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)和在乙抽獎(jiǎng)箱抽獎(jiǎng)互不影響，故事件A和事件B相互獨(dú)立，B項(xiàng)正確，故A正確，故C正確事件A與事件B相互獨(dú)立而非互斥，故D錯(cuò)誤.故選：ABC9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（    ）．A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量線性關(guān)系、數(shù)量積、模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，，A錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：BC10．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．直線必過(guò)定點(diǎn)．B．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為C．直線的傾斜角為D．過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為【答案】ABD【分析】將直線方程化為結(jié)合點(diǎn)斜式判斷A選項(xiàng)；根據(jù)斜率公式和點(diǎn)斜式方程判斷B選項(xiàng)；根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解判斷C選項(xiàng)；根據(jù)直線位置關(guān)系，并結(jié)合點(diǎn)斜式方程求解判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，即為，過(guò)直線過(guò)點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，直線的斜率為，故傾斜角為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，直線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線斜率為，方程為，即，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD11．已知點(diǎn)和點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，則的可能取值是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】過(guò)點(diǎn)作直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件，解方程可得，，連接，由三點(diǎn)共線的性質(zhì)可得的范圍，從而可得結(jié)論．【詳解】解：點(diǎn)和點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)，可得，，解得，，即，連接，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為，結(jié)合選項(xiàng)可知的可能取值是，，．故選：ABC．12．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，下列命題正確的有（    ）A．B．二面角的正切值為C．若，則正方體內(nèi)的M點(diǎn)所形成的面積為D．設(shè)P為上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為【答案】BCD【分析】根據(jù)正方體建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算可以驗(yàn)證選項(xiàng)A，B；利用四點(diǎn)共面確定M點(diǎn)區(qū)域，即可求解面積，驗(yàn)證選項(xiàng)C；利用三棱錐體積轉(zhuǎn)換，求解三棱錐的體積，驗(yàn)證D選項(xiàng).【詳解】解：如圖，因?yàn)檎襟w，建立空間直角坐標(biāo)系則對(duì)于選項(xiàng)A，，故，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由于正方體中有平面，所以可以作為平面的一個(gè)法向量又所以所以則是平面的一個(gè)法向量設(shè)二面角的大小為，且為銳角所以，故，則，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，則若四點(diǎn)共面則正方體內(nèi)的M點(diǎn)所形成區(qū)域?yàn)槿切?/span>，且則，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)P為上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD. 三、填空題13．若直線l的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為__________.【答案】【分析】根據(jù)直線斜率公式結(jié)合已知直線的方向向量可以直接求出直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)斜率求解傾斜角.【詳解】解：因?yàn)橹本€l的一方向向量為，所以直線的斜率為，，設(shè)直線l的傾斜角，則，所以，即.故答案為：14．已知 三點(diǎn)不共線，O為平面外一點(diǎn)，若向量，且點(diǎn)P與共面，則實(shí)數(shù)______．【答案】【分析】根據(jù)題意可得存在實(shí)數(shù)，使得，從而可得結(jié)論，右邊系數(shù)和為1，由此可求得答案.【詳解】由于點(diǎn)P與共面, 三點(diǎn)不共線,故存在實(shí)數(shù)，（不同時(shí)為0），使得，則,即， 而，故，即得，故答案為：.15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足直線l的方程，則的最小值為______．【答案】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到直線l：上點(diǎn)的距離最小值，即可得結(jié)果.【詳解】由題意，表示點(diǎn)到直線l：上點(diǎn)的距離，所以其最小值為.故答案為：16．甲乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局，三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.則甲學(xué)校獲得冠軍的概率為__________.【答案】0.6##【分析】設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出.【詳解】設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．故答案為：0.6 四、解答題17．已知向量，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量模的坐標(biāo)表示求解；（2）根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得解.