2023屆寧夏六盤山高級中學高三（提升班）上學期期中考試數學（文）試題 一、單選題1．已知復數（其中為虛數單位），則（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】化簡得，利用復數模的定義得.【詳解】易知，則，故選：D.2．若，，，則下列命題正確的是（    ）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．若且，則【答案】B【分析】利用不等式的性質，結合特殊值法，判斷選項.【詳解】A選項，時，結論不成立，故A錯誤B選項，因為，所以，所以，即，故B正確C選項，，時結論不成立，故C錯誤D選項，若則結論不成立，故D錯誤，故選：B.3．下列命題為真命題的是（    ）A．命題“若，則”的逆命題 B．命題“若，則”的否命題C．命題“若，則”的否命題 D．命題“若，則”的逆否命題【答案】A【分析】寫出各選項中對應的命題，利用不等式的基本性質以及特殊值法判斷可得出結論.【詳解】對于A選項，命題“若，則”的逆命題為“若，則”，因為，則，A選項中的命題為真命題；對于B選項，命題“若，則”的否命題為“若，則”，取，則成立，但不成立，B選項中的命題為假命題；對于C選項，命題“若，則”的否命題為“若，則”，取，則成立，但不成立，C選項中的命題為假命題；對于D選項，命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，取，則成立，但不成立，D選項中的命題為假命題.故選：A.4．設集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別解分式不等式與二次不等式得到集合后求交集運算.【詳解】由得 且，解得，故；由得，故.綜上得，.故選：D.5．為等差數列的前項和，如果，那么的值為（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差數列求和公式結合等差中項的性質直接可得解.【詳解】由已知得，解得，故選：B.6．“關于x的不等式對恒成立”的一個必要不充分條件是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出不等式對恒成立所滿足的條件，再尋找一個集合，使它包含即可【詳解】對恒成立，則，解得：，要想找到一個必要不充分條件，只需找到一個集合，使得是它的子集，顯然C選項符合.故選：C7．已知數列中，，則等于（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析得到數列是一個以2為首項，以4為公比的等比數列，求出數列的通項即得解.【詳解】所以所以數列是一個以2為首項，以4為公比的等比數列，所以.故選：C8．著名數學家華羅庚先生曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”在數學的學習和研究中，經常用函數的圖象來研究函數的性質，也經常用函數的解析式來琢磨函數的圖象的特征，已知函數，的部分圖像如圖所示 ，則的解析式可能為（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】首先觀察圖象，可知其關于原點對稱，得到函數為奇函數，從而排除A，D；之后再利用圖象的變化趨勢，可以排除B，得出正確選項.【詳解】由已知，圖象關于原點對稱，故函數為奇函數，排除A，D；又因為隨著自變量的增大，函數值趨近于0，排除B選項，故選：C.【點睛】該題考查的是有關根據函數圖象選擇函數解析式的問題，涉及到的知識點有觀察函數圖象的對稱性，得到與其對應的奇偶性，觀察函數解析式，排除不正確的選項，結合隨著自變量的增大，函數值的變化趨勢排除不正確選項，求得結果，在選擇過程中，注意全局看圖，屬于中檔題目.9．設函數，若不等式對于實數時恒成立，則實數的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，把不等式轉化為對于實數時恒成立，令函數，結合一次函數的性質列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數，不等式可化為對于實數時恒成立，即對于實數時恒成立，設，因為，所以函數為單調遞增函數，要使得，只需，即，解得，即實數的取值范圍是.故選：A.10．設向量，，，其中O為坐標原點，，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（    ）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】根據向量共線定理可得，再應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設，，，A，B，C三點共線，∴且，則，可得，∴，當且僅當時等號成立.∴的最小值為.故選：A11．已知數列滿足，（，），定義：使乘積為正整數的（）叫做“幸運數”，則在內的所有“幸運數”的和為（    ）A．2046 B．4083 C．4094 D．2036【答案】D【分析】利用換底公式與疊乘法把化為，然后根據為整數，可得，最后由等比數列前項和公式求解．【詳解】解：，，，又為整數，必須是2的次冪，即．內所有的“幸運數”的和：，故選：D．12．已知不等式對恒成立，則實數的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得到，故構造，通過導數可得單調遞增，故可得到，即，故構造，通過導數求的最大值即可求解【詳解】∵，∴，∴，即，令，則不等式化為，∵，當時，，∴在上單調遞增，∴，即，令，則，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，所以，∴實數的最小值為.故選：【點睛】關鍵點睛：這道題的關鍵在于將不等式轉化成，然后構造函數，利用導數進行求解，故構造函數是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數的結構特點，以及數與數之間的內在聯系，合理構造函數，利用導數判斷單調性是解題的關鍵 二、填空題13．