一、單選題
1．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)橢圓方程求出，再由其焦點(diǎn)在上可求得結(jié)果.
【詳解】在橢圓中，，
則，得，
而橢圓的焦點(diǎn)在軸上，
因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：C
2．已知向量，，并且，則實(shí)數(shù)x的值為（ ）
A．10B．-10C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)空間向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積為零，即，解出即可.
【詳解】解：∵，
∴，
解得.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.向量等價(jià)于.
3．經(jīng)過點(diǎn)，且方向向量為的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由直線方向向量可得直線斜率，由直線點(diǎn)斜式方程可整理得到結(jié)果.
【詳解】直線的方向向量為，直線的斜率，
直線的方程為，即.
故選：A.
4．過點(diǎn)可以引圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意可知點(diǎn)位于圓外，列不等式即可求解.
【詳解】若過點(diǎn)可以引圓的兩條切線，
則點(diǎn)在圓外，
即有，解得或，
即.
故選：A
5．如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運(yùn)算律求解.
【詳解】解：，
，
，
，
所以，
故選：B
6．如果圓上總存在到原點(diǎn)的距離為的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】到原點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡為圓，因此所求問題轉(zhuǎn)化為圓與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)，兩圓的圓心半徑分別為，
，所以，解不等式得的取值范圍是，選A.
7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上且在軸的下方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接、，利用圓的幾何性質(zhì)可得出，求得，利用橢圓的定義可求得，可判斷出的形狀，即可得解.
【詳解】在橢圓中，，，，
設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接、，則為圓的一條直徑，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，則，
所以，為等邊三角形，由圖可知，直線的傾斜角為.
故選：C.
8．如圖，棱長為3的正方體中，為面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，、分別為的三等分點(diǎn)，則的周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過E作E關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，連接交平面于點(diǎn)，證明此時(shí)的使得最小，建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，的最小值為，由此求得的周長的最小值.
【詳解】解：過E作E關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，連接交平面于點(diǎn).
可以證明此時(shí)的使得最?。喝稳?不含)，此時(shí).
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BD1的三等分點(diǎn)，所以,
又點(diǎn)E距平面的距離為1，所以，
的最小值為.
又，所以的周長的最小值為，
故選：D.
二、多選題
9．已知圓的方程為，直線的方程為，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．直線恒過定點(diǎn)
B．直線可能與圓相切
C．直線被圓所截最短弦長為
D．存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使直線l經(jīng)過圓心
【答案】AC
【分析】由直線的方程可求出其所過定點(diǎn)，即可判斷A，判斷定點(diǎn)與圓的位置可判斷B，求出圓心到直線的距離的最大值，然后可求出直線被圓所截最短弦長，可判斷C，將圓心坐標(biāo)代入直線方程看是否有解，可判斷D.
【詳解】由可得，所以當(dāng)時(shí)，
所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；
因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線不可能與圓相切，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)圓心 與點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，為，
所以直線被圓所截最短弦長為，故C正確；
將圓心代入方程可得，此方程無解，
故不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使直線l經(jīng)過圓心，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
10．已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，長軸端點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．的最大面積為
B．若直線的斜率為，則
C．存在點(diǎn)P使得
D．的最大值為5
【答案】BD
【分析】當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)的面積最大，即可判斷A；利用兩點(diǎn)求斜率公式計(jì)算化簡即可判斷B；當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)為最大，利用余弦定理計(jì)算即可判斷C；根據(jù)橢圓的定義可得，求出即可判斷D.
【詳解】對A，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，
且最大面積為：，故A錯(cuò)誤；
對B，由橢圓，得，設(shè)，
則，又，則，
所以，故B正確；
對C，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，為最大，此時(shí)，
即為銳角，所以不存在點(diǎn)P使得，故C錯(cuò)誤；
對D，由橢圓，所以，又，
所以，
所以，故D正確.
故選：BD.
11．四葉草也叫幸運(yùn)草，四片葉子分別象征著：成功、幸福、平安、健康，表達(dá)了人們對美好生活的向往．梵克雅寶公司在設(shè)計(jì)四葉草吊墜的時(shí)候，利用了曲線方程進(jìn)行圖案繪制，關(guān)于曲線，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線有4條對稱軸
B．曲線恰好經(jīng)過9個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
C．曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過2
D．曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5
【答案】ABD
【分析】根據(jù)題意，作出曲線的圖像，再數(shù)形結(jié)合依次討論各選項(xiàng)求解即可.
