新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六培優(yōu)點(diǎn)9圓錐曲線與圓的綜合問題學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)一圓的切線與圓錐曲線的綜合問題
例1 已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(1,0)，點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(21),4)))在橢圓上．
(1)求橢圓的方程；
(2)點(diǎn)M在圓x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，過點(diǎn)M作圓x2＋y2＝b2的切線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，問△AF2B的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．
解 (1)由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝c2＝1，,\f(9,4a2)＋\f(21,16b2)＝1，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝3，))
∴橢圓的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)是定值．由題意，
設(shè)AB的方程為y＝kx＋m(k0)，
∵AB與圓x2＋y2＝3相切，
∴eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \r(3)，即m2＝3(1＋k2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))
整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝eq \f(－8km,3＋4k2)，
x1x2＝eq \f(4m2－12,3＋4k2)，
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)
＝eq \r(1＋k2)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－8km,3＋4k2)))2－4·\f(4m2－12,3＋4k2))
＝eq \f(－4km,3＋4k2).
又|AF2|2＝(x1－1)2＋yeq \\al(2,1)
＝(x1－1)2＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,1),4)))
＝eq \f(1,4)(x1－4)2，
∴|AF2|＝eq \f(1,2)(4－x1)＝2－eq \f(1,2)x1，
同理|BF2|＝eq \f(1,2)(4－x2)＝2－eq \f(1,2)x2，
∴|AF2|＋|BF2|＝4－eq \f(1,2)(x1＋x2)
＝4＋eq \f(4km,3＋4k2)
∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4＋eq \f(4km,3＋4k2)－eq \f(4km,3＋4k2)＝4(定值)．
規(guī)律方法處理圓的切線與圓錐曲線綜合問題，主要就是巧設(shè)直線方程，利用圓的切線性質(zhì)(圓心到直線的距離等于半徑)找到直線的參數(shù)之間的關(guān)系或者轉(zhuǎn)化為直線斜率的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．
跟蹤演練1 在平面直角坐標(biāo)系中，F(xiàn)為拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)，D為拋物線C上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，△FOD外接圓的圓心為Q，且圓心Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為eq \f(3,4).
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x0>1)為拋物線C上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2＋(y－1)2＝1的兩條切線l1，l2且與y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最小值．
解 (1)由拋物線C方程x2＝2py，
已知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，準(zhǔn)線y＝－eq \f(p,2)，
外接圓的圓心在直線y＝eq \f(p,4)上，
依題意eq \f(3p,4)＝eq \f(3,4)，即p＝1，拋物線C的方程為x2＝2y.
(2)設(shè)過點(diǎn)P(x0，y0)的直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)，
直線kx－y＋y0－kx0＝0與圓x2＋(y－1)2＝1相切，則eq \f(|?y0－1?－kx0|,\r(1＋k2))＝1，
化簡得(xeq \\al(2,0)－1)k2－2(y0－1)x0·k＋yeq \\al(2,0)－2y0＝0，①
方程的根為k1，k2，
則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＋k2＝\f(2?y0－1?x0,x\\al(2,0)－1)，,k1·k2＝\f(y\\al(2,0)－2y0,x\\al(2,0)－1)，))
設(shè)直線l1，l2在y軸上的截距分別為y1，y2，
則y1＝y(tǒng)0－k1x0，y2＝y(tǒng)0－k2x0，
|AB|＝|y1－y2|＝|k1－k2|·x0
＝x0·eq \r(\f(4?y0－1?2x\\al(2,0),?x\\al(2,0)－1?2)－\f(4?y\\al(2,0)－2y0??x\\al(2,0)－1?,?x\\al(2,0)－1?2))
＝eq \f(2x0\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)－2y0),x\\al(2,0)－1)
＝eq \f(2x0·\r(x\\al(2,0)＋\f(1,4)x\\al(4,0)－x\\al(2,0)),x\\al(2,0)－1)
＝eq \f(x\\al(3,0),x\\al(2,0)－1)，
S＝eq \f(1,2)|AB|·x0＝eq \f(1,2)·eq \f(x\\al(4,0),x\\al(2,0)－1)
＝eq \f(1,2)·eq \f(?x\\al(2,0)－1?2＋2?x\\al(2,0)－1?＋1,x\\al(2,0)－1)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?x\\al(2,0)－1?＋\f(1,x\\al(2,0)－1)＋2))
≥eq \f(1,2)×(2＋2)＝2.
當(dāng)且僅當(dāng)xeq \\al(2,0)－1＝eq \f(1,x\\al(2,0)－1)，即x0＝eq \r(2)時，S△PAB面積取得最小值，面積最小值為2.
考點(diǎn)二圓錐曲線中的四點(diǎn)共圓綜合問題
例2 (2022·重慶模擬)設(shè)動點(diǎn)P與定點(diǎn)F(eq \r(3)，0)的距離和P到定直線l：x＝eq \f(4\r(3),3)的距離的比是eq \f(\r(3),2).
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)動點(diǎn)P的軌跡為曲線C，不過原點(diǎn)O且斜率為eq \f(1,2)的直線l與曲線C交于不同的A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與曲線C交于C，D兩點(diǎn)，證明：A，B，C，D四點(diǎn)共圓．
(1)解設(shè)P(x，y)，
因為動點(diǎn)P與定點(diǎn)F(eq \r(3)，0)的距離和P到定直線l：x＝eq \f(4\r(3),3)的距離的比是eq \f(\r(3),2)，
所以eq \f(\r(?x－\r(3)?2＋y2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(4\r(3),3))))＝eq \f(\r(3),2)，
整理化簡得eq \f(x2,4)＋y2＝1.
所以動點(diǎn)P的軌跡方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)證明設(shè)直線l的方程為y＝eq \f(1,2)x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝\f(1,2)x＋m，))
得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①
方程①的判別式為Δ＝4(2－m2)，
由Δ>0，得2－m2>0，
解得－eq \r(2)