
考點一 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
核心提煉
1.圓錐曲線的定義
(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).
(2)雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(00)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,右頂點為A,上頂點為B,以線段F1A為直徑的圓交線段F1B的延長線于點P,若F2B∥AP且線段AP的長為2+eq \r(2),則該橢圓方程為( )
A.eq \f(x2,4)+eq \f(y2,2)=1 B.eq \f(x2,8)+eq \f(y2,3)=1
C.eq \f(x2,5)+eq \f(y2,4)=1 D.eq \f(x2,8)+eq \f(y2,4)=1
答案 D
解析 設(shè)橢圓的半焦距為c,因為點P在以線段F1A為直徑的圓上,所以AP⊥PF1.
又因為F2B∥AP,所以F2B⊥BF1.
又因為|F2B|=|BF1|,
所以△F1F2B是等腰直角三角形,于是△F1AP也是等腰直角三角形,
因為|AP|=2+eq \r(2),所以|F1A|=eq \r(2)(2+eq \r(2)),
得a+c=eq \r(2)(2+eq \r(2)),又b=c,所以a=eq \r(2)c,
解得a=2eq \r(2),c=2,得b2=a2-c2=4,
所以橢圓方程為eq \f(x2,8)+eq \f(y2,4)=1.
(2)(2022·荊州模擬)已知雙曲線C:eq \f(x2,16)-eq \f(y2,9)=1的左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,點P是C右支上的一點(不是頂點),過F2作∠F1PF2的角平分線的垂線,垂足是M,O是原點,則|MO|=________.
答案 4
解析 延長F2M交PF1于點Q,
由于PM是∠F1PF2的角平分線,F(xiàn)2M⊥PM,
所以△QPF2是等腰三角形,
所以|PQ|=|PF2|,且M是QF2的中點.
根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a,
即|QF1|=2a,
由于O是F1F2的中點,
所以MO是△QF1F2的中位線,
所以|MO|=eq \f(1,2)|QF1|=a=4.
易錯提醒 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時的常見錯誤
雙曲線的定義中忽略“絕對值”致錯;橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混,橢圓中的關(guān)系式為a2=b2+c2,雙曲線中的關(guān)系式為c2=a2+b2;圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置.
跟蹤演練1 (1)已知雙曲線的漸近線方程為y=±eq \f(\r(2),2)x,實軸長為4,則該雙曲線的方程為( )
A.eq \f(x2,4)-eq \f(y2,2)=1
B.eq \f(x2,4)-eq \f(y2,8)=1或eq \f(y2,4)-eq \f(x2,8)=1
C.eq \f(x2,4)-eq \f(y2,8)=1
D.eq \f(x2,4)-eq \f(y2,2)=1或eq \f(y2,4)-eq \f(x2,8)=1
答案 D
解析 設(shè)雙曲線方程為eq \f(x2,2m)-eq \f(y2,m)=1(m≠0),
∵2a=4,∴a2=4,
當(dāng)m>0時,2m=4,m=2;
當(dāng)m0,b>0)共漸近線bx±ay=0的雙曲線方程為eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=λ(λ≠0).
考向1 橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)
例2 (2022·河南五市聯(lián)考)設(shè)雙曲線C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,以F2為圓心的圓恰好與雙曲線C的兩條漸近線相切,且該圓恰好經(jīng)過線段OF2的中點,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A.y=±eq \r(3)x B.y=±eq \f(\r(3),3)x
C.y=±eq \f(2\r(3),3)x D.y=±2x
答案 B
解析 由題意知,漸近線方程為y=±eq \f(b,a)x,
焦點F2(c,0),c2=a2+b2,
因為以F2為圓心的圓恰好與雙曲線C的兩漸近線相切,則圓的半徑r等于圓心到切線的距離,
即r=eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(±\f(b,a)·c)),\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(b,a)))2))=b,
又該圓過線段OF2的中點,故eq \f(c,2)=r=b,
所以eq \f(b,a)=eq \r(\f(b2,a2))=eq \r(\f(b2,c2-b2))=eq \f(\r(3),3).
所以漸近線方程為y=±eq \f(\r(3),3)x.
