2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為1，則（    ）A．7 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故選：B2．直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線(xiàn)有（    ）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，由方程只有一個(gè)解即可判斷作答.【詳解】依題意，直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：，由消去y并整理得：，當(dāng)，即時(shí)，方程只有一個(gè)解，此時(shí)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)l有兩條，當(dāng)時(shí)，，解得，方程有二等根，此時(shí)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)l有兩條，綜上得這樣的直線(xiàn)有4條，D正確.故選：D3．設(shè)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，分別為左?右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使得，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出，，再利用橢圓定義及圓的定義求解作答.【詳解】由橢圓可得，，即點(diǎn)，依題意，，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，方程為.故選：C4．年月日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂降重開(kāi)幕，為了增強(qiáng)主席臺(tái)的亮度，且為了避免主席臺(tái)就坐人員面對(duì)強(qiáng)光的不適，燈光設(shè)計(jì)人員巧妙地通過(guò)雙曲線(xiàn)鏡面反射出發(fā)散光線(xiàn)達(dá)到了預(yù)期的效果.如圖，從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)，發(fā)出的光線(xiàn)的反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則當(dāng)與恰好相等時(shí)，（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率可得關(guān)系，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義可用表示出三邊長(zhǎng)，利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】離心率，；，則根據(jù)雙曲線(xiàn)定義知：，.故選：A.5．已知圓與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，則（    ）A． B． C．8 D．2【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑1，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，依題意，，解得，所以.故選：A6．若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先確定雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程，結(jié)合圓的方程可確定兩漸近線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)相等；利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得的值，進(jìn)而根據(jù)離心率可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程得：漸近線(xiàn)方程為；由圓的方程知：圓心為，半徑；與圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，圓的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，兩條漸近線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)相等，不妨取，即，則圓心到直線(xiàn)距離，弦長(zhǎng)為，解得：，雙曲線(xiàn)離心率.故選：C.7．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，根據(jù)共線(xiàn)向量可確定為中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)性質(zhì)可求得，根據(jù)拋物線(xiàn)定義可求得，進(jìn)而得到.【詳解】由拋物線(xiàn)方程知：，，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，作，垂足為，，為中點(diǎn)，又，，由拋物線(xiàn)定義知：，.故選：C.8．已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn).若，到的距離不小于，則的離心率的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，解得，根據(jù)到的距離為，得，得，即可解決.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，是的上頂點(diǎn)，連接，如圖，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則,因?yàn)?/span>,所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，解得，因?yàn)?/span>，到的距離為，解得，所以，解得，所以，故選：C 二、多選題9．己知雙曲線(xiàn)，則（    ）A．雙曲線(xiàn)C的實(shí)半軸長(zhǎng)為2 B．雙曲線(xiàn)C的虛軸長(zhǎng)為C．雙曲線(xiàn)C的離心率為2 D．雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為【答案】BCD【分析】根據(jù)給定的雙曲線(xiàn)方程，求出實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距，雙曲線(xiàn)C的實(shí)半軸長(zhǎng)為1，A不正確；雙曲線(xiàn)C的虛軸長(zhǎng)為，B正確；雙曲線(xiàn)C的離心率，C正確；雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為，D正確.故選：BCD10．已知，，下列說(shuō)法中，正確的有（    ）A．若點(diǎn)在內(nèi)，則B．當(dāng)時(shí)，與共有兩條公切線(xiàn)C．，使得與公共弦的斜率為D．若與存在公共弦，則公共弦所在直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)【答案】ABD【分析】利用點(diǎn)在圓內(nèi)列式判斷A；判斷兩圓位置關(guān)系判斷B；求出兩圓公共弦方程判斷C，D作答.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)在：內(nèi)，則，解得，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，：圓心，半徑，圓心，半徑，，，即有與相交，與共有兩條公切線(xiàn)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)，與有公共弦時(shí)，其所在直線(xiàn)為，其斜率為，C不正確；對(duì)于D，當(dāng)，與存在公共弦時(shí)，公共弦所在直線(xiàn)為，由解得，因此公共弦所在直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，D正確.