2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市香坊區(qū)第六中學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．兩直線和之間的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】把兩個方程中對應(yīng)項系數(shù)化為相同，然后由平行間距離公式計算．【詳解】方程化為，所求距離為．故選：A．2．若直線與圓有兩個公共點，則點與圓的位置關(guān)系是（    ）A．點P在圓上 B．點P在圓外C．點P在圓內(nèi) D．以上都有可能【答案】B【分析】由題意可得圓心到直線的距離小于半徑1，從而可得，進而可得結(jié)論【詳解】因為直線與圓有兩個公共點，所以圓心到直線的距離小于半徑1，即，所以，所以，所以點與圓外，故選：B3．隨機變量的分布列是.若，則（    ）-212 A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分布列的概率之和為1，利用期望的性質(zhì)和方差公式求解.【詳解】由題意可知，，解得，所以.故選：B.4．設(shè)是橢圓：上一點，，分別是的左、右焦點，則（    ）A．5 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到橢圓的焦點的位置，，，再利用橢圓的定義求解.【詳解】依題意得橢圓：焦點在軸，且，，因為，所以，即，又，，所以，故選：A．5．流感是流行性感冒的簡稱，是由流感病毒引起的一種呼吸道傳染病.接種疫苗是預(yù)防流感的主要措施.某醫(yī)療研究所為了檢驗?zāi)沉鞲幸呙珙A(yù)防感冒的作用，把500名使用疫苗的人與另外500名末使用疫苗的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)“注射此種疫苗對預(yù)防流感無關(guān)”，利用列聯(lián)表計算得，經(jīng)查臨界值表知.則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若某人未使用該疫苗，那么他在一年中有的可能性得感冒B．在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“注射此種疫苗對預(yù)防流感有關(guān)”C．這種疫苗預(yù)防感冒的有效率為D．這種疫苗預(yù)防感冒的有效率為1%【答案】B【分析】根據(jù)獨立性檢驗的性質(zhì)判斷即可【詳解】根據(jù)獨立性檢驗，可以得到B正確，其余的理解均不正確.故選：B6．甲?乙?丙三人相約一起去做核酸檢測，到達(dá)檢測點后，發(fā)現(xiàn)有兩支正在等待檢測的隊伍，則甲?乙?丙三人不同的排隊方案共有（    ）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】C【分析】對該問題進行分類，分成以下情況①3人到隊伍檢測，②2人到隊伍檢測，③1人到隊伍檢測，④0人到隊伍檢測；然后，逐個計算后再相加即可求解；注意計算時要考慮排隊時的順序問題.【詳解】先進行分類：①3人到隊伍檢測，考慮三人在隊的排隊順序，此時有種方案；②2人到隊伍檢測，同樣要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；③1人到隊伍檢測，要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；④0人到隊伍檢測，要考慮兩人在隊的排隊順序，此時有種方案；所以，甲?乙?丙三人不同的排隊方案共有24種.故選：C7．已知，、分別在軸和軸上運動，為原點，，則點的軌跡方程為（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點、、，利用平面向量的坐標(biāo)運算可得出，再利用化簡可得出點的軌跡方程.【詳解】設(shè)點、、，由可得，所以，，解得，所以，，化簡可得.因此，點的軌跡方程為.故選：A.8．平面直角坐標(biāo)系中，，，若動點在直線上，圓過A，B，C三點，則圓的半徑最小值為（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先判斷出C點需在第一象限內(nèi).可設(shè).設(shè)圓心，半徑為r，由，得到，利用基本不等式求出，圓M的面積最小.【詳解】為使圓M的面積盡可能小，則C點需在第一象限內(nèi).可設(shè).因為，，所以線段AB的垂直平分線方程為.所以圓心在直線上.設(shè)圓心，半徑為r，則，所以，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）.所以.此時，圓M的面積最小.故選：A 二、多選題9．下列說法中，正確的是（    ）A．直線在軸上的截距為3B．直線的一個方向向量為C．，，三點共線D．過點且在，軸上的截距相等的直線方程為【答案】BC【分析】結(jié)合直線截距的意義、直線方向向量的定義以及平面共線向量的運算依次判斷選項即可.【詳解】A：直線在y軸上的截距為-3，故A錯誤；B：由題意，點在直線上，故直線的一個方向向量為，故B正確；C：由可得，所以，A、B、C三點共線，故C正確；D：斜率為，以及過原點的直線在在x、y軸截距都相等，故過點且在x、y軸截距相等的直線方程為或，故D錯誤.故選：BC10．已知，則（    ）A．的值為2 B．的值為16C．的值為﹣5 D．的值為120【答案】ABC【分析】利用賦值法判斷A、C、D；利用通項公式判斷B.【詳解】令x＝0，得，故A正確；，故，B正確；令x＝1，得①，又，∴，故C正確；令x＝﹣1，得②，由①②得：，D錯誤．故選：ABC【點睛】本題主要考查二項展開式的通項公式，以及賦值法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題,11．假設(shè)某市場供應(yīng)的智能手機中，市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表：品牌甲乙其他市場占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率80%90%70% 在該市場中任意買一部智能手機，用，，分別表示買到的智能手機為甲品牌?乙品牌?其他品牌，B表示買到的是優(yōu)質(zhì)品，則（    ）A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．【答案】ACD【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)合條件概率公式、全概率公式逐一判斷即可.【詳解】因為乙品牌市場占有率為30%，所以，因此選項A正確；因為，所以選項B不正確；因為，所以選項C正確；因為所以選項D正確，故選：ACD12．已知橢圓的左?右焦點分別為，點為橢圓的一個動點，點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．存在點，使得B．的面積最大值為C．