2022-2023學(xué)年湖北省孝感市應(yīng)城市第一高級中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（    ）A．3 B．4 C．5 D．25【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)直接求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故選：C2．已知向量，不共線，，，若，則（    ）A．-12 B．-9 C．-6 D．-3【答案】D【分析】根據(jù)，由，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】已知向量，不共線，且，，因?yàn)?/span>，所以，則，所以，解得，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．已知過定點(diǎn)A，則點(diǎn)A到直線的距離是（    ）A．4 B． C．2 D．【答案】B【解析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】由題得，所以，解之得，所以,所以點(diǎn)A到直線的距離是.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題：求直線或曲線經(jīng)過的定點(diǎn)，常用分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點(diǎn).4．如圖，在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可得到，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：依題意在平行四邊形中，，又是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，所以，所以，所以，所以故選：A5．已知，若共面，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，利用向量相等，列方程組求實(shí)數(shù)的值.【詳解】若共面，則，即，所以，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查空間向量共面，重點(diǎn)考查共面的公式，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.6．若，則方程．有實(shí)根的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】列舉出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，應(yīng)用列舉法即可求得概率.【詳解】解：根據(jù)題意，方程有實(shí)根，即，由于則一共可以得到種不同情況，其中方程有實(shí)根有，；，；，；，；，；，；，共種情況，所以所求概率為．故選：C7．已知點(diǎn)，點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圓外的點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的連線長度的最值關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求.【詳解】由條件可知的最大值是，，,所以的最大值是.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題第二問考查與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值，具體結(jié)論如下：（1）設(shè)為圓的圓心，半徑為，圓外一點(diǎn)到圓上的距離的最小值為，最大值為；（2）過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦為圓的直徑，最短弦是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；（3）記圓的半徑為，圓心到直線的距離為，直線與圓相離，則圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，最小值為.8．如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．存在點(diǎn)，使B．異面直線與所成的角最小值為C．無論點(diǎn)在線段的什么位置，都有D．無論點(diǎn)在線段的什么位置，都有平面【答案】B【分析】當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有，即可判斷A選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，設(shè)，進(jìn)而得，，在根據(jù)異面直線夾角的向量求解方法求解即可判斷B選項(xiàng)；結(jié)合B選項(xiàng)討論，證明即可判斷C選項(xiàng)；證明平面平面，再結(jié)合面面平行到線面平行可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對于A，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，所以，即，故A正確；對于B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，設(shè)，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以異面直線與所成的角的余弦值，所以的最小值小于，故B不正確；對于C，結(jié)合B選項(xiàng)的討論，，，則，所以，故C正確；對于D，在正方體中，有，因?yàn)?/span>平面，平面所以，平面，平面，因?yàn)?/span>，平面，所以平面平面因?yàn)?/span>平面，所以，故D正確.故選：B 二、多選題9．某保險(xiǎn)公司為客戶定制了個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．則以下說法正確的是（    ）A．周歲以上的參保人數(shù)最少B．周歲人群參保的總費(fèi)用最少C．丁險(xiǎn)種更受參保人青睞D．周歲及以上的參保人數(shù)占總參保人數(shù)的【答案】AC【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】由參保人數(shù)比例圖可知，周歲以上參保人數(shù)最少，周歲以上的人群約占參保人群的，故A正確，D錯(cuò)誤由參保險(xiǎn)種比例圖可知，丁險(xiǎn)種更受參保人青睞，故 C正確由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，周歲人群人均參保費(fèi)用最少，但是這類人所占比例為，所以總費(fèi)用不一定最少，故B錯(cuò)誤．故選：AC．10．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A．橢圓C的離心率為 B．存在點(diǎn)A使得C．若，則 D．OP與AB的斜率滿足【答案】BC【分析】對于A，由橢圓的方程求出，從而可求出，進(jìn)而可求出離心率；對于B，設(shè)，表示出，由求出的值，則說明；對于C，利用橢圓的定義判斷；對于D，設(shè)直線為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出直線的斜率，進(jìn)而可求得的值，進(jìn)行判斷【詳解】解：對于A，由可得，則，所以離心率為，所以A錯(cuò)誤；對于B，令,設(shè)，則，，若，則，解得，所以存在點(diǎn)A使得，所以B正確；對于C，因?yàn)?