重難點(diǎn)21   空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積、體積1.三視圖畫(huà)法的基本原則長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等；畫(huà)圖時(shí)看不到的線畫(huà)成虛線．2．由三視圖還原幾何體的步驟3.通常利用空間幾何體的表面展開(kāi)圖解決以下問(wèn)題：①求幾何體的表面積或側(cè)面積；②求幾何體表面上任意兩個(gè)點(diǎn)的最短表面距離．4.求空間幾何體的體積的常用方法 5．多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論(1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球半徑r＝，外接球半徑R＝(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝(3)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則它的高為H＝，內(nèi)切球半徑，外接球半徑 主要考查幾何體體積與表面積計(jì)算，此類問(wèn)題屬于中檔題目；球與棱柱、棱錐的切接問(wèn)題仍然是2023年高考考查的熱點(diǎn).（建議用時(shí)：40分鐘）一、單選題1．如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐的體積為（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】三棱錐的體積為：故選：C2．正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.3．已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，圓柱底面半徑為，易知圓柱高為，，，全面積為，而側(cè)面積為，所以全面積與側(cè)面積之比這．故選：A．4．已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A． 5．南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積．棱臺(tái)上底面積，下底面積，∴．故選：C． 6．在長(zhǎng)方體中，如果，，那么點(diǎn)到直線的距離等于（    ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】在長(zhǎng)方體中，因?yàn)?/span>，，所以，,，所以點(diǎn)到直線的距離為：.故選：C7．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得.故選：B.8．一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，正三棱錐的底面是正三角形，且底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，所以，該底面的正三角形的外接圓的半徑就是球的半徑，且該正三棱錐的高也是球的半徑，所以，，如圖，，且，底面的面積為，故故選：D9．兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因?yàn)?/span>，所以，，所以，，，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.故選：B.10．已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因?yàn)?/span>，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為故選：B 11．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C. 12．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高， (當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增， ，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．故選：C. 二、填空題13．在球面上有四點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝a，則這個(gè)球的表面積是            【答案】【解析】依題意，兩兩垂直，且，由此補(bǔ)形成正方體如下圖所示，則四面體的外接球，也即是正方體的外接球，所以求的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：14．若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是_____________．【答案】【解析】由題意圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，設(shè)母線為，底面半徑為，則，且，，，，所以圓錐的側(cè)面積．故答案為：．15．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________．【答案】.【解析】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?/span>60°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)?/span>，所以側(cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?/span>，，所以，所以側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?/span>，所以側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)?/span>，所以，所以根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得.故答案為：.16．學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長(zhǎng)方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________.【答案】118．8【解析】由題意得， ，四棱錐O?EFG的高3cm， ∴．又長(zhǎng)方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為． 三、解答題17．如圖，長(zhǎng)方體框架三邊的長(zhǎng)分別為6、8、3.6，與底面的對(duì)角線垂直于E．(1)證明；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【解析】（1）證明：⊥平面，∴⊥．又AE⊥，且，∴⊥平面，平面,（2）由已知，則∴，∴∴.18．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；（Ⅲ）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）在中，因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以．又垂直于圓所在的平面，所以．因?yàn)?/span>，所以平面．（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí)，到的距離最大，且最大值為．又，所以面積的最大值為．又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為．（Ⅲ）在中，，，所以．同理，所以．在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示．當(dāng)，，共線時(shí)，取得最小值．又因?yàn)?/span>，，所以垂直平分，即為中點(diǎn)．從而，亦即的最小值為． 

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