重難點16  等差數(shù)列及其前n項和1.通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．2.若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.3.若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.4.若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．5.若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．6.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差數(shù)列，其公差為n2d.7.若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N*)，則S偶－S奇＝nd，＝.8.若等差數(shù)列的項數(shù)為2n－1(n∈N*)，則S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．9.若{an}，{bn}均為等差數(shù)列且其前n項和為Sn，Tn，則＝.10.若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n)．11.由公式Sn＝na1＋得＝a1＋d＝n＋a1－，因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項為a1，公差為等差數(shù)列{an}公差的一半．12.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系①an＝a1＋(n－1)d可化為an＝dn＋a1－d的形式．當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)．當(dāng)d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列．②Sn＝n2＋n.當(dāng)d≠0時，它是關(guān)于n的二次函數(shù)．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．等差數(shù)列的基本運算、基本性質(zhì)，等差數(shù)列的證明是考查的熱點．本講內(nèi)容在高考中既可以以選擇、填空的形式進(jìn)行考查，也可以以解答題的形式進(jìn)行考查．解答題往往與數(shù)列的計算、證明、等比數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問題綜合考查，難度中低檔.（建議用時：40分鐘）一、單選題1．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.2．記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，，解得，∴，故選A．3．（2017新課標(biāo)全國I理科）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【解析】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.4．已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】試題分析：由得，解得.5．設(shè)是等差數(shù)列的前項和,若,則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，選A.6．幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A．440 B．330C．220 D．110【答案】A【解析】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設(shè)，所以，則，此時，所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)，故選A.7．圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（    ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【解析】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D 8．等差數(shù)列的公差是2，若 成等比數(shù)列，則的前 項和A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：由已知得，，又因為是公差為2的等差數(shù)列，故，，解得，所以，故．9．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則(　　)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．10．已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，則，，所以.對于，，取數(shù)列各項為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．11．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項和S11＝A．58 B．88 C．143 D．176【答案】B【解析】試題分析：等差數(shù)列前n項和公式，．12．設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的充分必要條件.故選：C.  二、填空題13．將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】【解析】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：.14．設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則__________．【答案】【解析】原式為，整理為： ，即，即數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差的數(shù)列，所以 ，即 .15．設(shè)是等差數(shù)列，且，，則的通項公式為__________．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，16．若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)__________時，的前項和最大．【答案】8【解析】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，，，又因為，所以所以，所以，，故數(shù)列的前8項最大.三、解答題17．記為等差數(shù)列的前項和，已知，．    （1）求的通項公式；    （2）求，并求的最小值．【答案】（1）；（2），最小值為–16．【解析】（1）[方法一]：【通性通法】【最優(yōu)解】 公式法設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，解得：，所以．[方法二]：函數(shù)+待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列通項公式為，易得，由，即，即，解得：，所以． （2）[方法1]：鄰項變號法由可得．當(dāng)，即，解得，所以的最小值為，所以的最小值為．[方法2]：函數(shù)法由題意知，即，所以的最小值為，所以的最小值為．18．為數(shù)列{}的前項和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通項公式；（Ⅱ）設(shè) ,求數(shù)列{}的前項和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3兩式相減得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，則{an}是首項為3，公差d＝2的等差數(shù)列，∴{an}的通項公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn（），∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn（）（）. 

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