一、知識梳理
1．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
2．空間直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系的分類
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)))
(2)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
[注意] 兩直線垂直有兩種情況——異面垂直和相交垂直．
(3)等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．
3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)空間中直線和平面的位置關(guān)系
(2)空間中兩個平面的位置關(guān)系
常用結(jié)論
1．公理2的三個推論
推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；
推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；
推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．
2．異面直線判定的一個定理
過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線．
二、教材衍化
1．若直線a不平行于平面α，且a?α，則下列結(jié)論成立的是( )
A．α內(nèi)的所有直線與a異面
B．α內(nèi)不存在與a平行的直線
C．α內(nèi)存在唯一的直線與a平行
D．α內(nèi)的直線與a都相交
解析：選B．若直線a不平行于平面α，且a?α，則線面相交，A選項不正確，α內(nèi)存在直線與a相交；B選項正確，α內(nèi)的直線與直線a的位置關(guān)系是相交或者異面，不可能平行；C選項不正確，因為α內(nèi)的直線與直線a的位置關(guān)系是相交或者異面，不可能平行；D選項不正確，α內(nèi)只有過直線a與平面的交點的直線與a相交．故選B．
2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為________．
解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.
答案：60°
3．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則
(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；
(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．
解析：(1)因為四邊形EFGH為菱形，
所以EF＝EH，故AC＝BD.
(2)因為四邊形EFGH為正方形，
所以EF＝EH且EF⊥EH，
因為EFeq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))eq \f(1,2)AC，EHeq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))eq \f(1,2)BD，
所以AC＝BD且AC⊥BD.
答案：(1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若P∈α∩β且l是α，β的交線，則P∈l.( )
(2)三點A，B，C確定一個平面．( )
(3)若直線a∩b＝A，則直線a與b能夠確定一個平面．( )
(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α.( )
(5)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、易錯糾偏
eq \a\vs4\al(常見誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)對異面直線的概念理解有誤；
(2)對等角定理條件認(rèn)識不清致誤；
(3)對平面的性質(zhì)掌握不熟練，應(yīng)用不靈活．
1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b( )
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
解析：選C．假設(shè)c∥b，又因為c∥a，所以a∥b，這與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能平行．
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1
C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不一定平行
解析：選D．兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不一定平行，故選D．
3．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．
解析：EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行．所以與EF相交的平面有4個．
答案：4
考點一 平面的基本性質(zhì)(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．
核心素養(yǎng)：邏輯推理
如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證：E，C，D1，F(xiàn)四點共面．
【證明】 如圖所示，連接CD1，EF，A1B，
因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，
所以EF∥A1B且EF＝eq \f(1,2)A1B.
又因為A1D1eq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以EF與CD1確定一個平面α，
所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，
即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．
【遷移探究】 (變問法)若本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點”？
證明：如圖，由本例知EF∥CD1，且EF＝eq \f(1,2)CD1，
所以四邊形CD1FE是梯形，
所以CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，
則P∈CE，且P∈D1F，
又CE?平面ABCD，
且D1F?平面A1ADD1，
所以P∈平面ABCD，
且P∈平面A1ADD1.
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，
所以CE，D1F，DA三線交于一點．
eq \a\vs4\al()
共面、共線、共點問題的證明方法
(1)證明點或線共面，①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．
(2)證明點共線，①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定的直線上．
(3)證明線共點，先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．
[提醒] 點共線、線共點等都是應(yīng)用公理3，證明點為兩平面的公共點，即證明點在交線上．
1．(多選)(2021·預(yù)測)用一個平面去截正方體，關(guān)于截面的形狀，下列判斷正確的是( )
A．直角三角形 B．正五邊形
C．正六邊形 D．梯形
解析：選CD．畫出截面圖形如圖：
可以畫出三角形但不是直角三角形，故A錯誤；如圖1經(jīng)過正方體的一個頂點去切就可得到五邊形，但此時不可能是正五邊形，故B錯誤；正方體有六個面，如圖2用平面去截正方體時最多與六個面相交得六邊形，且可以畫出正六邊形，故C正確；可以畫出梯形但不是直角梯形，故D正確．
2.如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．
證明：(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.
在△BCD中，eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝eq \f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.
