平羅中學(xué)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期第一次月考試卷 高二數(shù)學(xué) 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．直線x＋y＝0的傾斜角為(　　)A．45°          B．60°            C．90°             D．135°2.已知直線l1：3x＋4y－5＝0與l2：3x＋5y－6＝0相交，則它們的交點(diǎn)是(　　)A.         B.            C.             D.3.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三點(diǎn)，則的值為(　　)A.              B.                 C.3                 D.24.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且＝a，＝b，則等于(　　)A.－a－b         B.a＋b              C.a－b             D.2(a－b)5．過點(diǎn)(0，－2)且與直線x＋2y－3＝0垂直的直線方程為(　　)A．2x－y＋2＝0   B．x＋2y＋2＝0C．2x－y－2＝0   D．2x＋y－2＝06．在空間直角坐標(biāo)系中，a＝(1，2，1)為直線l的一個(gè)方向向量，n＝(2，t，4)為平面α的一個(gè)法向量，且l∥α，則t＝(　　)A．3                 B．1                C． －3                  D．－17．直線y＝ax＋的圖象可能是(　　)    8.如圖，已知在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，點(diǎn)E是線段PD上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，若線段AB上存在點(diǎn)F(不含端點(diǎn))，使得異面直線PA與EF成30°的角，則線段PE長(zhǎng)度的取值范圍是(　　)A.         B.        C.       D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9.設(shè)向量a＝(2，0)，b＝(1，1)，則(　　)A．(a－b)∥b      B．(a－b)⊥b       C．a與b的夾角為      D．＝10．若兩條平行直線l1：x－2y＋m＝0與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是2，則m＋n的可能值為(　　)A．3           B．－17           C．－3       D．1711．等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)為C(3,3)，若點(diǎn)A(0,4)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可能是(　　)A．(2,0)       B．(6,4)          C．(4,6)       D．(0,2)12.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F且EF＝，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A.AC⊥BE                      B.EF∥平面ABCDC.三棱錐A－BEF的體積為定值D.異面直線AE，BF所成的角為定值三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)13.如圖,以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,若的坐標(biāo)為,則的坐標(biāo)為________．14.不論m取何實(shí)數(shù)，直線(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒過定點(diǎn)________.15.已知點(diǎn)A(－1，1，－1)，平面α經(jīng)過原點(diǎn)O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，則點(diǎn)A到平面α的距離為________.16.在△ABC中,BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0,角A的平分線所在直線的方程為y=0,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),則△ABC的面積為________.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．)17．(10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a＋c與b＋c夾角的余弦值．      18．(12分)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2,5)，且斜率為－.(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線m與l平行，且點(diǎn)P到直線m的距離為3，求直線m的一般式方程．    19.(12分)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點(diǎn)．(1)求證：BM∥平面ADEF；(2)求證：BC⊥平面BDE.     20.(12分)在銳角△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝2c sin A.(1)求角C的大小；(2)若c＝，且ab＝6，求△ABC的周長(zhǎng)．      21．(12分)已知點(diǎn)P(2，－1)．(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離為2的直線的方程；(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線的方程，并求出最大距離；      22.(12分)如圖所示，在三棱錐中，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：;（2）點(diǎn)滿足，求二面角的正弦值.    平羅中學(xué)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期第一次月考試卷 高二數(shù)學(xué)參考答案 一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1.D   2.B   3.D  4.A  5.C  6.C  7.B  8.A二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9.BC    10.AB   11.AC   12.ABC三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．) 13.       14.　(0，1)      15.      16.12 四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．)17.解　(1)因?yàn)?/span>a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，則a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．……………………5分(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，設(shè)a＋c與b＋c的夾角為θ，因?yàn)?/span>cos θ＝＝－.所以a＋c與b＋c夾角的余弦值為－.……………………10分18.解　(1)由直線方程的點(diǎn)斜式，得y－5＝－(x＋2)，整理得所求直線方程為3x＋4y－14＝0.……………………6分(2)由直線m與直線l平行，可設(shè)直線m的方程為3x＋4y＋C＝0(C≠－14)，由點(diǎn)到直線的距離公式得＝3，即＝3，解得C＝1或C＝－29，故所求直線方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.……………………12分19.證明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED?平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.以D為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．(1)∵M為EC的中點(diǎn)，∴M(0,2,1)，則＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(0,0,2)，∴＝＋，故，，共面．又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.……………………6分(2)＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.又·＝0，∴BC⊥DE.又DE∩DB＝D，DE，DB?平面BDE，∴BC⊥平面BDE.……………………12分20．解析：(1)由a＝2c sin A及正弦定理得＝＝，因?yàn)?/span>sin A>0，故sin C＝.又∵△ABC 為銳角三角形，所以C＝.……………………6分(2)由余弦定理a2＋b2－2ab cos ＝7，∵ab＝6，得a2＋b2＝13，解得或，∴△ABC 的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝5＋.……………………12分21.解：(1)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程x＝2符合題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.根據(jù)題意，得＝2，解得k＝.則直線方程為3x－4y－10＝0.故符合題意的直線方程為x－2＝0或3x－4y－10＝0.……………………6分(2)過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線應(yīng)為過點(diǎn)P且與OP垂直的直線．則其斜率k＝2，所以其方程為y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.最大距離為.……………………12分22.【解析】（1）如圖所示，連接，因?yàn)?/span>，，所以，所以.因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以. 又，所以，.又，所以平面，所以.……………………5分 （2）設(shè)，由，可知都為等邊三角形，所以.又，所以，所以，則為直角三角形，且，所以，，.又，，所以平面.分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則，，，，設(shè)，則，所以..設(shè)平面的法向量為，則，可得.又.設(shè)平面的法向量為，則，可得.所以.所以二面角的正弦值為.……………………12分   

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