?2022-2023學(xué)年湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是

A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【詳解】試題分析：函數(shù)在處無意義，由圖像看在軸右側(cè)，所以，，由即，即函數(shù)的零點(diǎn)，故選C．
【解析】函數(shù)的圖像

2．設(shè)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有x之和為（????）
A． B．3 C． D．8
【答案】C
【分析】則題意可得在和上嚴(yán)格單調(diào)，由可得或，即有或，利用韋達(dá)定理求出這兩個方程的四個根的和即可.
【詳解】解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以，
又因?yàn)楫?dāng)時，是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，
所以當(dāng)時，也是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，
因?yàn)椋?br /> 所以或，
即有或，
設(shè)方程的兩根為，
則有，
設(shè)方程的兩根為，
則有，
所以.
故選：C.
3．己知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)m、n都有，且函數(shù)的最大值為p，最小值為q，則（????）
A． B．2022 C． D．
【答案】D
【分析】由，分別令，，得到是奇函數(shù)，進(jìn)而得到是奇函數(shù)求解.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)m、n都有，
令，得，
令，得，
所以是奇函數(shù)，
設(shè)是奇函數(shù)，
因?yàn)椋?br /> 所以是奇函數(shù)，
所以是奇函數(shù)，
又因?yàn)槠婧瘮?shù)的最大值和最小值互為相反數(shù)，
所以，即，
故選：D
4．若方程表示一條直線，則實(shí)數(shù)滿足（????）
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】由題意可得，不能同時為0，求解即可．
【詳解】當(dāng)時，或；
當(dāng)時，或．
要使方程表示一條直線，則，不能同時為0，所以，
故選：B．
5．已知，，，為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且，若，，，四點(diǎn)共面，則的值為（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)空間向量共面定理即得.
【詳解】因?yàn)?，，，四點(diǎn)共面，，
所以，即.
故選：D.
6．設(shè)、、分別是的對邊長，則直線與的位置關(guān)系是（????）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交
【答案】C
【分析】利用正弦定理化簡即可直接判斷.
【詳解】由正弦定理可知，化為：，即.
所以直線與重合.
故選：C
7．已知向量是空間的一個基底，向量是空間的另一個基底，一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和坐標(biāo)表示即得結(jié)果．
【詳解】向量在基底下的坐標(biāo)為，則，
設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，
則，
所以，解得，
故在基底下的坐標(biāo)為．
故選：A．
8．已知圓和兩點(diǎn)，，.若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最小值和最大值分別為（????）
A．4，7 B．4，6 C．5，7 D．5，6
【答案】B
【分析】由，知動點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，又點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)是圓與圓的交點(diǎn)，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交.由兩圓的位置關(guān)系可以得到代數(shù)關(guān)系，從而求出的取值范圍，進(jìn)而得到的最值.
【詳解】解：如圖，∵，∴點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（除、兩點(diǎn)外），
又點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)是圓與圓的交點(diǎn)，
因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交，即，
解得，∴的最小值為，最大值為.

故選：B.
9．在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為4，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為2和4，對應(yīng)的圓心角為90°，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線與所成角的余弦值．
【詳解】圖，

設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，
以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，
，
又異面直線所成角的范圍為，
故異面直線與所成角的余弦值為．
故選：A．
10．已知圓，圓.若過點(diǎn)的直線與圓、都有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知，過點(diǎn)的直線與兩個圓分別相切時為臨界位置，用點(diǎn)線距離公式列式求出相切時的值，然后結(jié)合圖形可得答案.
【詳解】如圖，由題意可知，過點(diǎn)的直線與兩個圓分別相切時為臨界位置，
即直線介于圖形中的兩直線之間，設(shè)直線的方程為，
與相切時有，解得或，由圖知舍去，
與相切時有，解得或，由圖知舍去，
所以直線斜率的取值范圍是.
故選：D

11．空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個法向量為的平面的方程為，已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直線的方向向量，平面的法向量，再根據(jù)空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解．
【詳解】∵平面的方程為，∴平面的法向量可取，
平面的法向量為，平面的法向量為，
設(shè)兩平面的交線的方向向量為，
由，令，則，，所以，
設(shè)直線與平面所成角的大小為，
則．
故選：C．

