【知識重溫】
一、必記6個(gè)知識點(diǎn)
1．平面的基本性質(zhì)
2.空間兩條直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系分類：
eq \x(位置,關(guān)系)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直線\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(③ 直線：同一平面內(nèi)，,有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；,④ 直線：同一平面內(nèi)，,沒有公共點(diǎn)；)),異面直線：不同在⑤ 內(nèi)，沒有公共點(diǎn).))
(2)平行公理(公理4)和等角定理：
平行公理：平行于同一條直線的兩條直線⑥________.
等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角⑦_(dá)_______.
(3)異面直線所成的角：
①定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的⑧________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：⑨____________.
3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
4.唯一性定理
(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．
5．異面直線的判定定理
經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線．
6．確定平面的三個(gè)推論
(1)經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
(2)兩條相交直線確定一個(gè)平面．
(3)兩條平行直線確定一個(gè)平面．
二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)
1．異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交．
2．直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”．
【小題熱身】
一、判斷正誤
1．判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．
(1)如果兩個(gè)不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.( )
(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線．( )
(3)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于A點(diǎn)，并記作α∩β＝A.( )
(4)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.( )
(5)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．( )
二、教材改編
2．下列命題正確的是( )
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面
C．圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面
D．梯形可確定一個(gè)平面
3．下列命題中正確的是( )
A．若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α
B．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行
C．如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行
D．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)

三、易錯(cuò)易混
4．設(shè)直線l與平面α平行，直線m在平面α上，那么( )
A．直線l不平行于直線m
B．直線l與直線m異面
C．直線l與直線m沒有公共點(diǎn)
D．直線l與直線m不垂直
5．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行

四、走進(jìn)高考
6．[2018·全國卷Ⅱ]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)

eq \x(考點(diǎn)一) 平面的基本性質(zhì)[互動(dòng)講練型]
[例1]
如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG：GC＝DH：HC＝1：2.
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．
悟·技法
1.證明空間點(diǎn)共線問題的方法
(1)公理法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上．
(2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．
2．點(diǎn)、線共面的常用判定方法
(1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．
(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
1．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．
求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
考點(diǎn)二 異面直線的判定[自主練透型]
1．[2019·全國卷Ⅲ]
如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則( )
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
2．[2021·江西景德鎮(zhèn)模擬]將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是( )
A．相交且垂直 B．相交但不垂直
C．異面且垂直 D．異面但不垂直
3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：
①直線AM與CC1是相交直線；
②直線AM與BN是平行直線；
③直線BN與MB1是異面直線；
④直線AM與DD1是異面直線．
其中正確的結(jié)論為________．(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)

