2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第一中學(xué)校高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，， 則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是 ，即.故選：B.2．已知直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)（    ）A．1 B．3 C．1或 D．或3【答案】C【分析】由兩直線垂直可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直，所以解得或，故選：C3．直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（    ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)圓的相關(guān)知識(shí)即可求得弦長(zhǎng).【詳解】由已知圓，圓心為，半徑 所以圓心到直線距離所以故選：B4．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線線平行可用幾何法找到兩異面直線所成的平面角，再利用銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】取中點(diǎn),連接,，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，由于分別為的中點(diǎn)，則，又在正方體中，易得，所以，故異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，又平面，故，所以在直角三角形中，，易知異面直線與所成角為銳角，所以其余弦值為.故選：D..5．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)等于（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】先由橢圓方程求出，然后根據(jù)已知條件結(jié)合橢圓的定義可求出的長(zhǎng).【詳解】由，得，則，由題意可得，因?yàn)?/span>，，所以，得，故選：A.6．已知直線過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（    ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)直線一個(gè)方向向量為，取直線的一個(gè)單位方向向量為，計(jì)算，代入點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】直線的一個(gè)方向向量為，取直線一個(gè)單位方向向量為，又為直線外一點(diǎn)，且直線過(guò)點(diǎn)， ，，點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.7．已知點(diǎn)P為圓：上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓：上任一點(diǎn)，則的最小值為（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意得兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，進(jìn)而得的最小值為.【詳解】解：由題知，圓半徑為，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為，圓心坐標(biāo)為，所以兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，所以，，所以的最小值為．故選：A8．設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，則直線和直線的斜率之積（　?。?/span>A．是定值 B．非定值，但存在最大值C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值【答案】A【分析】連接并延長(zhǎng)交軸于，，再由內(nèi)角平分線定理可得；設(shè)，，，代入橢圓方程可求出，結(jié)合得，進(jìn)一步求出，再表示出，化簡(jiǎn)即可得答案．【詳解】連接并延長(zhǎng)交軸于，則由內(nèi)角平分線定理可得：，，；設(shè)，，，則，，，則，又，則．，則，，，則，直線和直線的斜率之積是定值．故選：A． 二、多選題9．已知空間中三點(diǎn)，，，則（    ）A． B．C． D．A，B，C三點(diǎn)共線【答案】AB【詳解】易得，，，，A正確;因?yàn)?/span>，所以，B正確，D錯(cuò)誤;而，C錯(cuò)誤.故選: AB.10．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線都可以用方程表示B．方程表示的直線斜率一定存在C．直線過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到的距離是2，則的方程是D．坐標(biāo)平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)的直線還可以寫成【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，考慮直線在坐標(biāo)軸上截距為0時(shí)，得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，得到表示的直線斜率為，B正確；C選項(xiàng)，考慮直線斜率不存在時(shí)，方程為，滿足要求，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)點(diǎn)在直線上，得到，從而，變形后得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上截距為0時(shí)，不能用方程來(lái)表示，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，方程表示的直線斜率為，故斜率一定存在，B正確；C選項(xiàng)，直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)原點(diǎn)到的距離是2，滿足要求，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由點(diǎn)到直線距離公式可得：，解得：，此時(shí)直線方程為，即，綜上：直線過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到的距離是2，則的方程是或，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，故，由題意得，故，整理得：，D正確.故選：BD11．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)；平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，．點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論正確的是（    ）A．的方程為B．在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為C．在上存在點(diǎn)，使得D．上的點(diǎn)到直線的最小距離為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)，由結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)即可判斷，對(duì)于B，由A可知曲線C的方程表示圓心為，半徑為的圓，從而可求出圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的范圍，進(jìn)而進(jìn)行判斷，對(duì)于C，設(shè)，由，由距離公式可得方程，再結(jié)點(diǎn)在曲線C上，得到一個(gè)方程，兩方程聯(lián)立求解判斷，對(duì)于D，由于曲線C的方程表示圓心為，半徑為的圓，所以只要求出圓心到直線的距離減去圓的半徑可得答案【詳解】由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，化簡(jiǎn)得，即，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，曲線C的方程表示圓心為，半徑為的圓，點(diǎn)與圓心的距離為，與圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，而，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)，由，得，又，聯(lián)立方程消去得，解得無(wú)解，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，的圓心到直線的距離為，且曲線的半徑為，則上的點(diǎn)到直線的最小距離故選項(xiàng)D正確；故選：ABD．12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．四點(diǎn)共面B．到平面的距離為C．過(guò)點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積為D．