【詳解】解：對于曲線，當(dāng)時(shí)，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分；
當(dāng)時(shí)，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第四象限的部分；
當(dāng)時(shí)，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第二象限的部分；
當(dāng)時(shí)，曲線表示，即，表示以為圓心，半徑為的圓在第三象限的部分；
當(dāng)時(shí)，曲線表示坐標(biāo)原點(diǎn)；
所以，其圖像如圖所示，
由圖可知，曲線有4條對稱軸，分別為軸，，故A正確；
曲線恰好經(jīng)過整點(diǎn)，共9個(gè)，故B選項(xiàng)正確；
曲線上兩點(diǎn)之間最大距離為，故曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離都不超過，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積為，故D選項(xiàng)正確.
故選：ABD
12．如圖，點(diǎn)是正四面體底面的中心，過點(diǎn)且平行于平面的直線分別交，于點(diǎn)，，是棱上的點(diǎn)，平面與棱的延長線相交于點(diǎn)，與棱的延長線相交于點(diǎn)，則（ ）
A．若平面，則
B．存在點(diǎn)與直線，使
C．存在點(diǎn)與直線，使平面
D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可判斷A；由空間向量數(shù)量積可判斷B；當(dāng)直線平行于直線，時(shí)，通過線面垂直的判定定理可判斷C，由共面向量定理可判斷D.
【詳解】對于A，平面，平面與棱的延長線相交于點(diǎn)，與棱的延長線相交于點(diǎn)，
平面平面，
又平面，平面，，
點(diǎn)在面上，過點(diǎn)的直線交，于點(diǎn)，，平面，
又平面，平面平面，，
，故A正確；
對于B，設(shè)正四面體的棱長為，
，故B錯(cuò)誤；
對于C，當(dāng)直線平行于直線，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，即，此時(shí)平面，
以下給出證明：在正四面體中，設(shè)各棱長為，
，，，均為正三角形，
點(diǎn)為的中心，，
由正三角形中的性質(zhì)，易得，
在中，，，，
由余弦定理得，，
，則，
同理，，又，平面，平面，
平面，存在點(diǎn)S與直線MN，使平面，故C正確；
對于D，設(shè)為的中點(diǎn)，則，
又∵，，三點(diǎn)共線，∴，
∵，，三點(diǎn)共線，∴，
∵，，三點(diǎn)共線，∴，
設(shè)，，，則，
∵，，，四點(diǎn)共面，∴，
又∵，∴，∴，
即，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理，考查了空間向量數(shù)量積和共面向量定理，解題的關(guān)鍵是熟悉利用空間向量的共面定理，考查了轉(zhuǎn)化能力與探究能力，屬于難題.
三、填空題
13．直線：，：，若，則________．
【答案】2
【分析】由兩直線平行的判定列方程求參數(shù)，注意驗(yàn)證排除重合的情況.
【詳解】由題設(shè)，，則，
所以或，
當(dāng)，：，：重合，不合題設(shè)；
當(dāng)，：，：平行，滿足題設(shè)；
故.
故答案為：2
14．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，則的周長為_____________．
【答案】16
【分析】根據(jù)橢圓的定義即可得解.
【詳解】解：由橢圓，
得，
因?yàn)镻是C上的點(diǎn)，所以，
所以的周長為.
故答案為：.
15．已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長是2，則的取值范圍為____________.
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.
【詳解】解：以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D1 A1，D1C1，D1D所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體內(nèi)切球球心為S，MN是該內(nèi)切球的任意一條直徑，則內(nèi)切球的半徑為1，
所以當(dāng)點(diǎn)P在與正方體的面的中心時(shí)，PS取得最小值1，當(dāng)點(diǎn)P頂點(diǎn)時(shí)，PS取得最大值，所以，
，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
16．設(shè),分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，若，則橢圓的離心率為___________.
【答案】
【分析】求橢圓的離心率，要列出關(guān)于的等量關(guān)系式，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義以及，可以表示出三角形各邊的長度，通過余弦定理得到各邊關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)幾何關(guān)系可以列出關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求出離心率
【詳解】
設(shè)，則，，
，.
，
在中，由余弦定理得，，
，
化簡可得，而，故，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
橢圓的離心率 ，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】題目考察比較綜合，需要根據(jù)圖形列出各邊之間的關(guān)系式，找到關(guān)于之間的關(guān)系，進(jìn)而求解離心率，涉及到了以下【解析】
（1）橢圓的第一定義
（2）三角形的余弦定理
（3）離心率的計(jì)算
四、解答題
17．已知圓，圓，則
（1）若兩圓心距為，求的值.
