2022-2023學(xué)年廣東省佛山市榮山中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若且與相互獨(dú)立,則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入相互獨(dú)立事件概率公式求解即可.【詳解】由題意知與相互獨(dú)立,則.故選:A.2．若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則（    ）A．P∈直線ABB．P?直線ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】利用減法法則化簡(jiǎn)已知得，再根據(jù)，有公共起點(diǎn)A，即可判斷得解.【詳解】因?yàn)?/span>m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)·＋n，即＝n()，即，所以與共線．又，有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB.故選：A3．若直線過(guò)點(diǎn)，，則此直線的傾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率的坐標(biāo)表示以及，故可得結(jié)果.【詳解】由題意知，直線的斜率，即直線的傾斜角滿足，又，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查斜率與傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.4．盒子里有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取一個(gè)，取出白球的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用古典概型求解.【詳解】盒子里共有9個(gè)球，其中4個(gè)白球，所以由古典概型得從中任取一個(gè)，取出白球的概率是.故選：B5．如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】.故選：D.6．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣正面朝上”.下列結(jié)論正確的是（    ）A．A與B互為對(duì)立事件 B．A與B互斥C．A與B相等 D．P(A)=P(B)【答案】D【分析】先把拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有可能結(jié)果都羅列出來(lái)，然后再把事件A和事件B包含的可能結(jié)果找出來(lái)，然后根據(jù)事件對(duì)立、互斥、相等的定義即可判斷ABC選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，只要根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算出事件A和事件B的概率即可判斷.【詳解】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有可能結(jié)果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4種結(jié)果，事件A包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反）2種，事件B包含的結(jié)果有：（正，正），（反，正）2種，顯然事件A和事件B都包含（正，正）這一結(jié)果，即事件A和事件B能同時(shí)發(fā)生，所以事件A和事件B既不對(duì)立也不互斥，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；事件A和事件B中有不同的結(jié)果，所以事件A和事件B不相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由古典概型得,所以,故選項(xiàng)D正確；故選：D.7．已知空間直角坐標(biāo)系中， ，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量表示出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再求出，的坐標(biāo)，借助數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，則，設(shè)，于是有，因?yàn)?/span>，，所以，，因此，，于是得，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)Q，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，. 設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.又，點(diǎn)到平面的距離，故選：.【點(diǎn)睛】本題用向量法求點(diǎn)到平面的距離，我們也可以用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也可以找到這個(gè)垂線段，然后放在直角三角形中去求. 二、多選題9．三棱錐中，平面與平面的法向量分別為，若，則二面角的大小可能為（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由二面角的大小與法向量夾角相等或互補(bǔ)即可求得結(jié)果.【詳解】二面角的大小與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，二面角的大小可能為或.故選：BC.10．設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（    ）A．若A，B是互斥事件，，則B．若A，B是對(duì)立事件，則C．若A，B是獨(dú)立事件，，則D．若，且，則A，B是獨(dú)立事件【答案】BC【分析】利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A：若，是互斥事件，，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，是對(duì)立事件，則，故B正確；對(duì)于C：若，是獨(dú)立事件，，，則，也是獨(dú)立事件，則，故C正確；對(duì)于D：若，則且，則，不是獨(dú)立事件，故，也不是獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤；故選：BC11．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．和夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是【答案】BD【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示可知A錯(cuò)誤；根據(jù)與同向的單位向量為，計(jì)算可知B正確；利用向量夾角公式計(jì)算可知C錯(cuò)誤；根據(jù)法向量的求法可知D正確.【詳解】對(duì)于A，，，可知，與不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，即與同向的單位向量是，B正確；對(duì)于C，，，即和夾角的余弦值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，即平面的一個(gè)法向量為，D正確.故選：BD.12．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，， ，平面，，下列說(shuō)法正確的是（        ）A．與所成的角是B．平面與平面所成的銳二面角余弦值是C．與平面所成的角的正弦值是D．