考向2 離心率問題
例3 (多選)(2022·全國乙卷)雙曲線C的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,以C的實軸為直徑的圓記為D,過F1作D的切線與C交于M,N兩點,且cs∠F1NF2=eq \f(3,5),則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(\r(13),2) D.eq \f(\r(17),2)
答案 AC
解析 不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).
當(dāng)兩個交點M,N在雙曲線兩支上時,如圖1所示,
圖1
設(shè)過F1的直線與圓D相切于點P,連接OP,
由題意知|OP|=a,又|OF1|=c,
所以|F1P|=b.
過點F2作F2Q⊥F1N,交F1N于點Q.
由中位線的性質(zhì),
可得|F2Q|=2|OP|=2a,|PQ|=b.
因為cs∠F1NF2=eq \f(3,5),
所以sin∠F1NF2=eq \f(4,5),
故|NF2|=eq \f(5,2)a,|QN|=eq \f(3,2)a,
所以|NF1|=|F1Q|+|QN|=2b+eq \f(3,2)a.
由雙曲線的定義可知
|NF1|-|NF2|=2a,
所以2b+eq \f(3,2)a-eq \f(5,2)a=2a,所以2b=3a.
兩邊平方得4b2=9a2,即4(c2-a2)=9a2,
整理得4c2=13a2,所以eq \f(c2,a2)=eq \f(13,4),
故eq \f(c,a)=eq \f(\r(13),2),即e=eq \f(\r(13),2).
當(dāng)兩個交點M,N都在雙曲線上的左支上時,如圖2所示,
圖2
同理可得|F2Q|=2|OP|=2a,|PQ|=b.
因為cs∠F1NF2=eq \f(3,5),
所以sin∠F1NF2=eq \f(4,5),
可得|NF2|=eq \f(5,2)a,|NQ|=eq \f(3,2)a,
所以|NF1|=|NQ|-|QF1|=eq \f(3,2)a-2b,
所以|NF2|=|NF1|+2a=eq \f(7,2)a-2b,
又|NF2|=eq \f(5,2)a,所以eq \f(7,2)a-2b=eq \f(5,2)a,
即a=2b,故e=eq \r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)=eq \f(\r(5),2).故選AC.
規(guī)律方法 (1)在“焦點三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合橢圓(或雙曲線)的定義,運用平方的方法,建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系.
(2)求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值,也可將雙曲線方程中等號右邊的“1”變?yōu)椤?”,然后因式分解得到.
跟蹤演練2 (1)(2022·全國甲卷)橢圓C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左頂點為A,點P,Q均在C上,且關(guān)于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為eq \f(1,4),則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 設(shè)P(m,n)(n≠0),
則Q(-m,n),易知A(-a,0),
所以kAP·kAQ=eq \f(n,m+a)·eq \f(n,-m+a)=eq \f(n2,a2-m2)=eq \f(1,4).(*)
因為點P在橢圓C上,
所以eq \f(m2,a2)+eq \f(n2,b2)=1,得n2=eq \f(b2,a2)(a2-m2),
代入(*)式,得eq \f(b2,a2)=eq \f(1,4),
所以e=eq \f(c,a)=eq \r(1-\f(b2,a2))=eq \f(\r(3),2).故選A.
