2023屆寧夏石嘴山市第一中學(xué)高三上學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則算出即可.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的加減法，較簡(jiǎn)單.2．函數(shù)在上是減函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，對(duì)a分類討論，借助于二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出a的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以恒成立.當(dāng)時(shí)，成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)，只需.綜上所述：.故選：D3．已知向量，使成立的x與使成立的x分別為（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量平行的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】向量，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得.故選：A4．在等比數(shù)列中，，，則（    ）A．8 B．16 C．-8 D．-16【答案】D【分析】由條件可得，然后可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>是等比數(shù)列，，，所以，即，所以，故選：D.5．如圖是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)是（    ）A．x1 B．x2 C．x3 D．x4【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，確定導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得選項(xiàng).【詳解】由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可以看出，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由導(dǎo)函數(shù)的圖象得出原函數(shù)的極值點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.6．已知橢圓，作垂直于x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，作垂直于y軸的垂線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，且ABCD，兩垂線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（    ）A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線【答案】B【分析】首先根據(jù)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，求出點(diǎn)軌跡方程即可.【詳解】由題知，故設(shè)，，所以，又因?yàn)?/span>，，消去t可得：，可知點(diǎn)軌跡為雙曲線.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.7．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若且，則（    ）A．6 B．12 C．27 D．36【答案】C【分析】列方程組解得等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)公差為則，解之得，則故選：C8．設(shè)，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】求得不等式，從充分性和必要性兩方面進(jìn)行判斷即可.【詳解】由解得，若，無(wú)法推出，故充分性不成立；若，則，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.9．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因?yàn)?/span>，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.10．已知四面體ABCD，=，=，=，點(diǎn)M在棱DA上，=，N為BC中點(diǎn)，則＝（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件用表示出，再借助向量加法法則即可得解.【詳解】在四面體ABCD中，連接DN，如圖所示，=，=，=，因=，N為BC中點(diǎn)，則，，于是得.故選：C11．以下判斷正確的是（    ）A．的充要條件是B．若命題：，，則：，C．命題“在中，若，則”的逆命題為假命題D．“”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的充要條件【答案】D【分析】對(duì)A，舉反例判斷即可；對(duì)B，根據(jù)特稱命題的為全稱命題判斷即可；對(duì)C，根據(jù)正弦定理與三角形的性質(zhì)判斷即可；對(duì)D，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，根據(jù)特稱命題的為全稱命題可得命題：，，則：，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，命題“在中，若，則”的逆命題為“在中，若，則”，由正弦定理且可得若則，根據(jù)大邊對(duì)大角可得，故命題“在中，若，則”的逆命題為真命題，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，函數(shù)是定義域?yàn)?/span>R，且若為偶函數(shù)則，故恒成立，故，所以“”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的充要條件，故D正確；故選：D12．不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題可將轉(zhuǎn)化為，通過(guò)解即可得出結(jié)果.【詳解】，即，，則，解得或，故不等式的解集為，故選：B. 二、填空題13．已知滿足，則的最大值為___________.【答案】-1【分析】作出可行域，進(jìn)而根據(jù)z的幾何意義即可得到答案.【詳解】如圖所示可行域，因?yàn)?/span>z表示直線z=y-2x的縱截距，根據(jù)圖形，當(dāng)直線z=y-2x過(guò)點(diǎn)A（1,1）時(shí)取得最大值，最大值為：1-2=-1.故答案為：-1.14．斜率為的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=________．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關(guān)于x的二次方程，接下來(lái)可以利用弦長(zhǎng)公式或者利用拋物線定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)轉(zhuǎn)化求得結(jié)果.【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，又∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得，解法一：解得    所以解法二：設(shè)，則,過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，涉及利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，弦長(zhǎng)公式，屬基礎(chǔ)題.15．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是______.【答案】##【分析】利用基本不等式求出最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）.所以的最小值為.故答案為： 三、雙空題16．已知雙曲線，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是_________．【答案】          【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離.【詳解】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦點(diǎn)到漸近線的距離，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 四、解答題17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線的方程；（2）解方程，得出函數(shù)的極值點(diǎn)，然后列表對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【詳解】（1），，，，因此，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）令，得或，列表如下：極大值極小值 因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，解題時(shí)要弄清楚利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間與極值的基本步驟，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.18．如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解 .【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法 如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長(zhǎng)，易證三線交于一點(diǎn)P．因?yàn)?/span>，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒(méi)有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.19．設(shè)拋物線C：y2 =2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，且.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l（斜率存在）經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，求直線l的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出線段中點(diǎn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用焦點(diǎn)弦求得p的值，即可求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出焦點(diǎn)的直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出斜率，即可寫出直線方程.【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)，則線段中點(diǎn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由問(wèn)題（1）可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故設(shè)直線方程為聯(lián)立方程組為解得直線l的方程20．已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法顯然，因?yàn)?/span>在點(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法  ．因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，不妨設(shè)，，令，則．令，則面積為，只需求出的最小值．．因?yàn)?/span>，所以令，得．隨著a的變化，的變化情況如下表：a0減極小值增 所以．所以當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．[方法四]：兩次使用基本不等式法 同方法一得到,下同方法一.【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅱ）的方法一直接對(duì)面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡(jiǎn)潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識(shí)最少，配湊巧妙，技巧性較高.21．已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，正方形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱.（1）求該圓柱的表面積；（2）正方形ABCD繞AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，求線段與平面ABCD所成的角.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圓柱的表面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)線面角的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）該圓柱的表面由上下兩個(gè)半徑為1的圓面和一個(gè)長(zhǎng)為、寬為1的矩形組成，.故該圓柱的表面積為.（2）正方形，，又，，，且AD、平面ADB，平面ADB，即在面ADB上的投影為A，連接，則即為線段與平面ABCD所成的角，而，線段與平面ABCD所成的角為.22．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長(zhǎng)度的比值.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(Ⅱ)[方法一]：設(shè)，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且，注意到，，而，故.從而.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何含義法①當(dāng)直線l與x軸重合，不妨設(shè)，由平面幾何知識(shí)得，所以．②當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線，由題意，直線l不過(guò)和點(diǎn)，所以．設(shè)，聯(lián)立得．由題意知，所以．且．由題意知直線的斜率存在．．當(dāng)時(shí)，．同理，．所以．因?yàn)?/span>，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一直接設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程消去y，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求解；方法二先對(duì)斜率為零的情況進(jìn)行特例研究，在斜率不為零的情況下設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程消去x，直接利用韋達(dá)定理求得P,Q的縱坐標(biāo)，運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔，應(yīng)為最優(yōu)解法. 

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