2022-2023學(xué)年江蘇省常州高級中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．不論為何實數(shù)，直線恒過定點（    ）A．  B．C． D．【答案】C【分析】將直線方程變形為,即可求得過定點坐標(biāo).【詳解】根據(jù)題意,將直線方程變形為因為位任意實數(shù),則,解得所以直線過的定點坐標(biāo)為 故選:C【點睛】本題考查了直線過定點的求法,屬于基礎(chǔ)題.2．拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離是（    ）.A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)焦準(zhǔn)距的意義，可得答案.【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為拋物線，則其焦準(zhǔn)距為，即焦點到準(zhǔn)線的距離是，故選：B3．若直線與平行，則實數(shù)（    ）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】由兩直線平行的條件求解．【詳解】由題意，．故選：D．4．從圓外一點向圓引切線，則此切線的長是（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理可求切線長.【詳解】設(shè)切點為，圓心為，連接，則，而，故選：B .5．關(guān)于的方程有唯一解，則實數(shù)的范圍是（    ）A． B． C．D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與只有一個交點，然后利用數(shù)形結(jié)合處理．【詳解】因為方程有唯一解，即有唯一解，即與的圖象有唯一交點，又，即表示圓心為，半徑為1的上半圓（包括和，而是過定點的直線，如圖：當(dāng)直線與半圓相切時，由圓心到直線的距離公式得：，解得又，由圖象可知，當(dāng)或或時，與的圖象有唯一交點．故選：D6．雙曲線C：的漸近線與圓相切，則雙曲線C的離心率為（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)圓心到漸近線的距離變形可得離心率,即可求解.【詳解】雙曲線C：的一條漸近線與圓相切，則圓心到漸近線的距離，所以曲線C的離心率，故選：B7．橢圓：的上頂點為，點，均在上，且關(guān)于軸對稱，若直線，的斜率之積為，則的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)P點坐標(biāo)，Q點與P點關(guān)于x軸對稱，坐標(biāo)可用P點坐標(biāo)表示，代入斜率之積的關(guān)系式，再結(jié)合橢圓方程，化簡可得a與b的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】，設(shè)，則，則，，，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率，故選：C.8．已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓C1與雙曲線C2有公共焦點，且左，右焦點分別為F1，F2，C1與C2在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1與C2的離心率分別為e1，e2，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，由條件可得m＝10，n＝2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得，運用三角形的三邊關(guān)系求得c的范圍，再由離心率公式，計算即可得到所求范圍．【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，，由于△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．若|PF1|＝10，則有m＝10，n＝2c，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，即有，再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得，可得，即有，由離心率公式可得，因為，所以，，則，，故，，則，即，故的取值范圍是.故選：B．9．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓內(nèi)切，則此圓的方程為（   ）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，根據(jù)與x軸相切，可得b值，根據(jù)兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑差，列出方程，可得a值，即可得答案.【詳解】設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，因為圓與x軸相切，所以b＝6=r，因為兩圓內(nèi)切，所以圓心距，解得，故所求圓的方程為.故選：D 二、多選題10．下列說法中，正確的有（    ）A．點斜式可以表示任何直線B．直線在y軸上的截距為C．直線關(guān)于對稱的直線方程是D．直線與之間的距離為【答案】BD【分析】根據(jù)直線的點斜式、斜截式、平行線間距離及軸對稱可得結(jié)果.【詳解】點斜式，不表示直線，所以不正確；直線在軸上的截距為；滿足直線的截距式方程的含義，所以正確；直線關(guān)于對稱的直線方程是，所以不正確；直線與之間的距離為，所以正確；故選：．11．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．該雙曲線的離心率為 B．該雙曲線的漸近線方程為C．若，則的面積為 D．