2022-2023學(xué)年湖北省潛江市園林高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面的向量求法，列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，而為平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：A2．已知橢圓的上焦點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，且與一條坐標(biāo)軸相切的圓的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】先求出點(diǎn)，由題意知圓的半徑為即可得圓的方程.【詳解】由題意，橢圓的上焦點(diǎn)為在軸正半軸上，故所求圓只能是與軸相切，切點(diǎn)為原點(diǎn)，所以，可得圓的方程為：，即.故選：A3．已知空間向量，，滿(mǎn)足，，，，則與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．4．若拋物線(xiàn)的弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)AB的斜率為（    ）A．－4 B．4 C．－2 D．2【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求解即可.【詳解】設(shè)，，則.所以，所以.故選：B5．已知直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知，，進(jìn)而利用向量求解異面直線(xiàn)所成角即可.【詳解】解：由題知，在直三棱柱中，平面，平面，∵平面，平面，∴，，∵，，∴.∵，，∴，∴異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為故選：C.6．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C，準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)M，若，且，則p為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義以及圖象可得，結(jié)合已知條件求得，即可.【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)、作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)、，設(shè)，則由己知得，由拋物線(xiàn)的定義得，故，在直角三角形中，，，又因?yàn)?/span>，則，從而得，又因?yàn)?/span>，所以.故選：B.7．已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之積為，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可得出、所滿(mǎn)足的等式，求出的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】由題意可知，，整理得，則，故，因?yàn)?/span>，所以，所以，即．故選：C．8．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，一條漸近線(xiàn)為，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由雙曲線(xiàn)定義可得，根據(jù)平行關(guān)系可知，由余弦定理可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】設(shè)，則點(diǎn)位于第四象限，由雙曲線(xiàn)定義知：，；設(shè)過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)的傾斜角為，則，，；在中，由余弦定理得：，即，整理可得：，.故選：C. 二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)方程為C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)方程為D．直線(xiàn)在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1【答案】AB【分析】根據(jù)直線(xiàn)系的方程求解頂點(diǎn)即可判斷A；結(jié)合點(diǎn)在圓上求解切線(xiàn)判斷B；分和討論判斷C；直接求解直線(xiàn)在坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，故直線(xiàn)過(guò)與的交點(diǎn)，所以，聯(lián)立得，即直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)，點(diǎn)在上，圓心為，所以切線(xiàn)的斜率為，所以切線(xiàn)方程為，即，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角時(shí)，直線(xiàn)方程為，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，令得，令得，所以直線(xiàn)在x軸上的截距為，在y軸上的截距為，故錯(cuò)誤.故選：AB10．如圖，在三棱柱中，，，設(shè)，，，且向量與的夾角為45°，則（    ）A．B．與AC所成的角為60°C．D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值【答案】BD【分析】對(duì)于A，由勾股定理可判斷；對(duì)于B，由題可知，，，，．根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量的夾角運(yùn)算可判斷；對(duì)于C，根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算可判斷；對(duì)于D，由已知得點(diǎn)P在直線(xiàn)上．從而得直線(xiàn)上的點(diǎn)到平面的距離相等，由此可判斷．【詳解】解：對(duì)于A，∵，，∴，故A不正確；對(duì)于B，由題可知，，，，．∵，∴，∴與AC所成的角為60°，故B正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，∵，∴點(diǎn)P在直線(xiàn)上．由于平面，∴直線(xiàn)上的點(diǎn)到平面的距離相等，又的面積為定值，∴三棱錐的體積為定值，故D正確．故選：BD．11．雙曲線(xiàn)具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)m交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)n的反向延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)左焦點(diǎn)．若雙曲線(xiàn)C的方程為，下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則B．當(dāng)n過(guò)時(shí)，光由所經(jīng)過(guò)的路程為13C．射線(xiàn)n所在直線(xiàn)的斜率為k，則D．若，直線(xiàn)PT與C相切，則【答案】CD【分析】對(duì)于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對(duì)于B：利用雙曲線(xiàn)的定義直接求得；對(duì)于C：先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，由P在雙曲線(xiàn)右支上，即可得到n所在直線(xiàn)的斜率的范圍；對(duì)于D：設(shè)直線(xiàn)PT的方程為.利用相切解得，進(jìn)而求出.即可求出.