是線段上動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離最大值為【答案】AC【分析】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量處理問(wèn)題，結(jié)合相關(guān)的夾角公式與點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解，注意線上動(dòng)點(diǎn)的向量設(shè)法.【詳解】由題意，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，對(duì)于A中，可得，所以，所以與的夾角的余弦值為，即夾角為，所以A正確；對(duì)于B中，由平面的法向量為，又由，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以，所以平面與平面所成的銳二面角余弦值是， B錯(cuò)誤.對(duì)于C中，由，所以與平面所成的角的正弦值是， C正確；對(duì)于D中，設(shè)，則∴設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即∵∴點(diǎn)到平面距離為當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)為點(diǎn)∴點(diǎn)到平面距離為0當(dāng)時(shí)，則∴，則綜上所述：點(diǎn)到平面距離的取值范圍為，即最大值為，D錯(cuò)誤故選：AC. 三、填空題13．設(shè)直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若直線平面，則實(shí)數(shù)的值為________．【答案】【分析】由線面平行可得，由向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】直線平面，，即，解得：.故答案為：. 四、雙空題14．笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說(shuō)在他生病臥床時(shí)，還在反復(fù)思考一個(gè)問(wèn)題：通過(guò)什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來(lái)呢？突然，他看見(jiàn)屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形。在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；點(diǎn)C是點(diǎn)B(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則________.【答案】          5【分析】關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)是將橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變；點(diǎn)B(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影將豎坐標(biāo)變?yōu)?/span>0，其它坐標(biāo)不變.【詳解】關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)是將橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，為；點(diǎn)B(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影將豎坐標(biāo)變?yōu)?/span>0，其它坐標(biāo)不變，故，故.故答案為：；5. 五、填空題15．佛山市榮山中學(xué)30周年校慶學(xué)校安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”、“3號(hào)”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接校友。某校友突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)了一種乘車方案：不乘坐第一輛車，若第二輛車的序號(hào)大于第一輛車的序號(hào)就乘坐此車，否則乘坐第三輛車，記事件A=“乘坐到3號(hào)車”，則________.【答案】/0.5【分析】列出發(fā)車順序的所有結(jié)果，再利用古典概率計(jì)算公式求解即得.【詳解】三輛車的出車順序有: 123， 132， 213，231，312， 321， 共6個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，按方案坐到“3號(hào)"車的事件有132, 213, 231, 事件A中共3個(gè)不同結(jié)果，則 故答案為：16．已知點(diǎn)，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____；【答案】【詳解】由直線，即，此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)， 則直線的斜率，直線的斜率， 若直線與線段相交，則，即， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是． 點(diǎn)睛：本題考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線間的斜率之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，同時(shí)要熟記直線方程的各種形式和直線過(guò)定點(diǎn)的判定，此類問(wèn)題解答中把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與線段端點(diǎn)斜率之間關(guān)系是常見(jiàn)的一種解題方法，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力． 六、解答題17．已知兩直線，.求分別滿足下列條件的，的值：(1)直線過(guò)點(diǎn)，并且直線與垂直；(2)直線與直線平行，并且直線在軸上的截距為.【答案】(1)，(2)， 【分析】（1）根據(jù)直線垂直的充要條件以及點(diǎn)在直線上，列出方程組即可解出；（2）根據(jù)兩直線平行斜率相等，以及直線縱截距的意義，列出方程，即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?/span>l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①又點(diǎn)(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.②由①②得a＝2，b＝2.（2）因?yàn)橹本€l2在y軸上的截距為3，所以b＝－3，又,所以,所以,故.18．某學(xué)校有學(xué)生人，為了解學(xué)生對(duì)本校食堂服務(wù)滿意程度，隨機(jī)抽取了名學(xué)生對(duì)本校食堂服務(wù)滿意程度打分，根據(jù)這名學(xué)生的打分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)該校學(xué)生滿意度打分不低于分的人數(shù)；(2)若采用分層抽樣的方法，從打分在的受訪學(xué)生中隨機(jī)抽取人了解情況，再?gòu)闹羞x取人進(jìn)行跟蹤分析，求這人至少有一人評(píng)分在的概率.【答案】(1) ，6人(2) 【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，即可求出，再估計(jì)出滿意度打分不低于分的人數(shù)；（2）首先求出打分在和內(nèi)人數(shù)，再用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，，解得. 該校學(xué)生滿意度打分不低于分的人數(shù)為 .