2023屆福建省廈門雙十中學高三上學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知全集，集合，則下列關于集合關系的韋恩圖正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解出集合，結(jié)合集合即可得答案.【詳解】由集合，,又集合，所以，結(jié)合選項就得A故選：A.2．已知復數(shù)，則z的共軛復數(shù)（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的四則運算求出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念即可解出．【詳解】由，知.故選：C．3．已知a，，則使成立的一個充分不必要條件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意只要利用不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】解：由題意得：對于選項A：不能推出，若，則，故不是的充分條件，故A錯誤；對于選項B：，故不是的充分條件，故B錯誤；對于選項C：，故可知是成立的充分條件，又由條件可知：所以是的充分必要條件，故C錯誤；對于選項D： ，故是的充分條件，但是不能推出，若，，則不滿足，故是的充分不必要條件，故D正確.故選：D4．將圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>3倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移規(guī)律可得答案.【詳解】將圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>3倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，故選：A.5．如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，根據(jù)平面向量線性運算及平面向量基本定理求出、的值，依題意可得為等邊三角形，求出，再由余弦定理求出即可；【詳解】解：設，則，，解得．因為，所以，又，，所以為等邊三角形，所以，，由余弦定理，所以；故選：B6．已知，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關系式求得正確答案.【詳解】由于，所以，解得或（舍去），由于，所以，所以.故選：A7．納皮爾是蘇格蘭數(shù)學家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式?納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻是對數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對數(shù)表，可以利用對數(shù)表查詢出任意對數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出；現(xiàn)有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，則當水溫下降到10℃時，經(jīng)過的時間約為（    ）參考數(shù)據(jù)：，.A．3.048分鐘 B．4.048分鐘 C．5.048分鐘 D．6.048分鐘【答案】C【分析】先將已知數(shù)據(jù)代入公式，再用對數(shù)運算性質(zhì)得到，用換底公式將為底的對數(shù)換成為底的對數(shù)，代入已知對數(shù)值計算即可.【詳解】依題意，，，，代入公式得：（分鐘），故選：C.8．設，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定數(shù)的特征，構(gòu)造對應的函數(shù)，借助導數(shù)探討單調(diào)性比較函數(shù)值大小作答.【詳解】令函數(shù)，，顯然，則，令，，求導得，即在上單調(diào)遞減，，，即，因此當時，，取，則有，令，，，令，，，在上單調(diào)遞減，，，有，則在上單調(diào)遞增，，，因此當時，，取，則有，所以.故選：A【點睛】思路點睛：涉及某些數(shù)或式大小比較，探求它們的共同特性，構(gòu)造符合條件的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可. 二、多選題9．已知，且為銳角，則下列選項中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，并結(jié)合為銳角求解即可.【詳解】解：因為，所以，即所以，因為為銳角，所以，所以，所以，所以故選：ABD10．已知，是雙曲線：的左、右焦點，過作傾斜角為30°的直線分別交y軸與雙曲線右支于點M，P，，下列判斷正確的是（    ）A． B．C．的離心率等于 D．的漸近線方程為【答案】BD【分析】根據(jù)題意得，，；由知：，又，，求解離心率，根據(jù)離心率求解漸近線方程即可判斷.【詳解】如下圖所示，因為，即為中點，為中點，所以，因為，所以，所以，，A錯誤，B正確；由知，所以，又，，所以，即，所以，解得：，C錯誤；所以，所以，所以，所以，所以的漸近線方程為，D正確．故選：BD．11．已知，且實數(shù)，滿足成立，則以下正確的是（    ）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為9 D．的最大值為3【答案】ABD【分析】根據(jù)條件可得，其中，，即可判斷每個選項正誤.【詳解】為奇函數(shù)，，定義域為，則，，并且，，A正確；當，時，最小值為，最大值為3，B、D正確；，C錯誤.故選：ABD.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應用，屬于基礎題.12．如圖，若正方體的棱長為1，點M是正方體的側(cè)面上的一個動點（含邊界），P是棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．