設向量的模為2，向量，且，則與的夾角等于______.【答案】##【分析】根據題意計算得，再求解向量夾角即可.【詳解】解：由得，因為，所以，即，解得，所以，又，所以.故答案為：14．已知實數x，y滿足，則的最小值是________．【答案】【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數得答案．【詳解】解：由約束條件作出可行域如圖，聯立，解得，化目標函數為，由圖可知，當直線過點時取得最小值，把點的坐標代入目標函數得，故答案為：．15．若，則________.【答案】【分析】利用誘導公式和同角三角函數商數關系可求得；利用二倍角正弦公式和同角三角函數平方關系可將所求式子化為關于正余弦的齊次式，分子分母同除，代入的值即可.【詳解】，，.故答案為：.16．若函數在上為增函數，則的最大值為________.【答案】【分析】先根據正弦函數單調區(qū)間的性質確定一個粗略的范圍，然后利用復合函數的單調性法則，正弦函數的單調區(qū)間，列不等式組解決.【詳解】在上單調遞增，由正弦函數在某區(qū)間單調時，區(qū)間長度不超過半個周期，即，結合，故，∵，設，，則關于單調遞增，故，而，，故最大可能取值區(qū)間是，根據復合函數的單調性，關于單調遞增，故只需求關于單調遞增區(qū)間即可，根據正弦函數的單調性，在上單調遞增，故需滿足，顯然此時只可取，則，解得，又，∴，則的最大值是.故答案為：. 三、解答題17．在中，角，，的對邊分別為，，．已知(1)求；(2)若，的面積為，求，．【答案】(1)(2) 【分析】（1）已知，由正弦定理和輔助角公式可得，解得 .（2）由余弦定理和三角形面積公式，可解求，.【詳解】（1）中，已知，由正弦定理可得，∵，∴ ，△ABC中，，∴ ，∴ （2）a=2，△ABC的面積為 ∴ ，解得bc=4. 由余弦定理可得： 化為.聯立 ，解得∴.18．等差數列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)令，求數列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差數列的通項公式與前項和公式求得基本量，從而求得的通項公式；（2）結合（1）中結論求得，代入，利用裂項求和法即可求得.【詳解】（1）設等差數列的公差為，由，得，，解得，故；（2）由（1）可知，則.故.19．如圖所示，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E是線段上靠近A的一個三等分點，過點E的直線與邊AB，AC分別交于點P，Q．設，，其中，(1)求證：為定值，并求此定值；(2)設△APQ的面積為，△ABC的面積為，求的最小值．【答案】(1)4，證明見解析；(2) 【分析】（1）由向量線性運算得，由共線得，整理即可；（2）由三角形面積公式可得，結合參數范圍及為定值，消元求函數最小值即可【詳解】（1）證明：由題意得，，由共線得，得證，定值為4；（2）設，則，，故，∵，故，由二次函數性質得時，取得最大值9，故的最小值為20．設數列的前項和，，且為等差數列的前三項．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．【答案】（1），；（2）.【詳解】試題分析：（1）依據題設條件建立方程求解；（2）借助題設條件運用錯位相減法求解.試題解析:（1）解法1：∵，∴∴，即，又，∴數列為以1為首項，公比為的等比數列，∴，∴，整理得，得∴，解法2：∵，∴，∴，整理得，得∴，∴∴，即，又∴數列為以1為首項，公比為2的等比數列，∴，（2）∴ ①∴ ②①②得整理得：【解析】等差數列等比數列的通項前項和等有關知識的運用． 21．已知函數．(1)當 時， 求函數的極值點；(2)當時，恒成立， 求的取值范圍．【答案】(1)是極小值點， 無極大值點．(2)． 【分析】（1）根據導數與極值的關系直接求解即可；（2）令，結合題意必有，即，再證明函數在時恒成立即可.【詳解】（1）解：當時，，則，令得， 當時，， 函數單調遞減， 當時，， 函數單調遞增所以，當時，函數取得極小值，無極大值，所以，是函數的極小值點， 無極大值點．（2）解：當時，恒成立， 即當時，恒成立，設，所以，即，，設，則，所以，當時，，即在上單調遞增，所以，所以，當時，，即在上單調遞增，所以 若恒成立，則，所以時，恒成立，的取值范圍為．【點睛】關鍵點點睛：本題第二問解題的關鍵在于構造函數，再結合題意得，進而先求得，再討論當時恒成立即可求得答案.22．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立的極坐標系中，直線l的方程是．(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；(2)若點A的坐標為（1，0），直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）移項再平方相加即得曲線C的普通方程，根據極坐標與直角坐標的互化公式即可得直線l的直角坐標方程；（2）由直線參數方程中的幾何意義，結合韋達定理即可求得.【詳解】（1）由，可得，將上式分別平方，然后相加可得，由，可得，即，即．（2）由（1）可知直線l的斜率為，則其傾斜角為，且點在直線l上，所以直線l的參數方程為： （t為參數），即（t為參數），將直線l的參數方程代入曲線C的普通方程，整理得．設點P，Q對應的參數分別為，，則，，則．23．已知函數.(1)求不等式的解集；(2)若，，，求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用分類討論思想，分、、，將問題轉化為一次不等式進行求解；（2）利用柯西不等式進行求解.【詳解】（1）當時，原不等式等價于，即成立，所以；當時，原不等式等價于，解得，又，所以；當時，原不等式等價于，即不成立，解得；綜上所述，不等式的解集為；（2）由柯西不等式得，所以，當且僅當，即且時等號成立，即的最大值為. 

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