【詳解】（1）∵，，∴，，∴；（2）設(shè)與的夾角為，則，，，，，∴，∴向量與夾角的余弦值為.18．求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在x軸上，半徑為5，且過(guò)點(diǎn)；(2)與圓同圓心且過(guò)點(diǎn)的圓的方程(3)A(0，3)， B(4，0) C（0，0）求三角形ABC的外接圓方程【答案】(1)或；(2)；(3). 【分析】（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，求出的值即得解；（2）設(shè)圓的方程為，求出即得解；（3）求出圓心和半徑即得解.【詳解】（1）解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，所以或.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.（2）解：設(shè)圓的方程為，代入，得. 所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）解：所以的垂直平分線方程為，邊的垂直平分線方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑則三角形ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.19．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，求：(1)點(diǎn)到直線BD的距離；(2)點(diǎn)到平面的距離；(3)異面直線之間的距離.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量和向量的坐標(biāo)，再求在上的投影向量的大小，結(jié)合勾股定理求點(diǎn)到直線BD的距離；(2)求平面的法向量，再求向量在向量上的投影的大小即可；(3)證明平面，利用向量方法求點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，，則，，，，，所以，，所以在上的投影向量的大小為，又，所以點(diǎn)到直線BD的距離；（2）由(1) ，，，設(shè)平面的法向量，則，所以，取，可得，，所以是平面的一個(gè)法向量，向量在法向量上的投影為，所以點(diǎn)到平面的距離為；（3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以異面直線之間的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，設(shè)平面的法向量，因?yàn)?/span>，則，所以，取，可得，，所以是平面的一個(gè)法向量，向量在法向量上的投影為，所以點(diǎn)到平面的距離為；故異面直線之間的距離為.20．甲、乙、丙三人組成一個(gè)小組參加電視臺(tái)舉辦的聽曲猜歌名活動(dòng)，在每一輪活動(dòng)中，依次播放三首樂(lè)曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯(cuò)，則活動(dòng)立即結(jié)束；若三人均猜對(duì)，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動(dòng).已知每一輪甲猜對(duì)歌名的概率是，乙猜對(duì)歌名的概率是，丙猜對(duì)歌名的概率是，甲、乙、丙猜對(duì)與否互不影響.(1)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；(2)該小組能進(jìn)入第三輪的概率；(3)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）該小組未能進(jìn)入第二輪也即甲、乙、丙至少有一人未猜對(duì)，根據(jù)對(duì)立事件求解；（2）該小組能進(jìn)入第三輪即前兩輪三人都猜對(duì)，根據(jù)事件積的概率計(jì)算即可；（3）乙猜歌曲的次數(shù)不小于2即該組過(guò)第一輪且甲猜對(duì)，據(jù)此求概率即可．【詳解】（1）解：設(shè)該小組未能進(jìn)入第二輪為事件A，則，故該小組未能進(jìn)入第二輪的概率為．（2）解：設(shè)該小組能進(jìn)入第三輪為事件B，則，故該小組能進(jìn)入第三輪的概率為．（3）解：設(shè)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2為事件C，．故乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率為．21．已知的三個(gè)頂點(diǎn)、、．(1)求邊所在直線的方程；(2)邊上中線的方程為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或． 【分析】（1）根據(jù)直線的兩點(diǎn)式求解直線方程即可；（2）首先根據(jù)直線方程，可得，然后利用點(diǎn)到直線距離，得到點(diǎn)到直線的距離為：，再根據(jù)，得到，最后解方程組即可得到參數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>、，所以BC邊所在直線的方程為：；（2）BC邊上中線AD的方程為，所以有，點(diǎn)A到直線BC的距離為：，，因?yàn)?/span>，所以有，因此有或，解得：或，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為：或．22．如圖，圓柱的軸截面為正方形，點(diǎn)在底面圓周上，且為上的一點(diǎn)，且為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合）(1)若，設(shè)平面面，求證：；(2)當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)為中點(diǎn). 【分析】（1）由線面垂直、圓的性質(zhì)有、，再由線面垂直的判定及性質(zhì)得，進(jìn)而有面，最后由線面垂直的性質(zhì)、射影定理及線面平行的判定和性質(zhì)證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系求的坐標(biāo)，設(shè)，可得，再分別求出面、面的法向量，結(jié)合已知面面角的大小求參數(shù)，即可確定點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題知面面，則，由為底面圓的直徑，則，由，面，面， 又∵面，∴，又，面，面， 又∵面，故.由，在中，由射影定理：，故面面,∴面，又面面，面，∴.（2）由（1）知，以為原點(diǎn)為軸正方向，過(guò)的母線為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，又平面的一個(gè)法向量設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或，其中時(shí)重合，不合題意，故當(dāng)平面與平面夾角為時(shí)，此時(shí)為中點(diǎn). 

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