當M為AD中點時，三棱錐M-BDP的體積為B．沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為C．若保持，則點M在側(cè)面內(nèi)運動路徑的長度為D．若M在平面內(nèi)運動，且，點M的軌跡為拋物線【答案】ABC【分析】求得三棱錐M-BDP的體積判斷選項A；依據(jù)同一平面內(nèi)兩點之間線段最短判斷選項B；先判斷出點M在側(cè)面內(nèi)運動的軌跡，再去求得其長度判斷選項C；建立空間直角坐標系求得點M的軌跡方程判斷選項D.【詳解】選項A：當M為AD中點時，.判斷正確；選項B：將平面與平面展開在同一平面，連接AP，則又將平面與平面展開在同一平面，連接AP，則綜上，沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為.判斷正確；選項C：取中點E，連接則平面，，則則點M在側(cè)面內(nèi)運動軌跡為以E為圓心半徑為1的劣弧，分別交于，則則，劣弧的長為.判斷正確；選項D：以D為原點，分別以DA、DC、為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖：則，設， 則又， 則，即整理得即，表示線段，則點M的軌跡不為拋物線.判斷錯誤.故選：ABC 三、填空題13．已知平面向量，滿足，，，則______.【答案】6【分析】先由的坐標，得到，然后根據(jù)，兩邊同時平方，即可求得.【詳解】因為，則，又因為，，所以，即故答案為:.14．若函數(shù)為奇函數(shù)，則________．【答案】1【分析】根據(jù)題意，求出的表達式，由奇函數(shù)的定義可得，變形計算可得的值，驗證即可得答案．【詳解】解：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，而，則，所以，則.故答案為：1.15．寫出與圓和圓都相切的一條切線方程___________.【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為，因為，且，所以，設，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以，可知和關于對稱，聯(lián)立，解得在上，在上任取一點，設其關于的對稱點為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：或或. 四、雙空題16．如圖，在四棱錐的平面展開圖中，四邊形ABCD是矩形，是等邊三角形，，，.則平面展開圖中___________，四棱錐的外接球半徑為___________.【答案】     ##     ##【分析】由題意可得，而，然后利用三角恒等變換公式可求得的值，如圖，連接交于點，四棱錐的外接球球心為，由已知條件可得平面平面，取的中點，連接，則平面，設的外接圓圓心為，連接，從而可得四邊形是矩形，連接，利用勾股定理可求得結(jié)果【詳解】因為在四棱錐的平面展開圖中，四邊形ABCD是矩形，是等邊三角形，，，，所以，所以，，，如圖，連接交于點，四棱錐的外接球球心為，在四棱錐中，，，所以平面，因為平面，所以平面平面，取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，因為平面平面，平面，所以平面，設的外接圓圓心為，連接，則平面，平面，則∥，可證得∥，所以四邊形是矩形，連接，由于為等邊三角形，所以，所以,設四棱錐的外接球半徑為，則，解得，故答案為：， 五、解答題17．正項等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，的前n項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；  （2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）假設公差，由等比中項列式，解出公差由等差數(shù)列通項公式即可求出；（2）求出，表示出，由其特點，利用裂項相消的方法求前n項和.【詳解】（1）設數(shù)列公差為，由已知得：，化簡得：，解得：或（舍），所以．（2）因為，所以，所以＝＝．【點睛】本題考查數(shù)列通項公式及前n項和的求法，求通項時若已知數(shù)列類型可設首項及公差或公比然后列式解方程，求和時若通項為分式類型，則可考慮嘗試裂項相消的求法.18．如圖，在中，，，點在線段上．(1)若，求的長；(2)若，的面積為，求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出，利用同角三角函數(shù)的平方關系可求得的值，然后在中，利用正弦定理可求得邊的長；（2）設，則，利用三角形的面積公式可求得的值，然后在、中利用正弦定理，再結(jié)合，可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因為，由正弦定理可得，，則，故，則為銳角，所以，，，則，在中，由正弦定理得，，解得．（2）解：設，則，，則，即，可得，故，由余弦定理可得，在中，由正弦定理可得，故，在中，由正弦定理可得，故，因為，所以，.19．平潭國際“花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時間t（0≤t≤24，單位小時）呈周期性變化，某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：t（時）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5 (1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖（坐標系在答題卷中）．觀察散點圖，從①，②，③．中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)為保證隊員安全，規(guī)定在一天中的5～18時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全．