所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．
(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
所以P為平面ABC與平面ADC的公共點．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，所以P，A，C三點共線．
考點二 空間兩直線的位置關(guān)系(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))認(rèn)識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系．
核心素養(yǎng)：邏輯推理、直觀想象
(2019·高考全國卷Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則( )
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【解析】 如圖，取CD的中點F，連接EF，EB，BD，F(xiàn)N，因為△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.設(shè)CD＝2，則EF＝eq \r(3).因為點N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2eq \r(2)，NF＝1，BC⊥CD.因為平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2eq \r(2)，所以在等腰三角形BDE中，BM＝eq \r(7)，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直線．故選B．
【答案】 B
eq \a\vs4\al()

1．已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則( )
A．m與n異面
B．m與n相交
C．m與n平行
D．m與n異面、相交、平行均有可能
解析：選D．在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯誤．故選D．
2.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：
①直線AM與CC1是相交直線；
②直線AM與BN是平行直線；
③直線BN與MB1是異面直線；
④直線AM與DD1是異面直線．
其中正確的結(jié)論是________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)．
解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤．
答案：③④
考點三 異面直線所成的角(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))求異面直線所成的角關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為平面角，常利用平移法解決．
(1)(2020·成都第一次診斷性檢測)在各棱長均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M是棱BB1的中點，N是棱AC的中點，則異面直線A1M與BN所成角的正切值為( )
A．eq \r(3) B．1
C．eq \f(\r(6),3) D．eq \f(\r(2),2)
(2)四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長為________．
【解析】 (1)如圖，取AA1的中點P，連接PN，PB，則由直三棱柱的性質(zhì)可知A1M∥PB，則∠PBN為異面直線A1M與BN所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)三棱柱的棱長為2，則PN＝eq \r(2)，PB＝eq \r(5)，BN＝eq \r(3)，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝eq \f(PN,BN)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3)，故選C．
(2)如圖，取BC的中點O，連接OE，OF，
因為OE∥AC，OF∥BD，
所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝eq \f(1,2).
當(dāng)∠EOF＝120°時，取EF的中點M，則OM⊥EF，
EF＝2EM＝2×eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2).
【答案】 (1)C (2)eq \f(1,2)或eq \f(\r(3),2)
eq \a\vs4\al()
平移法求異面直線所成角的步驟
具體步驟如下：

1. (2020·廣東省七校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AC與A1B所成的角為( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：選C．如圖，連接CD1，AD1則A1B∥CD1，所以∠ACD1是異面直線AC與A1B所成的角或其補(bǔ)角．易知△ACD1是等邊三角形．所以∠ACD1＝60°，所以異面直線AC與A1B所成的角為60°.故選C．
2．(2020·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，將四邊形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，則異面直線BD與CF所成角的余弦值為________．
解析：如圖，連接DE交FC于點O，
取BE的中點G，連接OG，CG，
則OG∥BD且OG＝eq \f(1,2)BD，
所以∠COG為異面直線BD與CF所成的角或其補(bǔ)角．
設(shè)正方形ABCD的邊長為2，
則CE＝BE＝1，CF＝DE＝eq \r(CD2＋CE2)＝eq \r(5)，
所以CO＝eq \f(1,2)CF＝eq \f(\r(5),2).
易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，
所以BD＝eq \r(DE2＋BE2)＝eq \r(6)，
所以O(shè)G＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(6),2).
易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，
又GE＝eq \f(1,2)BE＝eq \f(1,2)，所以CG＝eq \r(CE2＋GE2)＝eq \f(\r(5),2).
在△COG中，由余弦定理得，
cs∠COG＝eq \f(OC2＋OG2－CG2,2OC·OG)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×\f(\r(5),2)×\f(\r(6),2))＝eq \f(\r(30),10)，所以異面直線BD與CF所成角的余弦值為eq \f(\r(30),10).
答案：eq \f(\r(30),10)
[基礎(chǔ)題組練]
1．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是( )
A．相交或平行 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
解析：選D．依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D．
2．(多選)下列命題正確的是( )
A．梯形一定是平面圖形
B．若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行
C．兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面
D．若兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合
解析：選AC．對于A，由于兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可以確定一個平面，故A正確；對于B，兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行或異面或相交，故B錯誤；對于C，兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面，故C正確；對于D，若兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故D錯誤．
3．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A．若直線a，b相交，設(shè)交點為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．
4. (多選)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論正確的是( )
A．C1，M，O三點共線
B．C1，M，O，C四點共面
C．C1，O，A1，M四點共面
D．D1，D，O，M四點共面
解析：選ABC．連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，所以C1，M，O三點共線，所以選項A，B，C均正確，選項D錯誤．
5. (2020·內(nèi)蒙古集寧一中四模)如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：選A．取CB的中點G，連接EG，F(xiàn)G.則EG∥AB，F(xiàn)G∥CD.所以EF與CD所成的角為∠EFG(或其補(bǔ)角)，因為EF⊥AB，所以EF⊥EG.
EG＝eq \f(1,2)AB＝1，F(xiàn)G＝eq \f(1,2)CD＝2，
所以在Rt△EFG中，sin∠EFG＝eq \f(1,2)，所以EF與CD所成的角為30°.故選A．
6．已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點，則MN與A′C′的位置關(guān)系是_______________________________．
解析：如圖，由題意可知MN∥AC.又因為AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.
答案：平行
7．給出下列四個命題：
①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點；
②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交；
③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；
④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面．
其中真命題的序號是________．
解析：①正確，因為直線在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個公共點．②正確，a，b有交點，則兩平面有公共點，則兩平面相交．③正確，兩平行直線可確定一個平面，又直線與兩平行直線的兩交點在這兩平行直線上，所以過這兩交點的直線也在平面內(nèi)，即三線共面．④錯誤，這三條直線可以交于同一點，但不在同一平面內(nèi)．
答案：①②③
8．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．
解析：如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)
9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．
證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，
因為BB1eq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))DD1，
所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，
又H∈B1D，
B1D?平面BB1D1D，
則H∈平面BB1D1D，
因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，
所以H∈OD1.即D1，H，O三點共線．
10.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，PA＝2.求：
(1)三棱錐P-ABC的體積；
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．
解：(1)S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3)，
三棱錐P-ABC的體積為V＝eq \f(1,3)S△ABC·PA＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×2＝eq \f(4\r(3),3).