悟·技法
異面直線的判定方法
(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到．
(2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.
考點(diǎn)三 異面直線所成的角[互動(dòng)講練型]
[例2] (1)[2018·全國卷Ⅱ]在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
(2)[2021·河南省豫北名校高三質(zhì)量考評]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的底面為正三角形，且AA1＝AB，E為A1B1上一點(diǎn)，A1E＝2EB1，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為( )
A.eq \f(\r(13),13) B.eq \f(5,13) C.eq \f(2\r(13),13) D.eq \f(12,13)
悟·技法
求異面直線所成的角的三步曲
[提醒] 在求異面直線所成的角時(shí)，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
2．[2021·惠州市高三調(diào)研考試試題]在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AF與BE所成角的余弦值為( )
A．0 B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(2\r(5),5)
第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
【知識重溫】
①過不在一條直線上 ②一條 ③相交 ④平行 ⑤任何一個(gè)平面 ⑥平行 ⑦相等或互補(bǔ) ⑧銳角(或直角) ⑨eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ⑩a∩α＝A ?a∥α ?a?α ?α∥β ?α∩β＝l
【小題熱身】
1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2．解析：因?yàn)樘菪斡幸唤M對邊平行，所以梯形可以確定一個(gè)平面，故選D.
答案：D
3．解析：A中若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α或l與α相交，故A錯(cuò)；B中若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行或異面，故B錯(cuò)；C中如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線與這個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，故C錯(cuò)，D對．故選D.
答案：D
4．解析：∵直線l與平面α平行，由線面平行的定義可知：直線l與平面α無公共點(diǎn)，又直線m在平面α上，∴直線l與直線m沒有公共點(diǎn)，故選C.
答案：C
5．解析：兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不一定平行，故選D.
答案：D
6.
解析：如圖，因?yàn)锳B∥CD，所以AE與CD所成的角為∠EAB.在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2，則BE＝eq \r(5)，則tan∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2)，
所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq \f(\r(5),2)，故選C.
答案：C
課堂考點(diǎn)突破
考點(diǎn)一
例1 證明：(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD.
在△BCD中，eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝eq \f(1,2)，
∴GH∥BD，
∴EF∥GH.
∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC，∴P，A，C三點(diǎn)共線．
變式練
1．證明：(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，
∵E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，
∴FE∥A1B且EF＝eq \f(1,2)A1B.
∵A1D1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，
∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，
∴EF與CD1可確定一個(gè)平面，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq \f(1,2)CD1，
∴四邊形CD1FE是梯形，
∴直線CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，
則P∈CE?平面ABCD，
且P∈D1F?平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1，
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
考點(diǎn)二
1．解析：
取CD的中點(diǎn)O，連接ON，EO，因?yàn)椤鱁CD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則EO＝eq \r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝eq \f(\r(3),2)，CP＝eq \f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝(eq \f(\r(3),2))2＋(eq \f(3,2))2＋22＝7，得BM＝eq \r(7)，所以BM≠EN.連接BD，BE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以N為BD的中點(diǎn)，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線，選B.
答案：B
2．解析：在題圖1中，AD⊥BC，故在題圖2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因?yàn)锽D∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC?平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD與BC異面，故選C.
答案：C
3．解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯(cuò)誤．點(diǎn)B，B1，N在平面BB1C1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．
答案：③④
考點(diǎn)三
例2
解析：(1)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長方體A′B′BA－A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角．連接DB′，由題意，得DB′＝eq \r(12＋?1＋1?2)＝eq \r(5)，B′B1＝eq \r(12＋?\r(3)?2)＝2，DB1＝eq \r(12＋12＋?\r(3)?2)＝eq \r(5).
在△DB′B1中，由余弦定理，得
DB′2＝B′Beq \\al(2,1)＋DBeq \\al(2,1)－2B′B1·DB1·cs∠DB1B′，
即5＝4＋5－2×2eq \r(5)cs∠DB1B′，
∴cs∠DB1B′＝eq \f(\r(5),5).故選C.
(2)如圖，在A1C1上取一點(diǎn)D，使A1D＝2DC1，連接AD，DE，結(jié)合A1E＝2EB1知DE∥B1C1.又B1C1∥BC，所以DE∥BC，所以∠AED為異面直線AE與BC所成的角．設(shè)AA1＝AB＝3，則A1D＝DE＝A1E＝2，所以AD＝AE＝eq \r(AA\\al(2,1)＋A1D2)＝eq \r(13)，則在等腰三角形ADE中，cs∠AED＝eq \f(\f(1,2)DE,AE)＝eq \f(1,\r(13))＝eq \f(\r(13),13)，故選A.
答案：(1)C (2)A
變式練
2．解析：如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，連接CF，AC，EF，AD1，則BC∥B1C1∥EF，且BC＝B1C1＝EF，所以四邊形BCFE為平行四邊形，所以BE∥CF，則異面直線AF與BE所成的角，即直線AF與CF所成的角，即∠AFC或其補(bǔ)角．設(shè)∠AFC＝θ.AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(5)，CF＝eq \r(CC\\al(2,1)＋C1F2)＝eq \r(2)，AF＝eq \r(AD\\al(2,1)＋D1F2)＝eq \r(3).
在△ACF中，由余弦定理可得，
cs θ＝eq \f(AF2＋CF2－AC2,2AF·CF)＝eq \f(3＋2－5,2×\r(3)×\r(2))＝0，故選A.
答案：A
表示
公理
文字語言
圖形語言
符號語言
公理1
如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)
公理2
①__________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面
A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有②______過該點(diǎn)的公共直線
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(P∈α?P∈β?))?
α∩β＝l，且P∈l
圖形語言
符號語言
公共點(diǎn)
直線與平面
相交
⑩________
1個(gè)
平行
?________
0個(gè)
在平面內(nèi)
?________
無數(shù)個(gè)
平面與平面
平行
?________
0個(gè)
相交
?________
無數(shù)個(gè)

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