(2)(多選)(2022·衡水中學(xué)模擬)已知雙曲線C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過點F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點,若|AF1|=|BF2|=2|AF2|,則( )
A.∠AF1B=∠F1AB
B.雙曲線的離心率e=eq \f(\r(33),3)
C.雙曲線的漸近線方程為y=±eq \f(\r(6),3)x
D.原點O在以F2為圓心,|AF2|為半徑的圓上
答案 AB
解析 設(shè)|AF1|=|BF2|=2|AF2|=2m,
則|AB|=|AF2|+|BF2|=3m,
由雙曲線的定義知,
|AF1|-|AF2|=2m-m=2a,
即m=2a,|BF1|-|BF2|=2a,
即|BF1|-2m=2a,
∴|BF1|=3m=|AB|,∠AF1B=∠F1AB,
故選項A正確;
由余弦定理知,在△ABF1中,
cs∠AF1B=eq \f(|AF1|2+|BF1|2-|AB|2,2|AF1|·|BF1|)
=eq \f(4m2+9m2-9m2,2·2m·3m)=eq \f(1,3),
在△AF1F2中,
cs∠F1AB=eq \f(|AF1|2+|AF2|2-|F1F2|2,2·|AF1|·|AF2|)
=eq \f(4m2+m2-4c2,2·2m·m)=cs∠AF1B=eq \f(1,3),
化簡整理得12c2=11m2=44a2,
∴離心率e=eq \f(c,a)=eq \r(\f(44,12))=eq \f(\r(33),3),故選項B正確;
雙曲線的漸近線方程為y=±eq \f(b,a)x=±eq \r(\f(c2-a2,a2))x=±eq \r(e2-1)x=±eq \f(2\r(6),3)x,
故選項C錯誤;
若原點O在以F2為圓心,|AF2|為半徑的圓上,
則c=m=2a,與eq \f(c,a)=eq \f(\r(33),3)相矛盾,故選項D錯誤.
考點三 拋物線的幾何性質(zhì)
核心提煉
拋物線的焦點弦的幾個常見結(jié)論
設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),則
(1)x1x2=eq \f(p2,4),y1y2=-p2.
(2)|AB|=x1+x2+p.
(3)當(dāng)AB⊥x軸時,弦AB的長最短為2p.
例4 (1)(2022·泰安模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在拋物線C上,射線FM與y軸交于點A(0,2),與拋物線C的準(zhǔn)線交于點N,eq \(FM,\s\up6(→))=eq \f(\r(5),5)eq \(MN,\s\up6(→)),則p的值等于( )
A.eq \f(1,8) B.2 C.eq \f(1,4) D.4
答案 B
解析 設(shè)點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為|MM′|,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點記為點B.
由拋物線的定義知,
|MM′|=|FM|.
因為eq \f(|FM|,|MN|)=eq \f(\r(5),5),
所以eq \f(|MM′|,|MN|)=eq \f(\r(5),5),
即cs∠NMM′=eq \f(|MM′|,|MN|)=eq \f(\r(5),5),
所以cs∠OFA=cs∠NMM′=eq \f(\r(5),5),
而cs∠OFA=eq \f(|OF|,|AF|)=eq \f(\f(p,2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2+22))=eq \f(\r(5),5),解得p=2.
(2)(多選)(2022·新高考全國Ⅱ)已知O為坐標(biāo)原點,過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點M(p,0).若|AF|=|AM|,則( )
A.直線AB的斜率為2eq \r(6)
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM2p,
即|AB|>4|OF|,故C正確;
對于D,易知|OA|=eq \f(\r(33),4)p,|AM|=eq \f(5,4)p,
|OB|=eq \f(\r(7),3)p,|BM|=eq \f(\r(10),3)p,
則cs∠OAM=eq \f(|OA|2+|AM|2-|OM|2,2|OA|·|AM|)
=eq \f(\f(33,16)p2+\f(25,16)p2-p2,2×\f(\r(33),4)p·\f(5,4)p)=eq \f(21,5\r(33))>0,
cs∠OBM=eq \f(|OB|2+|BM|2-|OM|2,2|OB|·|BM|)
=eq \f(\f(7,9)p2+\f(10,9)p2-p2,2×\f(\r(7),3)p·\f(\r(10),3)p)=eq \f(4,\r(70))>0,
所以∠OAM0)的一個焦點為F(3,0),則其漸近線方程為( )
A.y=±eq \f(\r(2),4)x B.y=±2eq \r(2)x
C.y=±2x D.y=±eq \f(1,2)x
答案 A
解析 因為雙曲線eq \f(x2,m)-y2=1(m>0)的一個焦點為F(3,0),
所以由m+1=32,得m=8,
所以雙曲線方程為eq \f(x2,8)-y2=1,
所以雙曲線的漸近線方程為y=±eq \f(\r(2),4)x.
3.(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|等于( )
A.2 B.2eq \r(2)
C.3 D.3eq \r(2)
答案 B
解析 方法一 由題意可知F(1,0),拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.設(shè)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4),y0)),
則由拋物線的定義可知|AF|=eq \f(y\\al(2,0),4)+1.