【答案】(1)作圖見解析；選②做為函數(shù)模型，(2)安排早上5點至7點以及11點至18點 【分析】（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖，選②做為函數(shù)模型，由此利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出該擬合模型的函數(shù)解析式即可．（2）由，令y≥1.05，得，從而解出，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示：結(jié)合散點圖可知，圖形進行了上下平移和左右平移，故選②做為函數(shù)模型，∴，∵，∴又∵函數(shù)y＝0.9cos（φ）+1.5的圖象過點，∴，∴，∴，又∵，∴φ，∴（2）由（1）知：令y≥1.05，即，∴∴，∴，又∵5≤t≤18，∵5≤t≤7或11≤t≤18，∴這一天可以安排早上5點至7點以及11點至18點的時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全．20．如圖，三棱柱，底面是邊長為2的正三角形，，平面平面.(1)證明：平面；(2)若與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明過程見解析(2) 【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，進而得到線線垂直，得到BD⊥，再證明出AB⊥，從而得到平面；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解面面角的余弦值.【詳解】（1）取AB的中點N，AC的中點D，連接BD，，CN，因為底面是邊長為2的正三角形，，所以，BD⊥AC，CN⊥AB，因為平面，交線為AC，因為BD⊥AC，所以BD⊥平面，因為平面，所以BD⊥，因為，平面，所以AB⊥平面，因為平面，所以AB⊥，因為，平面ABC，所以平面ABC；（2）過點C作CFAB，以C為坐標原點，CN所在直線為x軸，CF所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則，解得：，設，則，故，故，因為，解得：，故設平面的法向量為，則，設，則，則，設平面與平面夾角的余弦值為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.21．在平面直角坐標系中，已知雙曲線：的右焦點為，且經(jīng)過點．(1)求雙曲線的標準方程；(2)已知，是雙曲線上關于原點對稱的兩點，垂直于的直線與雙曲線有且僅有一個公共點．當點位于第一象限，且被軸分割為面積比為的兩部分時，求直線的方程．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由題意可得，解方程組即可求出結(jié)果；（2）分別將直線以及直線的方程與雙曲線聯(lián)立，表示出點與點的坐標，然后根據(jù)題意得到關于的方程組，解方程組即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為的右焦點為，且經(jīng)過點，所以，解得．故雙曲線的標準方程為．（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為．聯(lián)立消去，得．由得且，解得．因為與垂直，所以設的方程為．聯(lián)立消去，化簡得．由且，得．因為與雙曲線有且僅有一個公共點，所以，即，化簡得，且點．因為點位于第一象限，所以，．不妨設，分別位于雙曲線的左、右兩支上，記與軸的交點為．因為被軸分割為面積比為的兩部分，且與面積相等，所以與的面積比為，由此可得．因此，即．又因為，所以，解得．因為，所以，故直線的方程為．【點睛】求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.22．已知函數(shù)．（1）當函數(shù)與函數(shù)圖象的公切線l經(jīng)過坐標原點時，求實數(shù)a的取值集合；（2）證明：當時，函數(shù)有兩個零點，且滿足．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先利用導數(shù)的幾何意義和函數(shù)求出公切線方程，再將公切線方程與函數(shù)聯(lián)立，表示，再構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和值域，可求出a的取值；（2）要證有兩個零點，只要證有兩個零點即可，而時函數(shù)的一個零點，所以只需再利用導數(shù)研究此函數(shù)的性質(zhì)即可，由于兩個零點，一個是，另一個在區(qū)間上，若設則， 所以只需利用導數(shù)證明即可 .【詳解】解：（1）設公切線l與函數(shù)的切點為，則公切線l的斜率，公切線l的方程為：，將原點坐標代入，得，解得，公切線l的方程為：， 將它與聯(lián)立，整理得．令，對之求導得：，令，解得．當時，單調(diào)遞減，值域為，當時，單調(diào)遞增，值域為，由于直線l與函數(shù)相切，即只有一個公共點，故實數(shù)a的取值集合為． （2）證明：，要證有兩個零點，只要證有兩個零點即可．，即時函數(shù)的一個零點．對求導得：，令，解得．當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．當時，取最小值，，，必定存在使得二次函數(shù)，即．因此在區(qū)間上必定存在的一個零點． 練上所述，有兩個零點，一個是，另一個在區(qū)間上．下面證明．由上面步驟知有兩個零點，一個是，另一個在區(qū)間上．不妨設則，下面證明即可．令，對之求導得，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，，即．【點睛】此題考查切線與導數(shù)的關系，利用導數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)，利用導數(shù)證明不等式，考查數(shù)學轉(zhuǎn)換思想和計算能力，屬于難題. 

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