(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝eq \r(2)，AD＝2，cs∠ADE＝eq \f(22＋22－2,2×2×2)＝eq \f(3,4).
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq \f(3,4).
[綜合題組練]
1．(創(chuàng)新型)如圖，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點，H是點B在AC上的射影，當(dāng)點C運動時，點H運動的軌跡( )
A．是圓 B．是橢圓
C．是拋物線 D．不是平面圖形
解析：選A．如圖，過點B作圓的直徑BD，連接CD，AD，則BC⊥CD，再過點B作BE⊥AD于點E，連接HE，因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.
又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.
又注意到過點B與直線AD垂直的直線都在同一個平面內(nèi)，于是結(jié)合點B，E位置，可知，當(dāng)點C運動時，點H運動的軌跡是以BE為直徑的圓．故選A．
2. (多選)如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點，將△ABF沿BF所在的直線進(jìn)行翻折，將△CDE沿DE所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過程中，下列說法正確的是( )
A．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，A，C兩點都不可能重合
B．存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°
C．存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為90°
D．存在某個位置，使得直線AB與直線CD所成的角為90°
解析：選ABC．在A中，A與C恒不重合，故A正確；在B中，存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為60°，故B正確；在C中，存在某個位置，使得直線AF與直線CE所成的角為90°，故C正確；在D中，直線AB與直線CD不可能垂直，故D不成立．故選ABC．
3．一正方體的平面展開圖如圖所示，在這個正方體中，有下列四個命題：
①AF⊥GC；②BD與GC成異面直線且夾角為60°；③BD∥MN；④BG與平面ABCD所成的角為45°.
其中正確的是________(填序號)．
解析：將平面展開圖還原成正方體(如圖所示)．
對于①，由圖形知AF與GC異面垂直，故①正確；
對于②，BD與GC顯然成異面直線．如圖，連接EB，ED，則BE∥GC，所以∠EBD即為異面直線BD與GC所成的角(或其補(bǔ)角)．在等邊△BDE中，∠EBD＝60°，
所以異面直線BD與GC所成的角為60°，故②正確；
對于③，BD與MN為異面垂直，故③錯誤；
對于④，由題意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG與平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④錯誤．綜上可得①②正確．
答案：①②
4．(2020·河南安陽調(diào)研四)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E∈平面AA1B1B，點F是線段AA1的中點，若D1E⊥CF，則當(dāng)△EBC的面積取得最小值時，eq \f(S△EBC,S四邊形ABCD)＝________．
解析：如圖所示，連接B1D1，取AB的中點G，連接D1G，B1G.由題意得CF⊥平面B1D1G，
所以當(dāng)點E在直線B1G上時，D1E⊥CF，
設(shè)BC＝a，則S△EBC＝eq \f(1,2)EB·BC＝eq \f(1,2)EB·a，
當(dāng)△EBC的面積取最小值時，線段EB的長度為點B到直線B1G的距離，所以線段EB長度的最小值為eq \f(a,\r(5))，所以eq \f(S△EBC,S四邊形ABCD)＝eq \f(\f(1,2)×\f(a,\r(5))×a,a2)＝eq \f(\r(5),10).
答案：eq \f(\r(5),10)
5.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．
(1)求證：直線EF與BD是異面直線；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．
解：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．
(2)取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．
又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq \f(1,2)AC，
求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.
6. (綜合型)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？
(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.
解：(1)證明：因為AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，
所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．
(2)當(dāng)EH∥FG，且EH＝FG時，四邊形EFGH為平行四邊形．
因為eq \f(EH,BD)＝eq \f(AE,AE＋EB)＝eq \f(m,m＋1)，所以EH＝eq \f(m,m＋1)BD.
同理可得FG＝eq \f(n,n＋1)BD，由EH＝FG，得m＝n.
故當(dāng)m＝n時，四邊形EFGH為平行四邊形．
(3)證明：當(dāng)m＝n時，AE∶EB＝CF∶FB，
所以EF∥AC，
又EH∥BD，
所以∠FEH是AC與BD所成的角(或其補(bǔ)角)，
因為AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，
從而平行四邊形EFGH為矩形，所以EG＝FH.位置關(guān)系
圖形表示
符號表示
公共點
直線a在平面α內(nèi)
a?α
有無數(shù)個
公共點
直線在
平面外
直線a與平面α平行
a∥α
沒有公共點
直線在
平面外
直線a與平面α斜交
a∩α＝A
有且只有一個公共點
直線a與平面α垂直
a⊥α
位置關(guān)系
圖形表示
符號表示
公共點
兩平面平行
α∥β
沒有公共點
兩平面相交
斜交
α∩β＝l
有一條公共直線
垂直
α⊥β且α∩β＝a

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