二、多選題
12．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若，則下列命題正確的是（????）
A．若且，則 B．若，則
C．若，則 D．若且，則
【答案】BC
【解析】利用特殊值法，不等式的性質(zhì)，作差法判斷．
【詳解】解：，不成立，比如，，
，成立，，，，即，
，成立，，所以，
，不成立，若，，不成立，
故選：．
【點(diǎn)睛】考查不等式的性質(zhì)，和作差法，特殊值法在比較不等式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
13．（多選）若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值可能為（????）
A． B．1 C． D．3
【答案】BC
【分析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意得，即.
解得或.
故選：BC.
14．已知圓和圓交于不同的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】將兩圓方程相減可得直線的方程，將代入直線的方程有，可判斷B選項(xiàng)；
將，代入直線的方程，再兩式相減有，可判斷A選項(xiàng)；
因?yàn)榫€段與線段相互平分，故及，可判斷C選項(xiàng)、D選項(xiàng).
【詳解】解：將兩圓方程相減可得直線的方程，
將代入直線的方程有，即，故B正確；
將，代入直線的方程有及，兩式相減有，故A選項(xiàng)正確；
因?yàn)榫€段與線段相互平分，故及，故C選項(xiàng)錯誤，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
15．如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（????）

A． B．
C．向量與的夾角是60° D．與AC所成角的余弦值為
【答案】AB
【解析】直接用空間向量的基本定理，向量的運(yùn)算對每一個選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷.
【詳解】以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等, 它們彼此的夾角都是60°，
可設(shè)棱長為1,則


而
， 所以A正確.

=0,所以B正確.
向量,
顯然 為等邊三角形，則.
所以向量與的夾角是 ,向量與的夾角是,則C不正確
又，
則，

所以，所以D不正確.
故選：AB
【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的運(yùn)算，用向量求夾角等，屬于中檔題.
16．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．的方程為
B．當(dāng)三點(diǎn)不共線時，射線是的平分線
C．在上存在使得
D．在軸上存在異于的兩個定點(diǎn)，使得
【答案】ABD
【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意可求出的方程可判斷A，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可判斷B，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)并列出方程求解即可判斷C，設(shè)，的坐標(biāo)結(jié)合的方程可判斷D.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則由可得，化簡可得，故A正確；
當(dāng)三點(diǎn)不共線時，因?yàn)椋?，?br /> 所以，所以，射線是的平分線，故B正確；
設(shè)存在，則，即，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，
又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椴粷M足，所以不存在滿足條件，故C錯誤；
假設(shè)軸上存在異于的兩定點(diǎn)，使得，
可設(shè)，，可得，即，
又的軌跡方程為，可得，，
解得，或，（舍去），即存在，，故D正確.
故選：ABD.

三、填空題
17．若集合，則___________
【答案】0
【分析】根據(jù)集合中元素與集合的關(guān)系即可列式求解.
【詳解】解：，則，無解，或，解得.
故答案為：0.
18．“”是“”的___________條件
【答案】充分不必要
【分析】判斷“”能否得到“”，及“”能否得到“”即可.
【詳解】當(dāng)時，，即，
故“”是“”的充分條件.
當(dāng)時，不一定能夠得到，即“”不是“”的必要條件.綜上“”是“”的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要.
19．若集合，，則___________
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)值域的知識求得，從而求得.
【詳解】，；
，
所以，
所以.
故答案為：
20．已知集合有且僅有兩個子集，則滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合是___________
【答案】
【分析】根據(jù)集合的子集的個數(shù)得到集合中只有一個元素，然后分和兩種情況求解即可.
【詳解】因?yàn)榧嫌星覂H有兩個子集，所以集合中只有一個元素，即方程只有一個解，
當(dāng)時，，只有一個解，滿足要求；
當(dāng)時，，解得，所以或0.
故答案為：.
21．命題“，都有”的否定是___________.
【答案】，有
【分析】由命題的否定的定義求解．
【詳解】題“，都有”的否定是：．
故答案為：．
22．若函數(shù)是偶函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是___________
【答案】
【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，以及偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故，
即，
由于為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.
故答案為：
23．己知關(guān)于x的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________
【答案】
【分析】不等式等價于的解集是，分和兩種情況討論求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】恒成立，
不等式等價于的解集是，
當(dāng)時，不成立，解集是，
當(dāng)時， ，解得：，
綜上：.
故答案為：
24．已知函數(shù)，若在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________
【答案】
【分析】根據(jù)減函數(shù)的定義對 的解析式推導(dǎo)即可.
【詳解】由題意， 在 上嚴(yán)格單調(diào)遞減，則必有： ，∴ ，即 .
故答案為： .
25．設(shè)集合為實(shí)數(shù)集的非空子集，若對任意，，都有，，，則稱集合為“完美集合”.給出下列命題：
①若為“完美集合”，則一定有；
②“完美集合”一定是無限集；
③集合為“完美集合”；
④若為“完美集合”，則滿足的任意集合也是“完美集合”.
其中真命題是___________.（寫出所有正確命題的序號）
【答案】①③##③①
【分析】對于①③，可以利用完美集合的定義分析判斷，對于②④可以舉反例分析判斷.
【詳解】因?yàn)椋羌现腥我獾脑?，所以與可以是同一個元素，故0一定在完美集合中，故①正確；
完美集合不一定是無限集，例如，故②錯誤；
集合，在集合中任意取兩個元素，，其中，，，為整數(shù)，則，，，均為整數(shù)加上的整數(shù)倍的形式，故③正確；
，，，也滿足④，但是集合不是一個完美集合，故④不正確.
故答案為：①③
26．方程的兩根、，滿足，則___________
【答案】
【分析】由題意，結(jié)合韋達(dá)定理代入運(yùn)算即可.
【詳解】由題意，，
由韋達(dá)定理，，