因為|BF|=3-1=2,
所以由|AF|=|BF|,可得eq \f(y\\al(2,0),4)+1=2,
解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2).
不妨取A(1,2),
則|AB|=eq \r(?1-3?2+?2-0?2)=eq \r(8)=2eq \r(2),故選B.
方法二 由題意可知F(1,0),故|BF|=2,
所以|AF|=2.
因為拋物線的通徑長為2p=4,
所以AF的長為通徑長的一半,
所以AF⊥x軸,
所以|AB|=eq \r(22+22)=eq \r(8)=2eq \r(2).故選B.
4.(2022·濰坊模擬)如圖,某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮,建筑師通過雙曲線的設(shè)計元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡和雕塑般的氣質(zhì),該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點在y軸上的雙曲線eq \f(y2,a2)-eq \f(x2,b2)=1(a>0,b>0)上支的一部分.已知該雙曲線的上焦點F到下頂點的距離為36,F(xiàn)到漸近線的距離為12,則該雙曲線的離心率為( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(5,4)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(4,5)
答案 B
解析 點F(0,c)到漸近線y=±eq \f(a,b)x,
即ax±by=0的距離d=eq \f(|±bc|,\r(a2+b2))=b=12,
又由題意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a+c=36,,a2+122=c2,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=16,,c=20,))所以e=eq \f(c,a)=eq \f(20,16)=eq \f(5,4).
5.(2022·福州質(zhì)檢)已知點F1,F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點,且滿足AF1⊥AB,eq \f(|AF1|,|AB|)=eq \f(4,3),則該橢圓的離心率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3)
答案 B
解析 如圖所示,設(shè)|AF1|=4x,則|AB|=3x,
因為AF1⊥AB,
則|BF1|=eq \r(|AB|2+|AF1|2)=5x,
由橢圓的定義可得
|AF1|+|AB|+|BF1|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF2|+|BF1|)=4a=12x,則x=eq \f(a,3),
所以|AF1|=4x=eq \f(4a,3),
則|AF2|=2a-eq \f(4a,3)=eq \f(2a,3),
由勾股定理可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
則eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4a,3)))2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))2=4c2,則c=eq \f(\r(5),3)a,
因此該橢圓的離心率為e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(5),3).
6.如圖,圓O與離心率為eq \f(\r(3),2)的橢圓T:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)相切于點M(0,1),過點M引兩條互相垂直的直線l1,l2,兩直線與兩曲線分別交于點A,C與點B,D(均不重合).若P為橢圓上任意一點,記點P到兩直線的距離分別為d1,d2,則deq \\al(2,1)+deq \\al(2,2)的最大值是( )
A.4 B.5 C.eq \f(16,3) D.eq \f(25,3)
答案 C
解析 易知橢圓C的方程為eq \f(x2,4)+y2=1,
圓O的方程為x2+y2=1,
設(shè)P(x0,y0),
因為l1⊥l2,
則deq \\al(2,1)+deq \\al(2,2)=|PM|2=xeq \\al(2,0)+(y0-1)2,
因為eq \f(x\\al(2,0),4)+yeq \\al(2,0)=1,
所以deq \\al(2,1)+deq \\al(2,2)=4-4yeq \\al(2,0)+(y0-1)2
=-3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0+\f(1,3)))2+eq \f(16,3),
因為-1≤y0≤1,
所以當(dāng)y0=-eq \f(1,3),即點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(4\r(2),3),-\f(1,3)))時,deq \\al(2,1)+deq \\al(2,2)取得最大值eq \f(16,3).