【詳解】對(duì)于A：若，則.因?yàn)?/span>P在雙曲線(xiàn)右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：光由所經(jīng)過(guò)的路程為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：雙曲線(xiàn)的方程為.設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為A、B.如圖示：當(dāng)與同向共線(xiàn)時(shí)，的方向?yàn)?/span>，此時(shí)k=0，最小.因?yàn)?/span>P在雙曲線(xiàn)右支上，所以n所在直線(xiàn)的斜率為.即.故C正確.對(duì)于D：設(shè)直線(xiàn)PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線(xiàn)右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD12．過(guò)橢圓的中心任作一直線(xiàn)交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．周長(zhǎng)的最小值為18B．四邊形可能為矩形C．若直線(xiàn)PA斜率的取值范圍是，則直線(xiàn)PB斜率的取值范圍是D．的最小值為-1【答案】AC【分析】A由橢圓對(duì)稱(chēng)性及定義有周長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓性質(zhì)即可判斷；B根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程與已知判斷正誤；C、D設(shè)，利用斜率兩點(diǎn)式可得，進(jìn)而判斷C正誤，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合橢圓有界性求最值.【詳解】A：根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，，當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí)，有最小值8，所以周長(zhǎng)的最小值為18，正確； B：若四邊形為矩形，則點(diǎn)P，Q必在以為直徑的圓上，但此圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)，錯(cuò)誤； C：設(shè)，則，因?yàn)橹本€(xiàn)PA斜率的范圍是，所以直線(xiàn)PB斜率的范圍是，正確；D：設(shè)，則．因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，最小值為，錯(cuò)誤.故選：AC． 三、填空題13．已知點(diǎn)，，直線(xiàn)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則______．【答案】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線(xiàn)的斜率，根據(jù)直線(xiàn)方程求得直線(xiàn)的斜率，根據(jù)平行的必要條件得到關(guān)于的方程，求得的值，然后檢驗(yàn)點(diǎn)（或點(diǎn)）不在直線(xiàn)上，進(jìn)而得到答案.【詳解】直線(xiàn)的斜率為,直線(xiàn)的斜率為，由于直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，即，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，整理得：，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)（或點(diǎn)）不在直線(xiàn)上，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，故答案為：14．雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為2，則該雙曲線(xiàn)的焦距為____________．【答案】【分析】根據(jù)漸近線(xiàn)方程可得的關(guān)系，然后根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求得，從而求得，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，且其一條漸近線(xiàn)方程為，所以由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，兩焦點(diǎn)到兩漸近線(xiàn)的距離均相等，取漸近線(xiàn)，焦點(diǎn)則，所以，，即所以焦距為故答案為:15．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)與圓的圓心重合，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的直徑，那么短軸長(zhǎng)等于______．【答案】【分析】由于是圓，可得，通過(guò)圓心和半徑計(jì)算，即得解【詳解】由于是圓，即：圓其中圓心為，半徑為4那么橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，即，，，那么短軸長(zhǎng)為故答案為：16．四葉草也叫幸運(yùn)草，四片葉子分別象征著：成功?幸福?平安?健康，表達(dá)了人們對(duì)美好生活的向往.梵克雅寶公司在設(shè)計(jì)四葉草吊墜的時(shí)候，利用了曲線(xiàn)方程（如圖所示）進(jìn)行圖案繪制.試求曲線(xiàn)圍成的封閉圖形的面積___________.【答案】【分析】先對(duì)分情況討論，去掉絕對(duì)值，然后結(jié)合方程表示的圖形求解面積.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第一象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第四象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第二象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程可化為它表示圓心在，半徑為的圓在第三象限的部分；綜上，四個(gè)部分都是半圓，并且它們正好圍成了一個(gè)封閉的區(qū)域.這個(gè)區(qū)域的面積可以割成四個(gè)半圓和一個(gè)正方形，其中正方形的邊長(zhǎng)就是半圓的直徑.所以總面積為.故答案為：. 四、解答題17．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)．(1)以為一組基底表示向量；(2)若，，，求．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）直接利用向量的數(shù)乘運(yùn)算及加減運(yùn)算求解；（2）由向量的單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．【詳解】（1）∵為線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；（2）．18．已知點(diǎn)，________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線(xiàn)處，并作答．(1)求直線(xiàn)的方程；(2)求直線(xiàn)：關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程．