/span>，,，所以，所以C正確；對于D，設(shè)直線為，設(shè)，由，得，所以，，所以，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：BC11．下列說法正確的是（    ）A．過點(diǎn)且在、軸截距相等的直線方程為B．過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為C．過兩圓及的交點(diǎn)的直線的方程是D．直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BC【分析】求出直線的方程，可判斷A選項(xiàng)；利用兩直線垂直求出直線的方程，可判斷B選項(xiàng)；求出相交弦所在直線的方程，可判斷C選項(xiàng)；利用直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則有，此時(shí)所求直線方程為，若直線不過原點(diǎn)，設(shè)所求直線方程為，則，此時(shí)所求直線方程為，所以，過點(diǎn)且在、軸截距相等的直線方程為或，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，直線的斜率為，所以，過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為，即，B對；對于C選項(xiàng)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，，，故兩圓相交，將兩圓方程作差得，所以，過兩圓及的交點(diǎn)的直線的方程是，C對；對于D選項(xiàng)，由可得，得，所以曲線表示圓的上半圓，直線表示過點(diǎn)且斜率為的直線，如下圖所示：當(dāng)直線與半圓相切且切點(diǎn)位于第二象限時(shí)，則，解得；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，則，解得.由圖可知，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，D錯(cuò).故選：BC.12．如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，分別是，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A．B．存在點(diǎn)，使平面C．存在點(diǎn)，使直線與所成的角為D．點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值【答案】ABD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷ACD，根據(jù)線面平行的判定定理判斷B【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)，則，由M是棱SD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，，，故A正確；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；，若存在點(diǎn)M，使直線OM與AB所成的角為30°，則，化簡得，方程無解，故C錯(cuò)誤；點(diǎn)M到平面ABCD的距離，點(diǎn)M與平面SAB的距離，所以點(diǎn)M到平面ABCD與平面SAB的距離和為，是定值，故D正確；故選：ABD． 三、填空題13．已知圓柱的軸截面的對角線長為2，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為________.【答案】2π【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l，利用勾股定理可以求出r、 l之間的關(guān)系，最后結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式和基本不等式求出圓柱的側(cè)面積的最大值.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則l＝，0<r<1.圓柱的側(cè)面積為S＝2πrl＝2πr＝4π≤2π[r2＋(1－r2)]＝2π，當(dāng)且僅當(dāng)r2＝1－r2，即r＝時(shí)取“＝”，所以這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為2π.故答案為：2π【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14．2022北京冬奧會(huì)期間，吉祥物冰墩墩成為頂流”，吸引了許多人購買，使一“墩難求甲、乙、丙3人為了能購買到冰墩墩，商定3人分別去不同的官方特許零售店購買，若甲、乙2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，丙購買到冰墩墩的概率為，則甲，乙，丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為_________．【答案】##【分析】先算出甲乙2人均購買不到冰墩墩的概率，然后算出丙購買不到冰墩墩的概率，進(jìn)而算出甲乙丙3人都購買不到冰墩墩的概率，最后算出答案.【詳解】因?yàn)榧滓?/span>2人中至少有1人購買到冰墩墩的概率為，所以甲乙2人均購買不到冰墩墩的概率.同理，丙購買不到冰墩墩的概率.所以，甲乙丙3人都購買不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人購買到冰墩墩的概率.故答案為：.15．已知圓，動(dòng)點(diǎn)在圓上，則面積的最大值為__________．【答案】【分析】化簡，得到和的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，得到當(dāng)時(shí)，面積的最大，進(jìn)而計(jì)算可求解.【詳解】圓，即，圓心為，，即，圓心為，半徑為，，如圖，明顯地，當(dāng)時(shí)，面積的最大，的面積的最大值為．故答案為：16．如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在點(diǎn)處變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為．①軌道Ⅱ的焦距為；    ②若不變，越大，軌道Ⅱ的短軸長越小；③軌道Ⅱ的長軸長為；    ④若不變，越大，軌道Ⅱ的離心率越大．則上述結(jié)論中正確的是：______．（填序號(hào)）【答案】①③④【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可判斷①；由可判斷②；由橢圓的性質(zhì)可判斷③；由離心率可判斷④.【詳解】①，由橢圓的性質(zhì)知，，，解得，故①正確；②，由①知，，所以，若不變，越大，越大，軌道Ⅱ的軸長越小錯(cuò)誤，故②錯(cuò)誤；③，由①知，故軌道Ⅱ的長軸長為，故③正確；④，因?yàn)?/span>，若不變，越大，則越小，所以越大，軌道Ⅱ的離心率越大，故④止確．故答案為：①③④． 四、解答題17．已知非零向量滿足，且．（1）求與的夾角；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）1．【分析】（1）由向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0求得，再由數(shù)量積的定義求得夾角；（2）把已知等式平方，模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，即向量的數(shù)量積運(yùn)算可得．【詳解】（1），與的夾角為，（2），即，，又由（1）知18．已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線，圓．