故選：ABD11．如圖，P是橢圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論不正確的是（    ） A． B．若，則C．若，則的最小值為2 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線(xiàn)定義計(jì)算判斷A；由余弦定理計(jì)算判斷B，C；由余弦定理、二倍角的余弦計(jì)算判斷D作答.【詳解】依題意，，解得，A不正確；令，由余弦定理得： ，當(dāng)時(shí)，，即，因此，B正確；當(dāng)時(shí)，，即，有，而，則有，解得，C不正確；，，于是得，解得，而，因此，D不正確.故選：ACD12．雙紐線(xiàn)也稱(chēng)伯努利雙紐線(xiàn)，是指定線(xiàn)段長(zhǎng)度為，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，那么的軌跡稱(chēng)為雙紐線(xiàn).已知曲線(xiàn)為雙紐線(xiàn)，下列選項(xiàng)判斷正確的是（    ）A．曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)B．曲線(xiàn)不關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．曲線(xiàn)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是D．為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，的坐標(biāo)為，則面積的最大值為【答案】ACD【分析】對(duì)于A,B，根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)即可解決；對(duì)于C，由于解決即可；對(duì)于D，設(shè)，則，根據(jù)題意即可解決.【詳解】對(duì)于A，設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)為，則其關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以，即點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，所以曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)為，則其關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以，即點(diǎn)也在曲線(xiàn)上，所以曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，解得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，因?yàn)?/span>為曲線(xiàn)上的點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故D正確.故選：ACD 三、填空題13．與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率為2的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線(xiàn)離心率求出方程作答.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上，半焦距，而雙曲線(xiàn)的離心率為2，則雙曲線(xiàn)實(shí)半軸長(zhǎng)a有：，解得，雙曲線(xiàn)虛半軸長(zhǎng)，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14．設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.【答案】【分析】根據(jù)橢圓方程可確定的值，得到與重合，由橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)且位于第三象限時(shí)取得最大值，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立即可求得此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由橢圓方程得：，，則，即橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，即與重合，由橢圓定義可知：，，即當(dāng)位于下圖所示的位置時(shí)，取得最大值；，直線(xiàn)，由得：（舍）或，即，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.15．已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)分別相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)的離心率為，的面積為，則___________.【答案】【分析】將雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程聯(lián)立可求得，由雙曲線(xiàn)離心率可得到，由此可得，利用三角形面積可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程知：漸近線(xiàn)方程為；由拋物線(xiàn)方程知：準(zhǔn)線(xiàn)方程為；由得：，；雙曲線(xiàn)離心率，，則，，解得：.故答案為：.16．已知橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)為圓心的圓與直線(xiàn)相切，且該圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn).若四邊形是平行四邊形，且平行四邊形面積為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為___________.【答案】【分析】根據(jù)直線(xiàn)與圓相切可求得圓的半徑，即，將與橢圓方程聯(lián)立可求得坐標(biāo)，由可構(gòu)造齊次方程求得離心率，從而用表示出，根據(jù)可構(gòu)造方程求得的值，進(jìn)而得到橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】由題意知：，，，直線(xiàn)，即，直線(xiàn)與圓相切，圓的半徑，即，四邊形為平行四邊形，，將代入橢圓方程得：，即，又，，，即，，解得：（舍）或；即，，，解得：橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng).故答案為：. 四、解答題17．已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，使弦被M點(diǎn)平分，(1)求這條弦所在直線(xiàn)的方程.(2)求弦的長(zhǎng).【答案】(1)；(2). 【分析】（1）判斷點(diǎn)M與橢圓C的位置關(guān)系，再利用點(diǎn)差法求解作答.（2）聯(lián)立直線(xiàn)AB與橢圓C的方程，再利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算作答.【詳解】（1）因，即點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，符合條件的直線(xiàn)AB必存在，設(shè)，因是弦AB的中點(diǎn)，則，由相減得：，即有，因此直線(xiàn)AB的斜率為，直線(xiàn)AB的方程為，即，所以這條弦所在直線(xiàn)的方程為.（2）由（1）得：，消去y并整理得：，于是得，所以弦的長(zhǎng).18．