二、多項選擇題
7.(2022·臨沂模擬)2022年4月16日9時56分,神舟十三號返回艙成功著陸,返回艙是宇航員返回地球的座艙,返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”,如圖在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點,半圓所在的圓過橢圓的焦點F(0,2),橢圓的短軸與半圓的直徑重合,下半圓與y軸交于點G.若過原點O的直線與上半橢圓交于點A,與下半圓交于點B,則( )
A.橢圓的長軸長為4eq \r(2)
B.|AB|的取值范圍是[4,2+2eq \r(2)]
C.△ABF面積的最小值是4
D.△AFG的周長為4+4eq \r(2)
答案 ABD
解析 由題意知,橢圓中的幾何量b=c=2,
得a=2eq \r(2),
則2a=4eq \r(2),A正確;
|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,
由橢圓性質(zhì)可知2≤|OA|≤2eq \r(2),
所以4≤|AB|≤2+2eq \r(2),B正確;
記∠AOF=θ,
則S△ABF=S△AOF+S△OBF
=eq \f(1,2)|OA|·|OF|sin θ+eq \f(1,2)|OB|·|OF|sin(π-θ)
=|OA|sin θ+2sin θ
=(|OA|+2)sin θ,
取θ=eq \f(π,6),
則S△ABF=1+eq \f(1,2)|OA|≤1+eq \f(1,2)×2eq \r(2)0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,左、右頂點分別為A1,A2,點P是雙曲線C上異于頂點的一點,則( )
A.||PA1|-|PA2||=2a
B.若焦點F2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點在C上,則C的離心率為eq \r(5)
C.若雙曲線C為等軸雙曲線,則直線PA1的斜率與直線PA2的斜率之積為1
D.若雙曲線C為等軸雙曲線,且∠A1PA2=3∠PA1A2,則∠PA1A2=eq \f(π,10)
答案 BCD
解析 對于A,在△PA1A2中,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,
可知||PA1|-|PA2||0),
設(shè)P(x0,y0)(y0≠0),
則xeq \\al(2,0)-yeq \\al(2,0)=a2,
則xeq \\al(2,0)-a2=y(tǒng)eq \\al(2,0),
故=eq \f(y0,x0+a)·eq \f(y0,x0-a)
=eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)-a2)=1,故C正確;
對于D,雙曲線C為等軸雙曲線,
即C:x2-y2=a2(a>0),
且∠A1PA2=3∠PA1A2,
設(shè)∠PA1A2=θ,∠A1PA2=3θ,
則∠PA2x=4θ,
根據(jù)C的結(jié)論=1,
即有tan θ·tan 4θ=1,
∴eq \f(sin θ,cs θ)·eq \f(sin 4θ,cs 4θ)=1,
∴cs 5θ=0,
∵θ+3θ∈(0,π),
∴θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,4))),
∴5θ=eq \f(π,2),
∴∠PA1A2=θ=eq \f(π,10).
三、填空題
9.寫出一個滿足以下三個條件的橢圓的方程:______________.①中心為坐標(biāo)原點;②焦點在坐標(biāo)軸上;③離心率為eq \f(1,3).
答案 eq \f(x2,9)+eq \f(y2,8)=1(答案不唯一)
解析 只要橢圓方程形如eq \f(x2,9m)+eq \f(y2,8m)=1(m>0)或eq \f(y2,9m)+eq \f(x2,8m)=1(m>0)即可.
10.(2022·淄博模擬)已知P1,P2,…,P8是拋物線x2=4y上不同的點,且F(0,1).若eq \(FP1,\s\up6(--→))+eq \(FP2,\s\up6(--→))+…+eq \(FP8,\s\up6(--→))=0,則|eq \(FP1,\s\up6(--→))|+|eq \(FP2,\s\up6(--→))|+…+|eq \(FP8,\s\up6(--→))|=________.
答案 16
解析 設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),
P3(x3,y3),…,P8(x8,y8),
P1,P2,P3,…,P8是拋物線x2=4y上不同的點,點F(0,1),準(zhǔn)線為y=-1,
則eq \(FPi,\s\up6(--→))=(xi,yi-1)(i=1,2,…,8),
所以eq \(FP1,\s\up6(--→))+eq \(FP2,\s\up6(--→))+…+eq \(FP8,\s\up6(--→))
=(x1+x2+…+x8,(y1-1)+(y2-1)+…+(y8-1))=0,
所以(y1-1)+(y2-1)+…+(y8-1)=0,
即y1+y2+y3+…+y8=8,
∴|eq \(FP,\s\up6(--→))1|+|eq \(FP2,\s\up6(--→))|+…+|eq \(FP8,\s\up6(--→))|
=(y1+1)+(y2+1)+…+(y8+1)
=y(tǒng)1+y2+…+y8+8=16.