，
即，即，
故，即.
故答案為：.
27．試寫出一個點(diǎn)的坐標(biāo)：______，使之與點(diǎn)，三點(diǎn)共線.
【答案】（答案不唯一）
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用向量共線得到，求得，寫出一個符合要求的即可.
【詳解】設(shè)，根據(jù)題意可得()，即，
則，故，不妨令，則，，故.
故答案為：（答案不唯一）.
28．已知，則直線必過定點(diǎn)______.
【答案】
【分析】利用消元法可得直線即為，據(jù)此可求定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】解：因?yàn)?，故?br /> 故直線即為，
整理得到，
由可得，故定點(diǎn)為.
故答案為：
29．過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍______.
【答案】
【分析】由題意可知，方程表示圓，點(diǎn)在圓外，列出不等式組，求解即可.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，
過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則點(diǎn)在圓外，
所以，解得：.
故答案為：.
30．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上.則點(diǎn)到直線的距離的最小值為__________．

【答案】##
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量表示出點(diǎn)P到的距離，利用函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，設(shè)，，
則，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的投影為，
則∥，則點(diǎn)到直線的距離，
∴，
當(dāng)時，，
故答案為：


四、解答題
31．求解下列問題：
(1)求不等式組的解集；
(2)求關(guān)于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)①當(dāng)時，解集為；②當(dāng)時，解集為；③當(dāng)時，解集為

【分析】（1）根據(jù)絕對值不等式、分式不等式的解法求得正確答案.
（2）對進(jìn)行分類討論，從而求得不等式的解集.
【詳解】（1）或，
解得或.
，
解得.
所以不等式組的解集為.
（2）由，
得，，
所以：①當(dāng)時，解集為；
②當(dāng)時，解集為；
③當(dāng)時，解集為.
32．已知正實(shí)數(shù)x、y滿足．
(1)求xy的最小值，并求取最小值時x、y的值；
(2)若的最小值為9，求a的值．
【答案】(1)8，，
(2)2

【分析】（1）利用基本不等式求最小值即可；
（2）利用基本不等式得到，然后列方程，解方程即可.
【詳解】（1），即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為8，此時，，.
（2）由得，則，所以，令，則，解得或-4（舍去），所以，
當(dāng)時，，解得，所以時，取得最小值9，滿足要求，
所以.
33．如圖所示，將一個矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過點(diǎn)C，已知AB長為4米，AD長為3米，設(shè)．

(1)要使矩形花壇AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
(2)要使矩形花壇AMPN的擴(kuò)建部分鋪上大理石，則AN的長度是多少時，用料最??？（精確到0.1米）
(3)當(dāng)AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小，并求出最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)，最小面積48平方米

【分析】（1）利用得到，然后得到，解不等式即可；
（2）結(jié)合（1）得到擴(kuò)建部分的面積，然后利用基本不等式得到面積最小時的長度；
（3）利用基本不等式求最值即可.
【詳解】（1）由題可知，所以，又，所以，，所以，，
，解得或，
由題意得，所以的長的范圍為.
（2）
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以當(dāng)為6米時，用料最省.
（3），當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以當(dāng)為6米時，矩形花壇的面積最小，最小為48平方米.
34．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，記．
(1)求實(shí)數(shù)a、b的值；
(2)若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)t的范圍；
(3)對于定義在上的函數(shù)，設(shè)，，用任意的將劃分為個小區(qū)間，其中，若存在一個常數(shù)，使得不等式恒成立，則稱函數(shù)為上的有界變差函數(shù)，試判斷函數(shù)是否是在上的有界變差函數(shù)，若是，求出M的最小值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)是，5