已知雙曲線(xiàn)的方程為，其左，右焦點(diǎn)分別為，離心率，雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是雙曲線(xiàn)與圓在第一象限的交點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可求得；由離心率和雙曲線(xiàn)關(guān)系可求得，由此可得雙曲線(xiàn)方程；（2）根據(jù)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知為圓的直徑，得，利用勾股定理，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義可構(gòu)造方程求得，由可求得結(jié)果.【詳解】（1）由雙曲線(xiàn)方程知：漸近線(xiàn)為，焦點(diǎn)，，則焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為；，，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）知：，，是圓的直徑，，，，.19．在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，分別為的中點(diǎn)，.(1)證明：；(2)若與所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)可得，由線(xiàn)面垂直的判定可知平面，由線(xiàn)面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）易證得四邊形為正方形，四邊形為平行四邊形，由線(xiàn)線(xiàn)角定義可知，由此得到；以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1），為中點(diǎn)，，又，，平面，平面，平面，.（2），，，四邊形為正方形，；連接，，，四邊形為平行四邊形，，又與所成角為，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?/span>軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量，，即平面與平面夾角的余弦值為.20．如圖，某市在城市東西方向主干道邊有兩個(gè)景點(diǎn)A，B，它們距離城市中心O的距離均為，C是正北方向主干道邊上的一個(gè)景點(diǎn)，且距離城市中心O的距離為，為改善市民出行，準(zhǔn)備規(guī)劃道路建設(shè)，規(guī)劃中的道路如圖所示，道路段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多，其中道路起點(diǎn)M到東西方向主干道的距離為，線(xiàn)路段上的任意一點(diǎn)到O的距高都相等，以O為原點(diǎn)、線(xiàn)段所在直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求道路的曲線(xiàn)方程；(2)現(xiàn)要在上建一站點(diǎn)Q，使得Q到景點(diǎn)C的距離最近，問(wèn)如何設(shè)置站點(diǎn)Q的位置（即確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)）？【答案】(1)段：；段，；(2)Q的坐標(biāo)為，此時(shí)Q到C的距離最小. 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用雙曲線(xiàn)定義、圓的定義直接求解作答.（2）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合（1）中軌跡方程，分段求解最小值即可作答.【詳解】（1）依題意，點(diǎn)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6，線(xiàn)路段上的任意一點(diǎn)到景點(diǎn)A的距離比到景點(diǎn)B的距離都多，則線(xiàn)路所在的曲線(xiàn)是以定點(diǎn)A，B為左右焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為16的雙曲線(xiàn)的右上支，其方程為，顯然點(diǎn)，又線(xiàn)路段上的任意一點(diǎn)到O的距離都相等，則線(xiàn)路所在的曲線(xiàn)為以O為圓心，為半徑的下半圓（含端點(diǎn)），其方程為，所以道路的曲線(xiàn)方程為，段：；段，.（2）設(shè)，而，則，當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)路NP段上時(shí)，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)Q在線(xiàn)路段上，，，有，此時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，顯然，當(dāng)時(shí)，，所以Q的坐標(biāo)為，此時(shí)Q到C的距離最小.21．動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)的距離和M到定直線(xiàn)的距離之比是常數(shù).(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡G的方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與M的軌跡G交于P、Q兩點(diǎn)，且直線(xiàn)l與x軸不重合，直線(xiàn)分別與y軸交于R、S兩點(diǎn)，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析. 【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)給定條件列出方程，化簡(jiǎn)整理作答.（2）設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與G的方程聯(lián)立，用P，Q的坐標(biāo)分別表示出點(diǎn)R，S的坐標(biāo)，借助韋達(dá)定理推理計(jì)算作答.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，，化簡(jiǎn)整理得，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡G的方程為.（2）因?yàn)橹本€(xiàn)l與x軸不重合，設(shè)直線(xiàn)l的方程為，設(shè)點(diǎn)，由消去x并整理得：，顯然，則，直線(xiàn)的方程為，令，得，即點(diǎn)，同理，則，所以為定值4.22．已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)與x軸不平行，記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，已知.(1)求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；(2)設(shè)和的面積分別為，求的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）設(shè)點(diǎn)及直線(xiàn)PQ方程，并與橢圓方程聯(lián)立，再探討直線(xiàn)BP斜率與，關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求解作答.（2）由（1）中信息，求出的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值作答.【詳解】（1）依題意，，設(shè)，直線(xiàn)方程為，由消去x并整理得：，，則，因在橢圓上，有，直線(xiàn)BP斜率，有，則，即，而，解得，此時(shí)，直線(xiàn)：恒過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).（2）由（1）知，，令，，則，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值. 

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