（2）直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，.點(diǎn)在圓上，求三角形面積最小值.
【答案】（1）或；（2）
【分析】（1）根據(jù)圓心距直接求出m即可；
（2）由題意知為定值，只需求圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值，即可求出三角形面積的最小值.
【詳解】（1）∵的圓心，的圓心
又∵圓心距為.
由得.
∴或.
（2）∵當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，
∴
∴
當(dāng)?shù)街本€的距離最小時(shí)，面積最小.
設(shè)的高為
∴
∴.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，三角形的面積，圓的性質(zhì)，屬于中檔題.
18．已知直線，橢圓的短軸長為，離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)討論直線l與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由橢圓短軸長、離心率、可得答案；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理判斷可得答案.
【詳解】（1）由題意橢圓的短軸長為，離心率為，
可知，，解得，
所求橢圓的方程為；
（2）由可得，
，
當(dāng)即時(shí)，直線與橢圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)即時(shí)，直線與橢圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)即或時(shí)，直線與橢圓相離，無公共點(diǎn)；
綜上所述， 當(dāng)時(shí)，直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，直線與橢圓無公共點(diǎn).
19．如圖，在四棱錐中，底面四邊形是矩形，平面，，．
（1）求的長；
（2）點(diǎn)在棱上，且，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）連接，由線面垂直的性質(zhì)可得，根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)有，即矩形為正方形，可求，最后應(yīng)用勾股定理求.
（2）以為原點(diǎn)，以，，分別作為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角即可.
【詳解】（1）連接，因?yàn)槠矫?，平?br>所以，
又，，
所以平面，
又平面，
所以，
所以矩形為正方形，
所以，
．
（2）由已知可知，，，
以為原點(diǎn)，以，，分別作為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
可得，，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，
則即
取，可得，，
即，
設(shè)直線與平面所成角為，
則．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
20．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓的圓心坐標(biāo)為，其中且，軸?軸被圓截得的弦分別為，.
(1)求證：的面積為定值，并求出這個(gè)定值；
(2)設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，若，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)證明見解析，定值為4
(2)
【分析】(1)由題意可知圓C必定是經(jīng)過原點(diǎn)的，算出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)即可；
(2)考慮圓C過原點(diǎn)的幾何關(guān)系，判斷所得解的合理性，即可算出圓的方程.
【詳解】（1）依題意作圖如下：
由題可知為中點(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意可知圓C必定經(jīng)過原點(diǎn)，即圓的方程為：，
所以，
所以，
所以的面積為定值，該定值為4；
（2）因?yàn)椋?是等腰三角形，圓C是其外接圓，
所以線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，
直線的方程，所以，所以或1，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑，
所以圓心到直線的距離為：
，
即直線與圓相離，故 不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑，
所以圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相交，故符合題意，
此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
綜上， 的面積為4，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
21．如圖，圓錐PO的母線長為，是⊙的內(nèi)接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．
(1)證明：；
(2)設(shè)點(diǎn)Q滿足，其中，且二面角的大小為，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證得到，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到，然后計(jì)算的長度，根據(jù)勾股定理逆定理即可得到
（2）先建系求出平面的法向量 ，再求出平面的法向量，根據(jù)二面角
的大小為列出關(guān)于的方程，解出即可
【詳解】（1）∵，，，
∴
∵平面PAC⊥平面PBC且平面PAC平面，平面PBC，，
∴PB⊥平面PAC，又平面PAC，
∴，
∴，
∴，
∴是正三角形，，
∵
∴；
（2）在平面ABC內(nèi)作交BC于M，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM，OB，OP所在直線分別為x軸，
y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
易知，，
所以，，，，
，，
設(shè)平面OBC的法向量，
依題意，即，
不妨令，得，
易知平面OQB的法向量，
由可知，
即，解得
22．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和為4，點(diǎn)在軸上的射影是C，.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)的直線交點(diǎn)的軌跡于點(diǎn)，交點(diǎn)的軌跡于點(diǎn)，求的最大值.
【答案】（1）.（2）1
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義和題設(shè)條件，求得點(diǎn)的軌跡方程是，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入即可求解.
（2）若軸，求得；若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，根據(jù)圓的弦長公式，求得，再聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得的表達(dá)式，代入化簡，即可求解.
【詳解】（1）設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4，即
可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，
所以，即，且，則，
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，因所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，
化簡得點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）若軸，則，.
若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，即，
則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，
.
設(shè).將代入，并化簡得，
.
，.
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立.
綜上所述，最大值為1.
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的性質(zhì)，及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.

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