【分析】（1）根據(jù)在上的單調(diào)性可得的最大值和最小值，結(jié)合已知條件可求的值.
（2）令，可得其最小值，將問題轉(zhuǎn)化為，即可求得的取值范圍.
（3）對任意的上的劃分，必定存在，使得，從而可得，故可得的最大值，從而可判斷是上的有界變差函數(shù)且.
【詳解】（1）因?yàn)榈膶ΨQ軸為直線，
故在為增函數(shù)，所以，
，解得，又，解得.
所以.
（2）
由（1）得，，
令，函數(shù)圖像如圖所示，
則，即
所以，解得
所以
（3）當(dāng)時，，此時，
且在為減函數(shù)，在為增函數(shù).
設(shè)將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間，
且，則存在，
使得，
所以
，
整理得到，
因?yàn)?，?br /> 故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
故是上的有界變差函數(shù)，又，所以.
35．已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在軸上.
(1)求圓的方程；
(2)已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，求所得弦長的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；
（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而求出弦長.
【詳解】（1）由題意可得，圓心為，半徑為2，
則圓的方程為；
（2）由（1）可知：圓的半徑，
設(shè)圓心到的距離為，則，
所以.
36．已知空間三點(diǎn)、、，設(shè)，.
(1)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)或2
(2)或1

【分析】（1）求出向量、的坐標(biāo)，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解之即可；
（2）求出向量與的坐標(biāo)，設(shè)，可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）由已知可得，，
所以，，，
由題意可知，
即，解得或2.
（2），，
由題意，設(shè)，所以，解得或.
因此，或1.
37．已知直線，直線過點(diǎn)，______.在①直線的斜率是直線的斜率的2倍，②直線不過原點(diǎn)且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線中，并解答下列問題.
(1)求的方程；
(2)若與在軸上的截距相等，求在軸上的截距.
【答案】(1)
(2)6

【分析】（1）選擇①：根據(jù)點(diǎn)斜式求解即可；選擇②：設(shè)直線的截距式求解即可；
（2）先求得直線在軸上的截距為，再代入求解可得直線方程，進(jìn)而求得在軸上的截距即可.
【詳解】（1）選擇①.
由題意可設(shè)直線的方程為，
因?yàn)橹本€的斜率是直線的斜率的2倍，所以，
所以直線的方程為，即.
選擇②.
由題意可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，
所以，解得.
所以直線的方程為，即.
（2）由（1）可知直線的方程為，令，可得，
所以直線在軸上的截距為，所以直線在軸上的截距為.
故直線過點(diǎn)，代入，得.
所以直線的方程為.
因此直線在軸上的截距為6.
38．在如圖所示的五面體中，面是邊長為2的正方形，平面，，且，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值的絕對值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法證明線面平行；
（2）求出平面的法向量，利用向量夾角公式求解；
（3）利用點(diǎn)到面的距離公式即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，，平面，所以，?br /> 因?yàn)?，所以，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)槠矫媸沁呴L為2的正方形，，且，為的中點(diǎn)，
所以，，，，，，，所以，
因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄靠梢詾椋?，即?br /> 又平面，所以平面；
（2）因?yàn)?，?br /> 設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，所以，
因?yàn)槠矫?，，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫?，所以?br /> 又因?yàn)?，，，平面，所以平面?br /> 所以平面的法向量可以為，
設(shè)二面角為，則，
所以二面角的余弦值的絕對值為；
（3）由（2）知平面的法向量為，又，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以點(diǎn)到平面的距離.
39．如圖，在長方體中，，，．

(1)求與面所成角的正弦值；
(2)如在上，在上，當(dāng)，時，求的長度．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量，利用向量夾角公式求得結(jié)果；
（2）設(shè)，，，由，得，結(jié)合已知條件列出方程組，求出，得出坐標(biāo)，從而得出答案．
【詳解】（1）在長方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，
，，，
設(shè)面的法向量，
則，，
令，則，，∴，
設(shè)與面所成角為，
∴．
（2）設(shè)，，，
∵，∴，
∴，即，
∴，
由題意，，，
∴，∴，
∴．
40．已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，圓心在直線上．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若圓與軸相交于，兩點(diǎn)（在上方）．直線與圓交于，兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)．請問點(diǎn)是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．
【答案】(1)
(2)是，

【分析】（1）由已知設(shè)出圓心，再由圓心到，的距離都為半徑列出方程解出即可；
（2）聯(lián)立直線與圓的方程并化簡，然后求出直線和的方程，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得出答案．
【詳解】（1）依題意可設(shè)圓心，
則半徑，解得，，
故，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，，由（1）可知，，，
聯(lián)立方程組，消去并化簡得，
容易判斷直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)，即直線與圓一定有兩個交點(diǎn)，
所以，，
直線的方程為①，
直線的方程為②，
由①②可得：，
由，化簡得，
故點(diǎn)在定直線上．

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