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求圓與圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．【答案】(1)(2)直線方程為，公共弦長為 【分析】（1）根據(jù)題意求出圓心和半徑，即可寫成圓的方程；（2）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，再由圓心到直線的距離和半徑，利用勾股定理求出公共弦長．【詳解】（1）由題意可設(shè)圓心，則，解得，此時(shí)圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即，化簡得，所以圓的圓心到直線的距離為，則，解得，所以所求公共弦長為．所以圓與圓的公共弦所在的直線方程為，公共弦長為19．如圖，在三棱錐中，，，，.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由勾股定理逆定理得到，再由，即可得到平面，從而得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，即可得到⊥平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，，，所以，所以，又，平面，，∴平面，又平面，∴平面⊥平面；（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，所以，又平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，顯然為平面的法向量，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，得，所以，顯然二面角為銳二面角，故所求二面角的平面角為.20．某校對年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的平均分；(2)估計(jì)該校高一期中數(shù)學(xué)考試成績的第百分位數(shù)；(3)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績在和的兩組中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取名學(xué)生，再從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取．名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這名學(xué)生至少有人成績在內(nèi)的概率．【答案】(1)分；(2)分；(3). 【分析】先利用頻率之和為，計(jì)算出，進(jìn)而求出平均值即可；利用百分位數(shù)的運(yùn)算方法，求出成績的第百分位數(shù)；利用分層抽樣取樣方法，算出需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，，需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，，，寫出樣本空間和符合條件樣本點(diǎn)數(shù)，即可求出相應(yīng)概率.【詳解】（1）解：由，得.數(shù)學(xué)成績在：頻率，頻率，頻率，頻率，頻率，頻率，樣本平均值為：，可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績均值為分，據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績估計(jì)分．（2）解：由知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在分以下所占比例為，在分以下所占比例為因此，第百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，可以估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)約為分，據(jù)此可以估計(jì)該校高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績第百分位數(shù)約為分.（3）解：由題意可知，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為 (人)，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為 (人)．用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取名學(xué)生，則需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，，需在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽人，分別記為，，，設(shè)“從樣本中任取人，至少有人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)”為事件，則樣本空間共包含個(gè)樣本點(diǎn)而的對立事件包含個(gè)樣本點(diǎn)所以，所以，即抽取的這名學(xué)生至少有人在內(nèi)的概率為．21．如圖，在三棱錐中，底面ABC，點(diǎn)D，E分別為棱PA，PC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BC的中點(diǎn)，，．Ⅰ求證：平面BDE；Ⅱ求直線MN到平面BDE的距離；Ⅲ求二面角的大?。?/span>【答案】Ⅰ見解析；Ⅱ；Ⅲ【分析】Ⅰ以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面BDE．Ⅱ求出0，，利用向量法得直線MN到平面BDE的距離．Ⅲ求出平面BDE的法向量和平面DEP的法向量，利用向量法能求出二面角的大?。?/span>【詳解】Ⅰ在三棱錐中，底面ABC，點(diǎn)D，E分別為棱PA，PC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BC的中點(diǎn)，，．以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，，0，，4，，2，，0，，0，，2，，2，，0，，2，，設(shè)平面BDE的法向量y，，則，取，得0，，，平面BDE，平面BDE．Ⅱ，0，，直線MN到平面BDE的距離：．Ⅲ平面BDE的法向量0，，平面DEP的法向量0，，設(shè)二面角的大小為，則．．二面角的大小為．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．22．已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，直線和的斜率都存在且不為，試問直線和的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；(3)斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程．【答案】(1)；(2)是，(3)最大值為， 【分析】（1）根據(jù)和過點(diǎn)可求結(jié)果；（2）設(shè)，所以，，從而得到．（3）先聯(lián)立直線與橢圓得出，點(diǎn)到直線的距離為，計(jì)算，利用均值不等式求面積的最值和直線的方程．【詳解】（1），，將代入橢圓方程得，所以橢圓方程為；（2）依題意得在橢圓上，直線和的斜率都存在且不為，設(shè)，所以，，，所以直線和的斜率之積為定值；（3）設(shè)直線的方程為，，由消去，整理得，，則，則，，點(diǎn)到直線的距離為，，當(dāng)，即時(shí)面積最大，且最大值為，此時(shí)直線的方程為． 

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