點到兩漸近線的距離乘積為【答案】BD【分析】利用雙曲線的離心率公式可判斷A選項；求出雙曲線的漸近線方程可判斷B選項；利用雙曲線的定義以及三角形的面積公式可判斷C選項；利用點到直線的距離公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，，，該雙曲線的離心率為，A錯；對于B選項，該雙曲線的漸近線方程為，B對；對于C選項，若，則，所以，，可得，故，C錯；對于D選項，設(shè)點，則，雙曲線的兩漸近線方程分別為、，所以，點到兩漸近線的距離乘積為，D對.故選：BD.12．已知為橢圓的左焦點，經(jīng)過原點的直線與橢圓交于兩點，軸，垂足為(異于原點)，與橢圓的另一個交點為，則（    ）A．B．面積的最大值為C．周長的最小值為12D．的最小值為【答案】ABD【分析】對于A,設(shè)，則，設(shè),利用點差法推出，判斷A;利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式，判斷B;利用橢圓的定義以及幾何性質(zhì)判斷C;利用基本不等式中“1”的巧用，結(jié)合基本不等式可判斷D.【詳解】對于A,設(shè)，則，設(shè) ,由題意可知 ，則 ，兩式相減得，即，即 ,由 ,則，即，故A正確；對于B，由A的分析可知，不妨設(shè)點在第一象限，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故 ，故B正確；對于C，由題意知左焦點為,設(shè)右焦點為，，則根據(jù)橢圓的對稱性可知,故周長為 ,而的最小值為橢圓的短軸長 ，由題意可知不能與橢圓短軸重合，故周長大于，C錯誤；對于D，由C的分析可知， ，故,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確，故選：ABD【點睛】本題綜合考查了橢圓的定義的應(yīng)用以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到線段的垂直和三角形面積以及周長的最值得求法，解答時要注意綜合利用橢圓的相關(guān)知識以及基本不等式的知識解決問題，屬于較難題，計算量較大. 三、填空題13．若拋物線y2＝8x上一點P到其焦點的距離為10，則點P的坐標(biāo)為 _____．【答案】（8,±8）【分析】先求出拋物線的準(zhǔn)線，再由P到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，從而可確定P的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程可確定縱坐標(biāo)，從而可確定答案．【詳解】設(shè)P（xP,yP），∵點P到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線x＝﹣2的距離，拋物線y2＝8x，xp+2＝10，∴xP＝8，yP＝±8，故答案為：（8,±8）．14．已知P為橢圓上的一點，M，N分別為圓（x＋3）2＋y2＝1和圓（x－3）2＋y2＝4上的點，則|PM|＋|PN|的最小值為________．【答案】7【解析】首先根據(jù)橢圓方程求出，由此可知兩圓的圓心分別為橢圓的左右焦點F1，F2，進而根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】由橢圓方程知a＝5，b＝4，c＝3.兩圓的圓心分別為橢圓的左右焦點F1，F2，設(shè)兩圓半徑分別為r1，r2，則r1＝1，r2＝2.所以|PM|min＝|PF1|－r1＝|PF1|－1，|PN|min＝|PF2|－r2＝|PF2|－2，故|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋|PF2|－3＝2a－3＝7.故答案為：7【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，需熟記橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題.15．已知點，若圓上存在點滿足3，則實數(shù)的取值范圍是 _____．【答案】【分析】由已知求出的軌跡為圓，再由圓與圓的位置關(guān)系列不等式求解實數(shù)的范圍．【詳解】設(shè)，則若3，則即∴的軌跡是以原點為圓心，以2為半徑的圓，若圓上存在點滿足3，則圓和圓有公共點，解得： ∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若，為坐標(biāo)原點，則雙曲線的離心率為______.【答案】2【分析】根據(jù)已知條件求出的長度，進而在和，分別求出和，從而建立等量關(guān)系求得，進而可以求出離心率.【詳解】解：因為，一條漸近線方程為，則，，在中，， 又因為，在中，，所以，即，因此，即，所以.故答案為：2.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查求雙曲線的離心率，關(guān)鍵在于根據(jù)漸近線和余弦定理得出關(guān)于a，b，c的齊次式． 四、解答題17．（1）已知直線l過定點，且其傾斜角是直線的傾斜角的二倍，求直線l的方程；（2）已知入射光線經(jīng)過點，且被直線l：反射，反射光線經(jīng)過點，求反射光線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系可求直線的斜率，進而可求直線方程；（2）根據(jù)對稱性先求出反射光線所在直線的斜率，進而可求直線方程.【詳解】因為直線3xy+3＝0的斜率為，則直線的傾斜角為，故所求直線的傾斜角為，直線斜率為，∴所求直線的方程為，即；（2）設(shè)關(guān)于直線l：對稱的點為，則，解得，因為反射光線經(jīng)過點，所以所在直線的斜率為，反射光線所在直線方程為，即.18．已知圓，點A是圓C1上一動點，點，點C是線段AB的中點．