11.(2022·濟南模擬)已知橢圓C1:eq \f(x2,36)+eq \f(y2,b2)=1(b>0)的焦點分別為F1,F(xiàn)2,且F2是拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點,若P是C1與C2的交點,且|PF1|=7,則cs∠PF1F2的值為________.
答案 eq \f(5,7)
解析 依題意,由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=12,而|PF1|=7,則|PF2|=5,
因為點F2是拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點,則該拋物線的準(zhǔn)線l過點F1,如圖,
過點P作PQ⊥l于點Q,
由拋物線定義知|PQ|=|PF2|=5,
而F1F2∥PQ,
則∠PF1F2=∠F1PQ,
所以cs∠PF1F2=cs∠F1PQ=eq \f(|PQ|,|PF1|)=eq \f(5,7).
12.(2022·福州質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)是雙曲線C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左焦點,A為C的右頂點,過F作C的漸近線的垂線,垂足為M,且與y軸交于點P.若直線AM經(jīng)過OP的中點,則C的離心率是________.
答案 2
解析 由題意可知,F(xiàn)(-c,0),A(a,0),
漸近線不妨設(shè)為y=-eq \f(b,a)x,
則kFM=eq \f(a,b),
直線FM的方程為y=eq \f(a,b)(x+c),
令x=0,可得y=eq \f(ac,b),
則Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(ac,b))),
則OP的中點坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(ac,2b))),
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=-\f(b,a)x,,y=\f(a,b)?x+c?,))
解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(a2,c),\f(ab,c))),
因為直線AM經(jīng)過OP的中點,
所以eq \f(\f(ac,2b)-0,0-a)=eq \f(\f(ab,c)-0,-\f(a2,c)-a),
則2b2=ac+c2,2(c2-a2)=ac+c2,
即c2-ac-2a2=0,
則e2-e-2=0,
解得e=-1 (舍)或e=2.
四、解答題
13.(2022·衡水中學(xué)模擬)雙曲線x2-eq \f(y2,b2)=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點.
(1)若l的傾斜角為eq \f(π,2),△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;
(2)設(shè)b=eq \r(3),若l的斜率存在,且(eq \(F1A,\s\up6(--→))+eq \(F1B,\s\up6(--→)))·eq \(AB,\s\up6(→))=0,求l的斜率.
解 (1)設(shè)A(xA,yA).
由題意知,F(xiàn)2(c,0),c=eq \r(1+b2),
yeq \\al(2,A)=b2(c2-1)=b4,
因為△F1AB是等邊三角形,
所以2c=eq \r(3)|yA|,
即4(1+b2)=3b4,
解得b2=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b2=-\f(2,3)舍去)).
故雙曲線的漸近線方程為y=±eq \r(2)x.
(2)由已知,F(xiàn)1(-2,0),F(xiàn)2(2,0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
直線l:y=k(x-2).顯然k≠0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2-\f(y2,3)=1,,y=k?x-2?,))
得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.
因為l與雙曲線交于兩點,
所以k2-3≠0,且Δ=36(1+k2)>0.
設(shè)AB的中點為M(xM,yM).
由(eq \(F1A,\s\up6(--→))+eq \(F1B,\s\up6(--→)))·eq \(AB,\s\up6(→))=0,即eq \(F1M,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=0,
知F1M⊥AB,故
而xM=eq \f(x1+x2,2)=eq \f(2k2,k2-3),
yM=k(xM-2)=eq \f(6k,k2-3),=eq \f(3k,2k2-3),
所以eq \f(3k,2k2-3)·k=-1,得k2=eq \f(3,5),
故l的斜率為±eq \f(\r(15),5).
這是一份2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程學(xué)案,共10頁。學(xué)案主要包含了素養(yǎng)提升等內(nèi)容,歡迎下載使用。
這是一份2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案,共15頁。學(xué)案主要包含了素養(yǎng)提升,二級結(jié)論等內(nèi)容,歡迎下載使用。
這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六第3講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案,共22頁。
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