點到直線距離的最大值為D．的最大值為7【答案】BCD【分析】利用橢圓的定義及幾何性質(zhì)可判斷ABD，利用三角函數(shù)可判斷C.【詳解】對于A，當(dāng)P為橢圓短軸頂點時，為最大，此時，即為銳角，所以不存在點P使得，故A錯誤；對于B，當(dāng)P為橢圓短軸頂點時，的面積最大，且最大面積為：，故B正確；對于C，由橢圓，令 ，則在橢圓上，則到直線的距離為，當(dāng)時，，故C正確；對于D，由橢圓，所以，又，所以，所以，故D正確.故選：BCD. 三、填空題13．若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則_________.【答案】##【分析】由已知可得：，從而計算出，再利用對稱性，即可計算出.【詳解】由隨機變量服從正態(tài)分布，且，可得：，且，又，所以.故答案為：0.3514．設(shè)隨機變量ξ~B (2，p)，若P(ξ≥1)=，則D(ξ)的值為_________.【答案】【分析】由二項分布的特征，先求出，套公式即可求出D(ξ).【詳解】因為隨機變量ξ~B (2，p)，且P(ξ≥1)=，所以P(ξ≥1)== =.解得：.所以D(ξ).故答案為：15．已知直線，若直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有公共點，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖像，觀察圖像得到直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有公共點時，其臨界直線分別為直線，求出對應(yīng)的斜率可寫出的取值范圍.【詳解】如圖所示，由直線得直線過點，由題意得圓，圓心為，半徑為，令得或，所以圓與軸的交點為，所以直線的斜率為，當(dāng)直線與圓相切時，有，整理得，解得，其中切線的斜率為，若直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有公共點，則直線斜率的取值范圍為.故答案為：.16．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P為橢圓上一點，線段與y軸交于點Q，若，且為等腰三角形，則橢圓的離心率為____________.【答案】【分析】由線段與y軸交于點Q，得點橫坐標(biāo)，代入橢圓方程得點縱坐標(biāo)，由為等腰三角形，得，用表示此等式轉(zhuǎn)化為離心率的方程，解之可得．【詳解】，線段與y軸交于點Q，，在右側(cè)，則，，，為等腰三角形，則，所以，，整理得，，，故答案為：． 四、解答題17．已知圓及其上一點.(1)設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程；(2)設(shè)圓與圓外切于點，且經(jīng)過點，求圓的方程.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）由題意可設(shè)直線的方程為，再由根據(jù)弦長結(jié)合點到直線的距離與勾股定理求解即可；（2）由題意可知圓心在直線上也在在的中垂線上，先求出這兩條直線，再聯(lián)立可得圓心坐標(biāo)，進而可得半徑，即可求解【詳解】（1）因為直線，所以直線的斜率為.設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離.則，又，所以，解得或，即直線的方程為：或.（2）因為圓與圓外切于點，所以圓心在直線上由兩點式得直線方程為又因為圓經(jīng)過點和，所以圓心在的中垂線上，中點為所以中垂線方程為，即由解得圓心坐標(biāo)為，半徑所以圓的方程為18．2022年2月22日，中央一號文件發(fā)布，提出大力推進數(shù)字鄉(xiāng)村建設(shè)，推進智慧農(nóng)業(yè)發(fā)展．某鄉(xiāng)村合作社借助互聯(lián)網(wǎng)直播平臺，對本鄉(xiāng)村的農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，在眾多的網(wǎng)紅直播中，隨機抽取了10名網(wǎng)紅直播的觀看人次和農(nóng)產(chǎn)品銷售量的數(shù)據(jù)，如下表所示：觀看人次x（萬次）76827287937889668176銷售量y（百件）808775861007993688577 參考數(shù)據(jù)：．(1)已知觀看人次與銷售量線性相關(guān)，且計算得相關(guān)系數(shù)，求回歸直線方程；(2)規(guī)定：觀看人次大于等于80（萬次）為金牌主播，在金牌主播中銷售量大于等于90（百件）為優(yōu)秀，小于90（百件）為不優(yōu)秀，對優(yōu)秀賦分2，對不優(yōu)秀賦分1．從金牌主?中隨機抽取3名，若用表示這3名主播賦分的和，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．（附：，相關(guān)系數(shù)）【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）由相關(guān)系數(shù)求出，進而可得，即可求出回歸直線方程；（2）的可能取值為3，4，5，求出對應(yīng)的概率，得到分布列，然后求出期望即可．【詳解】（1）因為，所以所以，所以，，，所以回歸直線方程為．（2）金牌主播有5人，2人賦分為2，3人賦分為1，則隨機變量的可能取值為3，4，5，，，，所以的分布列為：345 所以．19．已知平面上動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，動點的軌跡為曲線.直線與曲線交于兩個不同的點.(1)若直線的方程為，求的面積；(2)若的面積為，證明：和均為定值.【答案】(1)(2)證明見解析. 【分析】（1）由題知曲線的方程為，進而直線的方程與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合弦長公式得，原點到直線的距離為，再計算面積即可；（2）先考慮直線斜率存在時的情況，設(shè)其方程為，進而與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合弦長公式得，再計算，即可證明.【詳解】（1）解：動點與定點的距離為，到定直線的距離為，所以，化簡得，所以，曲線的方程為；所以，聯(lián)立方程得，所以，，所以，原點到直線的距離為，，所以，的面積所以，的面積為（2）解：由（1）曲線的方程為，因為直線的斜率存在，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，， ，原點到直線的距離為，，所以的面積為，化簡得，即，，，所以為定值.所以，所以，為定值.當(dāng)斜率不存在時，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，所以，所以，，所以，的面積為，解得，所以，，綜上，為定值，為定值. 

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