四面體內(nèi)切球的表面積為【答案】BD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算的坐標(biāo)，從而判斷選項(xiàng)A；根據(jù)等體積法求到平面的距離，從而判斷選項(xiàng)B；作輔助線得出截面為梯形，求出梯形面積即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)等體積法計(jì)算四面體的內(nèi)切球半徑，計(jì)算球的表面積判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于 A, 構(gòu)建如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系, 則 , ,不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，即不共線，所以四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于 ,如圖(2), 連接 , 設(shè) 到平面 的距離為 , 即點(diǎn) 到平面 的 距離, , 即 , 求得 , 故 B 正確.對(duì)于C, 取 的中點(diǎn) , 連接 , 則 , 如圖(2)所示,則梯形 為過(guò)點(diǎn) 的平面截正方體 所得的截面, 易知 , , 可得梯形 的高為 , 則梯形 的面積 , 故 C 錯(cuò)誤.對(duì)于D, 易知四面體 的體積 , 因?yàn)樗拿骟w 的棱長(zhǎng)都為 , 所以其表面積 . 設(shè)四面體 內(nèi)切球的半徑為 , 則 , 解得 , 所以四面體 內(nèi)切球的表面積為 , 故 D 正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線到平面的距離、四點(diǎn)共面、內(nèi)切球表面積和截面面積的計(jì)算，考查棱錐與球的位置關(guān)系，屬于難題. 三、填空題13．已知，則_________.【答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】,所以，故答案為：14．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則該切線的一般式方程為________．【答案】【分析】由圓心、切點(diǎn)坐標(biāo)求得，即可知切線的斜率，寫出切線方程即可.【詳解】∵點(diǎn)在圓C上，，∴切線斜率，故切線方程為，即．故答案為：15．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則_________.【答案】【分析】兩圓方程相減，即可求出直線AB的方程為，求出圓心到直線AB的距離d，進(jìn)而根據(jù)幾何法得弦.【詳解】解：因?yàn)閳A與圓相交于兩點(diǎn)，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故答案為：.16．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且在第一象限，過(guò)作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為______.【答案】【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，根據(jù)PA是的外角平分線，得到，，再利用橢圓的定義求解.【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，∵PA是的外角平分線，，，又O是的中點(diǎn)，，且.又，，，∴離心率為.故答案為： 四、解答題17．已知的頂點(diǎn)邊上的高所在直線方程為，角的平分線所在直線方程為.(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系和點(diǎn)在直線上得到方程組，解得答案.（2）計(jì)算點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，計(jì)算斜率得到直線方程.【詳解】（1）設(shè)，則有，，即，解得，即；（2）點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，，解得，即，，直線的方程：，整理：.18．如圖，在直三棱柱中，，，分別為和的中點(diǎn)，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）首先通過(guò)線面垂直的判定定理得證平面，從而得證；（2）首先通過(guò)線面垂直的判定定理得證平面，從而得到即為所求角，求出該角的正弦值即可得到答案.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>是直三棱柱，所以平面，平面，所以，又因?yàn)?/span>，為中點(diǎn)，所以，，所以平面，平面，所以．（2）依題意得，又因?yàn)?/span>，，所以，，所以平面．，，所以平面，連結(jié)，即為直線與平面所成角．因?yàn)?/span>，所以，，.所以與平面所成角的正弦值為．19．已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若直線（為任意實(shí)數(shù)）與交于兩點(diǎn)，求取得最小值時(shí)直線方程.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線所過(guò)的定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍，所以有；（2），因?yàn)?/span>，所以有，因此直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，圓心為，因此當(dāng)直線與直線互相垂直時(shí)，有最小值，所以直線的方程為.20．如圖，已知平面，底面為矩形，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1) 若為中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定即可證明；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，易知是面的一個(gè)法向量，求出平面的法向量量，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）若為中點(diǎn)，連接，又?為?的中點(diǎn)，底面為矩形，所以且，而且，所以且，故為平行四邊形，故，又面，面，則面.（2）由題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，，，，則，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，故，又是面的一個(gè)法向量，所以，故平面與平面的夾角的余弦值.21．已知圓：.（1）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；（2）已知點(diǎn)，，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心與半徑，討論直線的斜率存在或不存在，當(dāng)不存在時(shí)，設(shè)出點(diǎn)斜式，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑即可求解.（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值即可求解.【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，圓：，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，∴所以直線方程為：.（2）∵，，∴，直線的方程為：，圓心到直線AB的距離為：，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為，所以.22．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，左頂點(diǎn)A到右焦點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程(2)設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（不同于A），且直線和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，求證：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）依題意可得、，再根據(jù)，即可求出、，從而求出橢圓方程、離心率；（2）設(shè)直線為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，依題意可得，即可得到方程，整理得到，即可得到、的關(guān)系，從而求出直線過(guò)定點(diǎn)；【詳解】（1）解：依題意、，又，解得，，所以橢圓方程為，離心率；（2）解：由（1）可知，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立方程得，消去整理得，設(shè)，，所以，；因?yàn)橹本€和的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數(shù)，所以；即所以，即，所以，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線：，恒過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)橹本€不過(guò)A點(diǎn)，所以舍去；當(dāng)時(shí)，直線：，恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，，，則，且，解得或（舍去）；綜上可得直線恒過(guò)定點(diǎn). 

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