（2）由頻率分布直方圖可知，打分在和內(nèi)的頻率分別為和，抽取的人采用分層抽樣的方法，在內(nèi)的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為人. 設(shè)內(nèi)的人打分分別為，，內(nèi)的人打分分別為，，，則從的受訪學(xué)生中隨機(jī)抽取人，人打分的基本事件有：，，共種. 其中兩人都在內(nèi)的可能結(jié)果為， 則這人至少有一人打分在的概率.19．已知空間三點(diǎn)，，．(1)求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；(2)若向量分別與，垂直，且，求向量的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先求出，然后利用向量的夾角公式求出，從而可求出，再利用三角形的面積公式可求得答案，（2）設(shè)，然后利用向量分別與，垂直，且，列方程組可求得答案【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為（2）設(shè)，因?yàn)橄蛄?/span>分別與，垂直，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得或，所以或20．某停車場(chǎng)臨時(shí)停車按停車時(shí)長(zhǎng)收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每輛汽車一次停車不超過(guò)半小時(shí)的免費(fèi)，超過(guò)半小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)3元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲?乙兩人在該停車場(chǎng)臨時(shí)停車，兩人停車時(shí)長(zhǎng)互不影響且都不超過(guò)2.5小時(shí).(1)若甲停車的時(shí)長(zhǎng)在不超過(guò)半小時(shí)，半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)，1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5小時(shí)這三個(gè)時(shí)段的可能性相同，乙停車的時(shí)長(zhǎng)在這三個(gè)時(shí)段的可能性也相同，求甲?乙兩人停車付費(fèi)之和為6元的概率；(2)若甲?乙停車半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)的概率分別為，，停車1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5小時(shí)的概率分別為，，求甲?乙兩人臨時(shí)停車付費(fèi)不相同的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件及列舉法寫出基本事件，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)甲停車付費(fèi)a元，乙停車付費(fèi)b元，其中a，.所以甲?乙兩人停車付費(fèi)（a，b）的所有可能情況為：（0，0），（0，3），（0，6），（3，0），（3，3），（3，6），（6，0），（6，3），（6，6），共9種.其中事件“甲?乙兩人停車付費(fèi)之和為6元”包含（0，6），（3，3），（6，0），共3種情況，故甲?乙兩人停車付費(fèi)之和為6元的概率為.（2）設(shè)甲停車的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)半小時(shí)?乙停車的時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)半小時(shí)分別為事件，，甲停車的時(shí)長(zhǎng)在半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)?乙停車的時(shí)長(zhǎng)在半小時(shí)以上且不超過(guò)1.5小時(shí)分別為事件，，甲停車的時(shí)長(zhǎng)為1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5小時(shí)?乙停車的時(shí)長(zhǎng)在1.5小時(shí)以上且不超過(guò)2.5小時(shí)分別為事件，，則，，所以甲?乙兩人臨時(shí)停車付費(fèi)相同的概率為.所以甲?乙兩人臨時(shí)停車付費(fèi)不相同的概率為.21．如圖，在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所在平面互相垂直，.(1)求證：BF∥平面CDE；(2)求二面角的余弦值；(3)判斷線段BE上是否存在點(diǎn)Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)(3)存在點(diǎn)； 【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，作輔助線，轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證得，，兩兩垂直，從而建立以D點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的一個(gè)法向量，根據(jù)法向量的夾角求得二面角的余弦值；（3）設(shè)，求得平面的法向量為，若平面平面，則，從而解得的值，找到Q點(diǎn)的位置.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)?/span>，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且,又因?yàn)?/span>,且，所以,,所以四邊形是平行四邊形，所以,因?yàn)?/span>平面,平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，所以平面，平面，則，故，，兩兩垂直，所以以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，得，令，得.所以.如圖可得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.（3）結(jié)論：線段上存在點(diǎn)，使得平面平面.證明如下：設(shè)，所以.設(shè)平面的法向量為，又因?yàn)?/span>，所以，，即，若平面平面，則，即，解得.所以線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，且此時(shí).22．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面的夾角的正切值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，應(yīng)用向量法求證垂直即可；（2）由三棱錐體積最大，只需△面積最大求出參數(shù)，再標(biāo)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面與平面的法向量，進(jìn)而求它們夾角的余弦值，即可得正切值.【詳解】（1）如下圖，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，所以，，，，則，，故，所以，即.（2）由（1）可得三棱錐體積取最大，即面積最大，所以當(dāng)時(shí)，故、為、上的中點(diǎn)，所以，，，故，，若為平面的法向量，則，令，故，又面的法向量為，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，由圖可知為銳角，則，所以，所以，所以平面與平面的夾角正切值為. 

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