條件①：點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；條件②：點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直；條件③點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2) 【分析】（1）計(jì)算直線(xiàn)的斜率，根據(jù)直線(xiàn)的平行或垂直關(guān)系得到斜率，代入點(diǎn)得到直線(xiàn)方程.（2）計(jì)算直線(xiàn)的交點(diǎn)，在直線(xiàn)上取一點(diǎn)，求其關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)得到直線(xiàn)方程.【詳解】（1）選擇條件：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)．因?yàn)?/span>，所以直線(xiàn)的斜率為，又線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線(xiàn)的方程為，即．選擇條件：因?yàn)?/span>，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以直線(xiàn)的斜率為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的方程為，即．選擇條件，因?yàn)?/span>，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以直線(xiàn)的斜率為，又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)的方程為，即．（2），解得，故，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>在直線(xiàn)：上，設(shè)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則，解得，直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，代入兩點(diǎn)式方程得，即，所以：關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程為．19．如圖，圓臺(tái)上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為為圓臺(tái)下底面的一條直徑，圓上點(diǎn)滿(mǎn)足是圓臺(tái)上底面的一條半徑，點(diǎn)在平面的同側(cè)，且.(1)證明：平面平面；(2)若圓臺(tái)的高為2，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，從而得到，根據(jù)平面可得平面，從而得到需求證的面面垂直.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的法向量后可求線(xiàn)面角的正弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，由題意，，又，故.又，故，所以四邊形為平行四邊形，則.由平面，故平面，又面，故平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則有：，故設(shè)平面的法向量而，故，令，得設(shè)所求角的大小為，則.所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.20．已知圓．(1)若圓C被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為8，求圓C的直徑；(2)已知圓C過(guò)定點(diǎn)P，且直線(xiàn)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)弦長(zhǎng)為8，利用弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系列出方程求解即可；（2）求出動(dòng)圓所過(guò)定點(diǎn)，再聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式即可求解.【詳解】（1）依題意可知圓的圓心為，到直線(xiàn)的距離，因?yàn)閳A被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為8，所以，解得，故圓的直徑為.（2）圓的一般方程為，令，，解得，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為.聯(lián)立解得或所以，因?yàn)?/span>，所以.又方程表示一個(gè)圓，所以，所以的取值范圍是.21．已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸，F到直線(xiàn)的距離為.點(diǎn)為此拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，.直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于異于N的兩點(diǎn)A，B，且.(1)求拋物線(xiàn)方程和N點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn) 【分析】（1）設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算，可得關(guān)系，然后代入直線(xiàn)方程可得定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，其焦點(diǎn)為則，∴所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為.，所以，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以.（2）由題意知，直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為（），聯(lián)立方程得設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，（，）.所以所以，即整理得，此時(shí)恒成立，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為，可化為，從而直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).22．已知，直線(xiàn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，l與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)、分別交于M、N兩點(diǎn)．(1)若，且當(dāng)軸時(shí)，△MON的面積為，求雙曲線(xiàn)的方程；(2)如圖所示，若橢圓的離心率，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由題設(shè)可得、，結(jié)合三角形面積可得，由橢圓參數(shù)關(guān)系求a、b，即可寫(xiě)出雙曲線(xiàn)方程.（2）由橢圓離心率可得，進(jìn)而可得雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)，假設(shè)，寫(xiě)出、l方程，聯(lián)立求N坐標(biāo)，由向量的數(shù)量關(guān)系及向量坐標(biāo)表示求A坐標(biāo)，根據(jù)A在橢圓上求值.【詳解】（1）由題設(shè)，且雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，當(dāng)軸時(shí)，，又，△MON的面積為，所以，故，而，可得，所以雙曲線(xiàn)的方程為.（2）對(duì)于橢圓有，而，則，不妨假設(shè)，則且l為，所以，又，，令，則，故，所以，而在橢圓上，則，整理得，綜上，可得. 

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