(1)求點C的軌跡方程；(2)直線l過點且與點C的軌跡交于 M，N兩點，若，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）利用中點坐標(biāo)公式得到，再由點在圓得到，代入即可得到點C的軌跡方程；（2）分類討論直線l的斜率存在與否，利用弦長公式檢驗或求得斜率，從而可得直線l的方程．【詳解】（1）設(shè)點，因為點C是線段AB的中點，所以，即，因為點在圓C1上運動，所以，所以，即，故點C的軌跡方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為，此時圓心到直線l的距離為，則，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，即，則圓心到直線l的距離，所以，解得，所以直線l的方程為，綜上：直線l的方程為或．19．已知O為坐標(biāo)原點，過點的圓M與直線相切，設(shè)圓心M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點的直線交曲線C于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點，求線段AB的長．【答案】(1)曲線的方程為；(2)線段AB的長為6. 【分析】（1）根據(jù)題意得到，化簡得到答案.（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式得到，再計算弦長得到答案.【詳解】（1）設(shè)點為曲線C上任意一點，因為圓M過點且與直線相切，所以與點M到直線的距離相等，故，整理得，所以曲線的方程為；（2）過點的斜率為0的直線與拋物線只有1個交點，不滿足要求，過點的斜率不存在的直線為，直線與拋物線的交點為，，此時線段AB的垂直平分線為，不滿足要求，所以直線斜率存在且不為，設(shè)直線方程為，，由得，，方程的判別式，設(shè)，，則，設(shè)線段中點，，，因為線段AB的垂直平分線交x軸于點，所以直線與直線垂直，故，.，所以線段AB的長為6.20．已知，，，且．(1)求動點C的軌跡E；(2)若點為直線l：上一動點，過點P引軌跡E的兩條切線，切點分別為A、B，兩條切線PA，PB與y軸分別交于S、T兩點，求面積的最小值．【答案】(1)動點C的軌跡E是以（2，0）為圓心，1為半徑的圓(2) 【分析】(1)根據(jù)已知條件求出動點C的軌跡方程即可判斷其軌跡；(2)設(shè)切線方程，根據(jù)已知條件求出k與t的關(guān)系，再求出|ST|的長度，表示出的面積即可求其最小值.【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴動點C的軌跡E是以(2，0)為圓心，1為半徑的圓；（2）設(shè)切線方程為，即，PA，PB的斜率為，，故圓心C到切線的距離，得，∴，，在切線方程中令可得，故，∴，當(dāng)時，等號成立．故面積的最小值．21．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點為，雙曲線C的左、右頂點分別為A，B．(1)求雙曲線C的方程；(2)過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點（點P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）由題可得，，即求；（2）由題可設(shè)直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理法即證.【詳解】（1）由題意可知在雙曲線C中，，，，解得所以雙曲線C的方程為；（2）證法一：由題可知，設(shè)直線，，，由，得，則，，∴，，；當(dāng)直線的斜率不存在時，，此時.綜上，為定值．證法二：設(shè)直線PQ方程為，，，聯(lián)立得整理得，由過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，則解得，，，，由雙曲線方程可得，，，，∵，∴，，．證法三：設(shè)直線PQ方程為，，，聯(lián)立得整理得，由過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，則解得，∴，，由雙曲線方程可得，，則，所以，，，∴為定值．22．橢圓：，若橢圓：，則稱橢圓與橢圓“相似”.(1)求經(jīng)過點，且與橢圓： “相似”的橢圓的方程；(2)若，橢圓的離心率為，在橢圓上，過的直線交橢圓于兩點，且.①若的坐標(biāo)為，且，求直線的方程；②若直線，的斜率之積為，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）設(shè)出橢圓的方程，結(jié)合點求得橢圓的方程.（2）①先求得的方程，利用在橢圓上求得直線的斜率，從而求得直線的方程. ②結(jié)合直線，的斜率之積、，由在橢圓上列方程，化簡求得的值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，代入點得，所以，所以橢圓的方程為.（2）因為橢圓的離心率為，整理得，所以橢圓，又橢圓與橢圓“相似”，且，所以橢圓，設(shè)，①方法一：由題意得，所以橢圓，將直線，代入橢圓得，解得，故，所以，又，即為中點，所以，代入橢圓得，即，即，所以，所以直線的方程為.方法二：由題意得，所以橢圓，，設(shè)，，，則，代入橢圓得，解得，故，所以， 所以直線的方程為.②方法一： 由題意得，，即，，則，解得，所以，則，，所以，即，所以.方法二：不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)直線，代入橢圓，解得，則，直線的斜率之積為，則直線，代入橢圓，解得，則，，則，解得，所以，則，，所以，即，即，所以.【點睛】在圓錐曲線有關(guān)的問題中，“點在曲線上”是一個很重要的已知條件，根據(jù)這個條件可以列方程，再結(jié)合題目另外的已知條件來對問題進行求解.向量共線的坐標(biāo)表示，是建立點的坐標(biāo)間關(guān)系的簡捷途徑. 

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